Bài tập chuyên đề Rút gọn có đáp án – Toán lớp 9 – Trường Quốc Học

Toán cấp 2 chia sẻ một số bài tập chuyên đề Rút gọn có đáp án thuộc chương trình Toán lớp 9 giúp học sinh ôn tập cũng cố kiến thức chuẩn bị tốt cho các kì thi quan trọng.

* Chú ý : Các em hoàn toàn có thể hỏi nhau những bài nào chưa hiểu ở phần comment bài viết .

Giải:

1 )

• Ta thấy $ \displaystyle x=25$ thoả mãn điều kiện $ x\ge 0;\,\,\,x\ne 9$.
• Thay $ \displaystyle x=25$ vào A ta được: $ A=\frac{7}{\sqrt{25}+8}=\frac{7}{5+8}=\frac{7}{13}$.
• Vậy khi $ \displaystyle x=25$ thì $ A=\frac{7}{13}$

2 ) $ \ begin { array } { l } 2 ) \, \, \, B = \ frac { \ sqrt { x } \ left ( \ sqrt { x } + 3 \ right ) + 2 \ sqrt { x } – 24 } { \ left ( \ sqrt { x } – 3 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } + 3 \ right ) } \, \, = \ frac { x + 5 \ sqrt { x } – 24 } { \ left ( \ sqrt { x } – 3 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } + 3 \ right ) } \ \ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, = \ frac { \ left ( \ sqrt { x } + 8 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } – 3 \ right ) } { \ left ( \ sqrt { x } – 3 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } + 3 \ right ) } = \ frac { \ sqrt { x } + 8 } { \ sqrt { x } + 3 } \ end { array } $Vậy $ B = \ frac { \ sqrt { x } + 8 } { \ sqrt { x } + 3 } \, \, và \, \, ; \, \, \, \, x \ ge 0 \, \, ; \, \, x \ ne 9 USDUSD \ Rightarrow $ ĐPCM3 ) ĐK : USD x \ ge 0 ; \, \, \, x \ ne 9 USD ( * ), ta có : USD P = A.B = \ frac { 7 } { \ sqrt { x } + 8 }. \ frac { \ sqrt { x } + 8 } { \ sqrt { x } + 3 } = \ frac { 7 } { \ sqrt { x } + 3 } > 0 \, \, , \, \, \, \ forall x \ ge 0, \, \, x \ ne 9 USD+ ) Vì $ x \ ge 0 USD nên $ \ sqrt { x } \ ge 0 \ Rightarrow \ sqrt { x } + 3 \ ge 3 \ Rightarrow \ frac { 7 } { \ sqrt { x } + 3 } \ le \ frac { 7 } { 3 } $

+) Do đó: $ 0+ ) Vậy $ P \ notin \ mathbb { Z } \ Leftrightarrow P \ in \ left \ { 1 \, ; \, \, \, 2 \ right \ } $

• TH1: $ P=1\Leftrightarrow \frac{7}{\sqrt{x}+3}=1\Leftrightarrow 7=\sqrt{x}+3\Leftrightarrow \sqrt{x}=4\Leftrightarrow x=16$ (thoả mãn ĐK *)
• TH2: $ P=2\Leftrightarrow \frac{7}{\sqrt{x}+3}=2\Leftrightarrow 7=2\sqrt{x}+6\Leftrightarrow \sqrt{x}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$ (thoả mãn ĐK *)

Vậy P nguyên $ \ displaystyle \ Leftrightarrow x \ in \ left \ { 16 ; \, \, \ frac { 1 } { 4 } \ right \ } $

Giải:

1 )

• Ta thấy $ \displaystyle x=9$ thoả mãn điều kiện $ x>0,\,\,\,x\ne 4$.
• Thay $ \displaystyle x=9$ vào P ta được: $ P=\frac{9+3}{\sqrt{9}-2}=\frac{12}{3-2}=12$.
• Vậy khi $ \displaystyle x=9$ thì $ P=12$

