Hệ thống số thập phân là một phát minh kỳ diệu. Tổ tiên chúng ta đã sáng tạo ra nó như thế nào?

Hệ thập phân gồm 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rất phổ biến trong xã hội của chúng ta ngày nay. 10 chữ số và cách ghi số theo-vị-trí có nguồn gốc từ đâu và được hoàn thiện như thế nào?;

Bài viết của nhà toán học Christopher Holling dưới đây sẽ giúp bạn vấn đáp những vướng mắc trên. Christopher Holling là nghiên cứu sinh sau tiến sỹ ở Trung tâm Đại số thuộc ĐH Lisbon ( Bồ Đào Nha ). Bài được đăng trên tạp chí toán học trực tuyến Plus Magazine .
Một số ảnh minh họa trong bài của Plus Magazine .

Con người có năng khiếu toán bẩm sinh, có tư duy về số từ 2 tuổi

Khám phá tư duy toán học của người xưa qua những bảng cửu chương độc lạ nhất quốc tế
Bạn hoàn toàn có thể đếm đến bao nhiêu với bàn tay của mình ?
Đây là số lượng thần kỳ nhất thiên hà, khi nhân với 7 sẽ ra tác dụng rất kinh ngạc !

Ngày nay, những hình tượng 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 thông dụng đến mức tất cả chúng ta hiếm khi biết ơn hệ thống chữ số này thật sự đặc biệt quan trọng như thế nào. 15 thế kỷ tăng trưởng đã trao cho tất cả chúng ta một giải pháp cô đọng để viết ra những số lượng rất lớn. Các chữ số của tất cả chúng ta có nguồn gốc từ hệ thống của những học giả Hindu ở Ấn Độ vào khoảng chừng giữa thiên niên kỷ tiên phong sau công nguyên. Hệ thống này được người Ả rập tiếp đón và sau cuối chuyển giao nó tới châu Âu vào thể kỷ 12. Vì lý do đó, những chữ số này còn được gọi là những chữ số Ả rập-Hindu .

( Ảnh : Pixabay )
Chìa khóa cho sự thành công xuất sắc của hệ thống này là đặc thù theo vị trí của nó. Chúng ta có tổng số mười ký hiệu để sử dụng, nhưng chắc như đinh là tất cả chúng ta không bị số lượng giới hạn trong việc chỉ viết ra mười giá trị khác nhau. Một trong những điều tiên phong mà toàn bộ tất cả chúng ta học ở trường là những số lượng được sắp xếp theo cột. Đọc từ phải sang trái, tiên phong tất cả chúng ta có cột hàng đơn vị chức năng, cột hàng chục, cột hàng trăm, cột hàng ngàn và cứ thế. Vấn đề không chỉ là những ký hiệu tất cả chúng ta viết ra mà còn là vị trí tất cả chúng ta đặt chúng trong cách sắp xếp này. Đây là cái mà tất cả chúng ta gọi là một hệ thống số theo vị trí, giá trị của một chữ số tùy theo vị trí của nó ( positional values ) .

Cách màn biểu diễn số theo-vị-trí phổ cập thời nay ( Ảnh : Virginia Tech )
Vì sao hệ thống số theo vị trí lại Open từ thời nguyên thủy ?

Khởi nguồn của việc dùng chữ số

Các hệ thống số sớm nhất phát sinh từ nhu yếu đếm của con người. Hệ thống cơ bản và ban sơ nhất trong tổng thể những hệ thống đó là những dấu vạch ( tally system ), trong đó mỗi vật được đếm sẽ được ghi nhận bằng một dấu vạch trên trang giấy. Khi tất cả chúng ta đếm tới một số lượng lớn tương đối, trang giấy của tất cả chúng ta kết thúc bằng một tập hợp dài dằng dặc những dấu vạch không dễ nhìn cho lắm. Do đó, tổ tiên tất cả chúng ta khởi đầu những bước bổ trợ như vạch một đường chéo qua bốn dấu thẳng đứng để tượng trưng cho số năm, và điều đó lý giải cho một ký hiệu số mới trong hệ thống của tất cả chúng ta .

