Các lĩnh vực toán học Toán học
Nội Dung Chính
Nền tảng và triết học
là một trong những nhà logic toán học lớn, với Để làm rõ nền tảng toán học, nghành nghề dịch vụ logic toán học và triết lý tập hợp đã được tăng trưởng. Logic toán học gồm có nghiên cứu toán học về logic và ứng dụng của logic hình thức trong những nghành nghề dịch vụ toán học khác. Lý thuyết tập hợp là một nhánh toán học nghiên cứu những tập hợp hay tập hợp những đối tượng người dùng. Lý thuyết phạm trù, tương quan đến việc giải quyết và xử lý những cấu trúc và mối quan hệ giữa chúng bằng giải pháp trừu tượng, vẫn đang liên tục tăng trưởng. Cụm từ ” khủng hoảng cục bộ nền tảng ” nói đến công cuộc tìm kiếm một nền tảng toán học ngặt nghèo diễn ra từ khoảng chừng năm 1900 đến 1930. [ 26 ] Một số sự không tương đồng về nền tảng toán học vẫn còn sống sót cho đến ngày này. Cuộc khủng hoảng cục bộ nền tảng nổi lên từ 1 số ít tranh cãi thời đó, trong đó có những tranh cãi tương quan đến triết lý tập hợp của Cantor và cuộc tranh cãi giữa Brouwer và Hilbert .
Khoa học máy tính lý thuyết bao gồm lý thuyết khả tính (computability theory), lý thuyết độ phức tạp tính toán, và lý thuyết thông tin. Lý thuyết khả tính khảo sát những giới hạn của những mô hình lý thuyết khác nhau về máy tính, bao gồm mô hình máy Turing nổi tiếng. Lý thuyết độ phức tạp nghiên cứu khả năng có thể giải được bằng máy tính; một số bài toán, mặc dù về lý thuyết có thể giải được bằng máy tính, cần thời gian hay không gian tính toán quá lớn, làm cho việc tìm lời giải trong thực tế gần như không thể, ngay cả với sự tiến bộ nhanh chóng của phần cứng máy tính. Một ví dụ là bài toán nổi tiếng “P = NP?”.[27] Cuối cùng, lý thuyết thông tin quan tâm đến khối lượng dữ liệu có thể lưu trữ được trong một môi trường lưu trữ nhất định, và do đó liên quan đến những khái niệm như nén dữ liệu và entropy thông tin.
Toán học thuần túy
Lượng
Việc nghiên cứu về lượng (quantity) bắt đầu với các con số, trước hết với số tự nhiên và số nguyên và các phép biến đổi số học, nói đến trong lĩnh vực số học. Những tính chất sâu hơn về các số nguyên được nghiên cứu trong lý thuyết số, trong đó có định lý lớn Fermat nổi tiếng. Trong lý thuyết số, giả thiết số nguyên tố sinh đôi và giả thiết Goldbach là hai bài toán chưa giải được.
Bạn đang đọc: Các lĩnh vực toán học Toán học
Khi mạng lưới hệ thống số được tăng trưởng thêm, những số nguyên được xem như là tập con của những số hữu tỉ. Các số này lại được gồm có trong số thực vốn được dùng để bộc lộ những đại lượng liên tục. Số thực được tổng quát hóa thành số phức. Đây là những bước tiên phong trong phân bổ những số, sau đó thì có những quaternion ( một sự lan rộng ra của số phức ) và octonion. Việc xem xét những số tự nhiên cũng dẫn đến những số vô hạn ( transfinite numbers ), từ đó chính thức hóa khái niệm ” vô hạn “. Một nghành nghiên cứu khác là kích cỡ ( size ), từ đó sinh ra số đếm ( cardinal numbers ) và rồi một khái niệm khác về vô hạn : số aleph, được cho phép thực thi so sánh có ý nghĩa kích cỡ của những tập hợp lớn vô hạn .Nhiều đối tượng người dùng toán học, ví dụ điển hình tập hợp những số lượng và những hàm số, bộc lộ cấu trúc nội tại toát ra từ những phép đổi khác toán học hay những mối quan hệ được xác lập trên tập hợp. Toán học từ đó nghiên cứu đặc thù của những tập hợp hoàn toàn có thể được miêu tả dưới dạng cấu trúc đó ; ví dụ điển hình kim chỉ nan số nghiên cứu đặc thù của tập hợp những số nguyên hoàn toàn có thể được diễn đạt dưới dạng những phép đổi khác số học. Ngoài ra, thường thì những tập hợp có cấu trúc ( hay những cấu trúc ) khác nhau đó biểu lộ những đặc thù giống nhau, khiến người ta hoàn toàn có thể thiết kế xây dựng nên những tiên đề cho một lớp cấu trúc, rồi sau đó nghiên cứu hàng loạt hàng loạt lớp cấu trúc thỏa mãn nhu cầu những tiên đề này. Do đó người ta hoàn toàn có thể nghiên cứu những nhóm, vành, trường, và những hệ phức tạp khác ; những nghiên cứu như vậy ( về những cấu trúc được xác lập bởi những phép đổi khác đại số ) tạo thành nghành đại số trừu tượng. Với mức độ tổng quát cao của mình, đại số trừu tượng thường hoàn toàn có thể được vận dụng vào những bài toán có vẻ như không tương quan gì đến nhau. Một ví dụ về triết lý đại số là đại số tuyến tính, nghành nghiên cứu về những khoảng trống vectơ, ở đó những yếu tố cấu thành nó gọi là vectơ có cả lượng và hướng và chúng hoàn toàn có thể được dùng để mô phỏng những điểm ( hay mối quan hệ giữa những điểm ) trong khoảng trống. Đây là một ví dụ về những hiện tượng kỳ lạ bắt nguồn từ những nghành hình học và đại số bắt đầu không tương quan gì với nhau nhưng lại tương tác rất mạnh với nhau trong toán học văn minh. Toán học tổng hợp nghiên cứu những cách tính số lượng những đối tượng người tiêu dùng hoàn toàn có thể xếp được vào trong một cấu trúc nhất định .