2 ) $ \ begin { array } { l } \, Q = \ frac { \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } – 2 \ right ) + 5 \ sqrt { x } – 2 } { \ left ( \ sqrt { x } + 2 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } – 2 \ right ) } \, \, = \ frac { { { \ left ( \ sqrt { x } \ right ) } ^ { 2 } } – 3 \ sqrt { x } + 2 + 5 \ sqrt { x } – 2 } { \ left ( \ sqrt { x } + 2 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } – 2 \ right ) } \ \ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, = \ frac { { { \ left ( \ sqrt { x } \ right ) } ^ { 2 } } + 2 \ sqrt { x } } { \ left ( \ sqrt { x } + 2 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } – 2 \ right ) } = \ frac { \ sqrt { x } \ left ( \ sqrt { x } + 2 \ right ) } { \ left ( \ sqrt { x } + 2 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } – 2 \ right ) } \ \ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, = \ frac { \ sqrt { x } } { \ sqrt { x } – 2 } \ end { array } $Vậy $ Q = \ frac { \ sqrt { x } } { \ sqrt { x } – 2 } và \, \, ; \, \, \, \, x > 0 \, \, ; \, \, x \ ne 4 USDUSD \ Rightarrow $ ĐPCM3 ) ĐK : USD x > 0, \, \, \, x \ ne 4 USD ( * )USD \ frac { P } { Q } = \ frac { x + 3 } { \ sqrt { x } – 2 }. \ frac { \ sqrt { x } – 2 } { \ sqrt { x } } = \ frac { x + 3 } { \ sqrt { x } } = \ sqrt { x } + \ frac { 3 } { \ sqrt { x } } $+ ) Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương : $ \ sqrt { x } \, \, v \ grave { a } \, \, \ frac { 3 } { \ sqrt { x } } $, ta có :USD \ displaystyle \ begin { array } { l } \ sqrt { x } + \ frac { 3 } { \ sqrt { x } } \ ge 2 \ sqrt { \ sqrt { x }. \ frac { 3 } { \ sqrt { x } } } = 2 \ sqrt { 3 } \ \ \ Rightarrow \ frac { P } { Q } \ ge 2 \ sqrt { 3 } \, \, ; \, \, \, \ forall x > 0, \, \, \, x \ ne 4 \ end { array } $+ ) $ \ frac { P } { Q } = 2 \ sqrt { 3 } \ Leftrightarrow $ dấu “ = ” trong BĐT Cô – si xảy ra $ \ Leftrightarrow \ sqrt { x } = \ frac { 3 } { \ sqrt { x } } \ Leftrightarrow { { \ left ( \ sqrt { x } \ right ) } ^ { 2 } } = 3 \ Leftrightarrow x = 3 $ ( tmđk * )Vậy USD x = 3 $ thì $ \ displaystyle \ frac { P } { Q } $ đạt GTNN

Giải:

1 ) + ) A xđ $ \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } x \ ge 0 \ \ \ sqrt { x } – 1 \ ne 0 \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow x \ ge 0, \, \, \, x \ ne 1 USD+ ) Ta thấy khi $ \ displaystyle x = 9 $ thoả mãn điều kiện kèm theo : USD x \ ge 0, \, \, \, x \ ne 1 USD+ ) Thay $ \ displaystyle x = 9 $ vào A, ta được :USD A = \ frac { \ sqrt { 9 } + 1 } { \ sqrt { 9 } – 1 } = \ frac { 3 + 1 } { 3-1 } = \ frac { 4 } { 2 } = 2 USD+ ) Vậy khi $ \ displaystyle x = 9 $ thì $ A = 2 USD2 ) $ \ begin { array } { l } P = \ frac { x-2 + \ sqrt { x } } { \ sqrt { x } \ left ( \ sqrt { x } + 2 \ right ) }. \ frac { \ sqrt { x } + 1 } { \ sqrt { x } – 1 } \, \, = \ frac { { { \ sqrt { x } } ^ { 2 } } + \ sqrt { x } – 2 } { \ sqrt { x } \ left ( \ sqrt { x } + 2 \ right ) }. \ frac { \ sqrt { x } + 1 } { \ sqrt { x } – 1 } \ \ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, = \ frac { \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } + 2 \ right ) } { \ sqrt { x } \ left ( \ sqrt { x } + 2 \ right ) }. \ frac { \ sqrt { x } + 1 } { \ sqrt { x } – 1 } \, \, = \ frac { \ sqrt { x } + 1 } { \ sqrt { x } } \ end { array } $Vậy $ P = = \ frac { \ sqrt { x } + 1 } { \ sqrt { x } } \, \, ; \, \, \, \, x \ ge 0, \, \, \, x \ ne 1 $ $ \ Rightarrow $ ĐPCM3 ) ĐK : USD x \ ge 0, \, \, \, x \ ne 1 USD ( * )USD \ displaystyle \ begin { array } { l } 2P = 2 \ sqrt { x } + 5 \ Leftrightarrow 2. \ frac { \ sqrt { x } + 1 } { \ sqrt { x } } = 2 \ sqrt { x } + 5 \ \ \ Leftrightarrow 2 \ sqrt { x } + 2 = 2 { { \ sqrt { x } } ^ { 2 } } + 5 \ sqrt { x } \ Leftrightarrow 2 { { \ sqrt { x } } ^ { 2 } } + 3 \ sqrt { x } – 2 = 0 \ \ \ Leftrightarrow 2 \ left ( \ sqrt { x } – \ frac { 1 } { 2 } \ right ) \ left ( \ sqrt { x } + 2 \ right ) = 0 \ \ \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } \ sqrt { x } – \ frac { 1 } { 2 } = 0 \ \ \ sqrt { x } + 2 = 0 \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } \ sqrt { x } = \ frac { 1 } { 2 } \ \ \ sqrt { x } = – 2 \, \, \, \ left ( việt nam \ right ) \ end { array } \ right. \ \ \ Leftrightarrow x = \ frac { 1 } { 4 } \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ left ( tmk * \ right ) \ end { array } $Vậy $ \ displaystyle x = \ frac { 1 } { 4 } \, USD thì $ 2P = 2 \ sqrt { x } + 5 USD

Giải:

1 ) + ) USD x = 64 $ thoả mãn điều kiện kèm theo : USD x > 0 USD+ ) Thay $ x = 64 $ vào A, ta được :USD A = \ frac { 2 + \ sqrt { 64 } } { \ sqrt { 64 } } = \ frac { 2 + 8 } { 8 } = \ frac { 5 } { 4 } $+ ) Vậy khi USD x = 64 $ thì $ A = \ frac { 5 } { 4 } $2 ) $ \ displaystyle \ begin { array } { l } B = \ frac { \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) \ left ( \ sqrt { x + 1 } \ right ) + 2 \ sqrt { x } + 1 } { \ sqrt { x } \ left ( \ sqrt { x } + 1 \ right ) } \ \ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, = \ frac { { { \ sqrt { x } } ^ { 2 } } – 1 + 2 \ sqrt { x } + 1 } { \ sqrt { x } \ left ( \ sqrt { x } + 1 \ right ) } = \ frac { { { \ sqrt { x } } ^ { 2 } } + 2 \ sqrt { x } } { \ sqrt { x } \ left ( \ sqrt { x } + 1 \ right ) } \ \ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, = \, \ frac { \ sqrt { x } \ left ( \ sqrt { x } + 2 \ right ) } { \ sqrt { x } \ left ( \ sqrt { x } + 1 \ right ) } = \ frac { \ sqrt { x } + 2 } { \ sqrt { x } + 1 } \ end { array } $Vậy : $ \ displaystyle B = \ frac { \ sqrt { x } + 2 } { \ sqrt { x } + 1 } ; \, \, \, x > 0 USD3 ) ĐK : USD x > 0 USD ( * )USD \ displaystyle \ begin { array } { l } \ frac { A } { B } > \ frac { 3 } { 2 } \ Leftrightarrow \ frac { 2 + \ sqrt { x } } { \ sqrt { x } }. \ frac { \ sqrt { x } + 1 } { \ sqrt { x } + 2 } > \ frac { 3 } { 2 } \ \ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ Leftrightarrow \ frac { \ sqrt { x } + 1 } { \ sqrt { x } } > \ frac { 3 } { 2 } \ end { array } $( Nhân cả hai vế với USD 2 \ sqrt { x } > 0 $ )USD \ begin { array } { l } \ Leftrightarrow 2 \ left ( \ sqrt { x } + 1 \ right ) > 3 \ sqrt { x } \ \ \ Leftrightarrow \ sqrt { x } < 2 \ \ \ Leftrightarrow x < 4 \ end { array } $