( Ảnh : Quora. com )
Giờ đây, nhìn lướt qua, ta thấy những số lượng mới có ” ngoại hình ” dễ coi hơn nhiều. Nhưng đến những số lớn hơn và lớn hơn nữa, một lần nữa tất cả chúng ta lại thấy những ký hiệu trở nên cồng kềnh. Một giải pháp cho yếu tố này là đưa thêm những ký hiệu mới. Đó đúng chuẩn là cách mà những hệ thống số được tăng trưởng về mặt lịch sử vẻ vang .
Lấy ví dụ một hệ thống gồm những ký hiệu số khác nhau là hệ thống của người Babylon cổ. Hình 1 là bốn ký hiệu số tiên phong :

Hình 1 : Chữ số của người Babylon
Hệ thống này khởi đầu được tăng trưởng bởi người Sumer vào lúc 3500 năm trước công nguyên nhưng nó luôn gắn liền với người Babylon .
( Người Sumer định cư ở phía Bắc Mesopotamia nằm giữa sông Tigris và Euphrates, ngày này là Iraq )
Số 100 được màn biểu diễn bằng một ký hiệu duy nhất, một sự nâng cấp cải tiến lớn so với hệ thống dấu vạch bắt đầu. Những số lượng lớn có hình dạng dấu vạch rất đáng sợ giờ đây hoàn toàn có thể được minh họa một cách ngắn gọn hơn. Ví dụ số 3964 được viết như sau :

Hình 2 : Số 3964 được trình diễn bằng chữ số Babylon
Lưu ý là những ký hiệu đã được xếp theo cột thay vì hàng để đỡ tốn chỗ hơn :

Một điều quan trọng cần quan tâm về những ký hiệu số này là, ký hiệu cho số nào luôn có nghĩa là số đó, ví dụ ký hiệu cho số 100 luôn luôn có nghĩa là 100 .
Thứ tự viết những ký hiệu lại không thật sự quan trọng. Chữ số dưới đây cũng màn biểu diễn số 3964 :

Người Babylon không chăm sóc đến thứ tự những ký hiệu nhưng họ có khuynh hướng dùng một cách sắp xếp hài hòa và hợp lý : những ký hiệu giống nhau được nhóm lại và những nhóm được sắp xếp theo trật tự tăng dần, đọc từ phải sang trái .
trái lại với những chữ số Ả rập-Hindu, hệ thống số Babylon không tuân theo vị trí. Hình 3 và 4 là những ví dụ khác về những hệ thống số không theo vị trí. Hình 3 là chữ số của người Ai Cập, hình 4 là chữ số Minoan Linear B, loại chữ được cho là cổ nhất của người Hy Lạp :

Hình 3 : Chữ số Ai Cập năm 3000 trước công nguyên

Hình 4 : Chữ số Minoan của người Hy Lạp năm 1500 trước công nguyên
Các thông số trong hình 3 và 4 có vẻ như dễ nhìn hơn trong mắt tất cả chúng ta so với hệ thống Babylon. Lý do hoàn toàn có thể là vì họ chỉ dùng một ký hiệu cho mỗi số 100 và 1000, không như những ký hiệu phức tạp của người Babylon .
Dù vậy, tiếp theo tất cả chúng ta hãy tập trung chuyên sâu vào hệ thống Babylon vì người Babylon sẽ liên tục trình làng một phát minh không khi nào xảy ra với người Ai Cập hay người Hy Lạp ( như tất cả chúng ta biết cho tới nay … ! ) .

Hệ thống số theo vị trí của người Babylon 

Người ta cho là người Babylon đã nhận ra những thiếu sót của hệ thống số không theo vị trí của họ. Họ hoàn toàn có thể viết ra bất kể số lượng nào cho tới 9999 bằng những ký hiệu trong hình 1 nhưng không hề viết được số lớn hơn. Nếu họ muốn viết những số lớn tăng dần nữa, họ buộc phải đưa thêm nhiều ký hiệu mới. Điều này dẫn họ tới hai yếu tố : cách ký hiệu ngày càng công kềnh và cần phải nhớ nhiều ký hiệu .
Người Babylon cần một giải pháp khác để viết những số lớn .
Và giải pháp mới đó đương nhiên là hệ thống số theo vị trí .