Không gian
Việc nghiên cứu không gian bắt đầu với hình học – cụ thể là hình học Euclid. Lượng giác là một lĩnh vực toán học nghiên cứu về mối quan hệ giữa các cạnh và góc của tam giác và với các hàm lượng giác; nó kết hợp không gian và các con số, và bao gồm định lý Pythagore nổi tiếng. Ngành học hiện đại về không gian tổng quát hóa những ý tưởng này để bao gồm hình học nhiều chiều hơn, hình học phi Euclide (đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết tương đối tổng quát), và tô pô. Cả lượng và không gian đều đóng vai trò trong hình học giải tích, hình học vi phân, và hình học đại số. Hình học lồi và hình học rời rạc trước đây được phát triển để giải các bài toán trong lý thuyết số và giải tích phiếm hàm thì nay đang được nghiên cứu cho các ứng dụng trong tối ưu hóa (tối ưu lồi) và khoa học máy tính (hình học tính toán). Trong hình học vi phân có các khái niệm bó sợi (fiber bundles) và vi tích phân trên các đa tạp, đặc biệt là vi tích phân vectơ và vi tích phân tensor. Hình học đại số thì mô tả các đối tượng hình học dưới dạng lời giải là những tập hợp phương trình đa thức, cùng với những khái niệm về lượng và không gian, cũng như nghiên cứu về các nhóm tô-pô kết hợp cấu trúc và không gian. Các nhóm Lie được dùng để nghiên cứu không gian, cấu trúc, và sự thay đổi. Tô pô trong tất cả những khía cạnh của nó có thể là một lĩnh vực phát triển vĩ đại nhất của toán học thế kỷ 20; nó bao gồm tô-pô tập hợp điểm (point-set topology), tô-pô lý thuyết tập hợp (set-theoretic topology), tô-pô đại số và tô-pô vi phân (differential topology). Trong đó, những chủ đề của tô-pô hiện đại là lý thuyết không gian mêtric hóa được (metrizability theory), lý thuyết tập hợp tiên đề (axiomatic set theory), lý thuyết đồng luân (homotopy theory), và lý thuyết Morse. Tô-pô cũng bao gồm giả thuyết Poincaré nay đã giải được, và giả thuyết Hodge vẫn chưa giải được. Những bài toán khác trong hình học và tô-pô, bao gồm định lý bốn màu và giả thiết Kepler, chỉ giải được với sự trợ giúp của máy tính.
Sự thay đổi
Hiểu và diễn đạt sự đổi khác là chủ đề thường gặp trong những ngành khoa học tự nhiên. Vi tích phân là một công cụ hiệu suất cao đã được tăng trưởng để nghiên cứu sự đổi khác đó. Hàm số từ đây sinh ra, như một khái niệm TT miêu tả một đại lượng đang đổi khác. Việc nghiên cứu ngặt nghèo những số thực và hàm số của một biến thực được gọi là giải tích thực, với số phức thì có nghành nghề dịch vụ tựa như gọi là giải tích phức. Giải tích phiếm hàm ( functional analysis ) tập trung chuyên sâu chú ý quan tâm vào những khoảng trống thường là vô hạn chiều của hàm số. Một trong nhiều ứng dụng của giải tích phiếm hàm là trong cơ học lượng tử ( ví dụ : kim chỉ nan phiếm hàm tỷ lệ ). Nhiều bài toán một cách tự nhiên dẫn đến những mối quan hệ giữa lượng và vận tốc đổi khác của nó, rồi được nghiên cứu dưới dạng những phương trình vi phân. Nhiều hiện tượng kỳ lạ trong tự nhiên hoàn toàn có thể được miêu tả bằng những mạng lưới hệ thống động lực ; triết lý hỗn độn nghiên cứu phương pháp theo đó nhiều trong số những mạng lưới hệ thống động lực này biểu lộ những hành vi không tiên đoán được nhưng vẫn có tính tất định .
Toán học ứng dụng
Toán học ứng dụng quan tâm đến những phương pháp toán học thường được sử dụng trong khoa học, kỹ thuật, kinh doanh, và công nghiệp. Như vậy, “toán học ứng dụng” là một ngành khoa học toán học với kiến thức đặc thù. Thuật ngữ toán học ứng dụng cũng được dùng để chỉ lĩnh vực chuyên nghiệp, ở đó các nhà toán học giải quyết các bài toán thực tế. Với tư cách là một ngành nghề chú trọng vào các bài toán thực tế, toán học ứng dụng tập trung vào “việc thiết lập, nghiên cứu, và sử dụng những mô hình toán học” trong khoa học, kỹ thuật, và những lĩnh vực thực hành toán học khác. Trước đây, những ứng dụng thực tế đã thúc đẩy sự phát triển các lý thuyết toán học, để rồi sau đó trở thành chủ đề nghiên cứu trong toán học thuần túy, nơi toán học được phát triển chủ yếu cho chính nó. Như vậy, hoạt động của toán học ứng dụng nhất thiết có liên hệ đến nghiên cứu trong lĩnh vực toán học thuần túy.
Thống kê và những lĩnh vực liên quan
Toán học ứng dụng có nhiều phần chung với thống kê, đặc biệt quan trọng với triết lý Xác Suất. Các nhà thống kê, khi thao tác trong một khu công trình nghiên cứu, ” tạo ra số liệu có ý nghĩa ” sử dụng chiêu thức tạo mẫu ngẫu nhiên ( random sampling ) và những thí nghiệm được ngẫu nhiên hóa ( randomized experiments ) ; [ 28 ] việc phong cách thiết kế thí nghiệm hay mẫu thống kê xác lập giải pháp phân tích số liệu ( trước khi số liệu được tạo ra ). Khi xem xét lại số liệu từ những thí nghiệm và những mẫu hay khi phân tích số liệu từ những nghiên cứu bằng cách quan sát, những nhà thống kê ” làm bật ra ý nghĩa của số liệu ” sử dụng chiêu thức mô phỏng và suy luận – qua việc chọn mẫu và qua ước tính ; những mẫu ước tính và những tiên đoán có được từ đó cần được thử nghiệm với những số liệu mới. [ 29 ]Lý thuyết thống kê nghiên cứu những bài toán tương quan đến việc quyết định hành động, ví dụ giảm thiểu rủi ro tiềm ẩn ( sự tổn thất được mong đợi ) của một hành vi mang tính thống kê, ví dụ điển hình sử dụng giải pháp thống kê trong ước tính tham số, kiểm nghiệm giả thuyết, và chọn ra tham số cho hiệu quả tốt nhất. Trong những nghành truyền thống cuội nguồn này của thống kê toán học, bài toán quyết định-thống kê được tạo ra bằng cách cực tiểu hóa một hàm mục tiêu ( objective function ), ví dụ điển hình giá tiền hay sự mất mát được mong đợi, dưới những điều kiện kèm theo nhất định. [ 30 ] Vì có sử dụng triết lý tối ưu hóa, triết lý toán học về thống kê có chung mối chăm sóc với những ngành khoa học khác nghiên cứu việc quyết định hành động, như vận trù học, kim chỉ nan tinh chỉnh và điều khiển, và kinh tế tài chính học toán. [ 31 ]
Toán học tính toán
Toán học giám sát đưa ra và nghiên cứu những giải pháp giải những bài toán toán học mà con người thường không có năng lực giải số được. Giải tích số nghiên cứu những chiêu thức giải những bài toán trong giải tích sử dụng giải tích phiếm hàm và triết lý xê dịch ; giải tích số gồm có việc nghiên cứu giao động và rời rạc hóa theo nghĩa rộng, với sự chăm sóc đặc biệt quan trọng đến sai số làm tròn ( rounding errors ). Giải tích số và nói rộng hơn giám sát khoa học ( scientific computing ) cũng nghiên cứu những chủ đề phi giải tích như khoa học toán học, đặc biệt quan trọng là ma trận thuật toán và kim chỉ nan đồ thị. Những nghành nghề dịch vụ khác của toán học thống kê giám sát gồm có đại số máy tính ( computer algebra ) và giám sát hình tượng ( symbolic computation ) .
Source: https://laodongdongnai.vn
Category: Nghiên Cứu