Đầu tiên, họ loại bỏ tất cả ký hiệu ngoại trừ một và mười. Tiếp đến, họ sắp xếp các kết hợp những ký hiệu số này theo cột, đọc từ phải qua trái như chúng ta ngày nay. Tuy nhiên, hệ thống số Babylon không giống của chúng ta vì không phải là hệ thập phân mà là hệ lục thập phân (60), các cột kế tiếp nhau biểu diễn lũy thừa 60 thay vì 10. Chúng ta đã thừa kế hệ thống này để theo dõi thời gian và đo lường các góc, ví dụ 60 giây trong một phút.

( Ảnh : Ancient Origins )
Trong ví dụ sau, tất cả chúng ta sẽ vẽ thêm những đường biên giới quanh những cột cho rõ ràng ( dù người Babylon không làm điều này ). Cột có giá trị thấp nhất là cột ngoài cùng bên phải có bất kể số lượng nào lên tới 59 – phiên bản lục thập phân của một cột đơn vị chức năng. Bất kỳ số lượng nào ít hơn hay bằng 59 cũng sẽ Open trong hệ thống này, ví dụ số 42 bên dưới .

Để đi xa hơn 59, tất cả chúng ta phải thêm một cột khác vào bên trái, cột này màn biểu diễn bội số của 60. Ví dụ số 60 của người Babylon :

Con số này màn biểu diễn ( 1 x 60 ) + ( 0 x 1 ) = 60 ( ký hiệu trong cột bên phải chỉ ra một cột trống, tất cả chúng ta sẽ quay lại nó ngay ) .
Còn chuỗi ký hiệu này

trình diễn số lượng ( 11 x 60 ) + ( 24 x 1 ) = 684 .
Với một cột, số lượng giới hạn của tất cả chúng ta là 59, với hai cột ta hoàn toàn có thể viết những số lớn tới ( 59 x 60 ) + ( 59 x 1 ) = 3599. Để đi xa hơn, tất cả chúng ta chỉ cần thêm những cột vào bên trái màn biểu diễn những bội số của lũy thừa cao hơn của 60 ( 602, 603 … ). Nếu tất cả chúng ta thêm cột thứ ba thì giá trị được nhập vào trình diễn bội của 3600 = 60 x 60, và cột thứ tư màn biểu diễn bội của 603 = 216.000 .
Với cách sắp xếp 3 cột, tất cả chúng ta hoàn toàn có thể viết ra những số lượng lớn đến ( 59 x 3600 ) + ( 59 x 60 ) + ( 59 x 1 ) = 215.999. Trong phong cách thiết kế mới này, số lượng yêu quý của tất cả chúng ta 3964 sẽ trở thành :

do tại 3964 = ( 1 x 3600 ) + ( 6 x 60 ) + ( 4 x 1 ) .
Dễ thấy rằng, tất cả chúng ta hoàn toàn có thể lan rộng ra hệ thống này tới vô hạn chỉ bằng cách thêm nhiều cột vào bên trái. Chúng ta không còn cần thêm ký hiệu mới .
Có một chút ít điều nên nói về ký hiệu ” – ” được dùng để chỉ một cột trống trong cách màn biểu diễn hệ đếm 60 .
Đầu tiên, người Babylon không có ký hiệu nào như thế. Họ chừa một chỗ trống để biểu lộ một cột trống hoặc là họ không ghi lại cột. Điều này làm cho những chữ số của họ trở nên mơ hồ .
Ví dụ, hình tượng này

hoàn toàn có thể ký hiệu cho một trong những số sau
( 21 × 60 ) + ( 12 × 1 ) = 1.272
hoặc ( 21 × 3.600 ) + ( 12 × 1 ) = 75.612
hoặc ( 21 × 3.600 ) + ( 12 × 60 ) = 76.320
…
Tuy nhiên, có vẻ như người Babylon không khi nào gặp yếu tố ở đây chính bới ý nghĩa số lượng luôn rõ ràng nhờ ngữ cảnh. Mãi cho tới khi người Ba Tư thừa kế thông số Babylon vào khoảng chừng năm 400 trước công nguyên thì mới có thêm một ký hiệu ghi lại một cột để trống. Đó là ký hiệu

do đó, số 216.001 được viết thành

Sự chính xác của hệ thập phân

So với những hệ thống không theo vị trí, những hệ thống theo vị trí tương đối hiếm trong lịch sử vẻ vang. Tuy nhiên, quyền lợi của việc đảm nhiệm một hệ thống số theo vị trí rất rõ ràng : chúng đúng mực hơn và dễ sử dụng hơn. Hệ thống của chính tất cả chúng ta đưa sự đúng chuẩn này tới tột cùng : thay vì dùng phối hợp những chữ số tạo nên giá trị ở mỗi vị trí, tất cả chúng ta chỉ có đúng một ký hiệu cho mỗi vị trí. Dễ thấy vì sao người Babylon không dùng cách này cho chính họ : tổng số họ sẽ cần tới 60 ký hiệu, thế cho nên hệ thống số của họ sẽ khó nhớ .
Hệ thống ” một ký hiệu mỗi vị trí ” của tất cả chúng ta có nghĩa là những chữ số của tất cả chúng ta đúng mực tới hết mức mà chúng hoàn toàn có thể. Hãy so sánh cách viết 9.876.543.210 của tất cả chúng ta với cách của người Babylon :

Tuy vậy, những chữ số Ả rập-Hindu cũng có điểm yếu kém của chúng .
Tất cả những chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 đều là những ký hiệu trừu tượng vốn không có hoặc rất ít tương quan tới những số lượng mà chúng trình diễn, khác với sự liên tưởng mà tất cả chúng ta áp đặt lên chúng. Cách viết số ” hai ” kiểu Babylon dễ liên kết với số lượng hai hơn là ký hiệu 2 về mặt trực quan. Để làm số học trong những chữ số tất cả chúng ta, tất cả chúng ta phải quen với những quy tắc phép toán của chúng .
Chúng ta phải biết khi thêm ký hiệu 1 vào ký hiệu 2, tất cả chúng ta được ký hiệu 3 v.v … Chúng ta cần biết bảng cửu chương. Chúng ta cần biết khi tất cả chúng ta thêm 1 vào 9 trong một cột đơn cử thì tất cả chúng ta cần nhập 0 vào cột đó và thêm 1 vào cột kế bên bên trái .

Khi được liệt kê như thế này, những quy tắc khởi đầu có vẻ như phức tạp so với những người quan sát bên ngoài không có sẵn kỹ năng và kiến thức về hệ thống chữ số của tất cả chúng ta .
Tất cả tất cả chúng ta đều có năng lực dùng chữ số nhất định vì đã được học nhiều lần từ tuổi nhỏ. Trong khi đó, số học trong những chữ số Babylon có tính tự động hóa hơn nhiều. Chúng ta vẫn hoàn toàn có thể vận dụng chiêu thức ” theo cột “, nhưng chỉ cần nhóm những ký hiệu giống nhau và vận dụng hai quy tắc sau :

Mỗi xuất hiện mười lần được thay bằng một 

Nếu sáu Open trong một cột nhất định thì xóa nó đi và nhập một vào cột kế bên bên trái .

Dẫu sao thì, sau những lời khen ngợi sự kỳ diệu của các hệ thống số theo vị trí, tôi (tác giả Christopher) không muốn làm giảm giá trị của các chữ số của chúng ta. Sự thật là chúng ta thấy chúng dễ dùng, dù đó là vì chúng ta đã được hướng dẫn dùng chúng từ tuổi nhỏ, hay là vì chúng vốn có tính dễ dùng, ít nhất là khi xem xét từ quan điểm thực dụng.

Trong trong thực tiễn, những chữ số này quá phổ cập ( phổ cập hơn nhiều so với sự thông dụng mà những chữ số Babylon đã từng có ), đến mức mà việc biến hóa chúng là điều cực kỳ khó với tất cả chúng ta, kể cả khi tất cả chúng ta muốn. Giống như là chúng đã có sẵn ở đây !
Vì vậy, lần sau đó mà bạn kiểm tra số dư thông tin tài khoản ngân hàng nhà nước hay gọi đến 1 số ít điện thoại thông minh nào đó, hãy dành 1 giây để tâm lý về hàng thế kỷ tăng trưởng đã qua đi để sản sinh ra những ký hiệu vô giá .

Linh Trần (Theo Plus Magazine)

Source: https://laodongdongnai.vn
Category: Phát Minh