Kết hợp với (*) ta được: $ 0\frac{3}{2}$

Giải:

1 ) + ) A xđ $ \ Leftrightarrow x \ ge 0 USD .+ ) Ta thấy USD x = 36 $ thoả mãn điều kiện kèm theo USD x \ ge 0 USD+ ) Thay $ x = 36 $ vào A ta được :USD A = \ frac { \ sqrt { 36 } + 4 } { \ sqrt { 36 } + 2 } = \ frac { 6 + 4 } { 6 + 2 } = \ frac { 10 } { 8 } = \ frac { 5 } { 4 } $+ ) Vậy khi USD x = 36 $ thì $ A = \ frac { 5 } { 4 } $2 ) $ \ displaystyle B = \ frac { \ sqrt { x } \ left ( \ sqrt { x } – 4 \ right ) + 4 \ left ( \ sqrt { x } + 4 \ right ) } { \ left ( \ sqrt { x } + 4 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } – 4 \ right ) }. \ frac { \ sqrt { x } + 2 } { x + 16 } $USD \ begin { array } { l } = \ frac { { { \ sqrt { x } } ^ { 2 } } – 4 \ sqrt { x } + 4 \ sqrt { x } + 16 } { x-16 }. \ frac { \ sqrt { x } + 2 } { x-16 } \ \ = \ frac { \ left ( x + 16 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } + 2 \ right ) } { \ left ( x-16 \ right ) \ left ( x + 16 \ right ) } = \ frac { \ sqrt { x } + 2 } { x-16 } \ end { array } $Vậy : USD B = \ frac { \ sqrt { x } + 2 } { x-16 } ; \, \, x > 0, \, \, x \ ne 16 USD3 ) + ) ĐK : USD x > 0, \, \, \, x \ ne 16 USD+ ) $ B. \ left ( A-1 \ right ) = \ frac { \ sqrt { x } + 2 } { x-16 }. \ left ( \ frac { \ sqrt { x } + 4 } { \ sqrt { x } + 2 } – 1 \ right ) USDUSD = \ frac { \ sqrt { x } + 2 } { x-16 }. \ frac { \ sqrt { x } + 4 – \ sqrt { x } – 2 } { \ sqrt { x } + 2 } = \ frac { 2 } { x-16 } $USD B. \ left ( A-1 \ right ) \ in \ mathbb { Z } \ Leftrightarrow \ frac { 2 } { x-16 } \ in \ mathbb { Z } $ ⇔ $ x-16 \ in $ $ \ left \ { \ pm 1 \, \, ; \, \, \ pm 2 \ right \ } $ ( Vì khi USD x \ in \ mathbb { Z } $ thì USD x-16 \ in \ mathbb { Z } $ )USD \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } x-16 = – 1 \ \ x-16 = 1 \ \ x-16 = – 2 \ \ x-16 = 2 \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } x = 15 \ \ x = 17 \ \ x = 14 \ \ x = 18 \ end { array } \ right. $ tổng thể đều thoả mãn điều kiện kèm theo : USD x > 0, \, \, \, \, x \ ne 16 USDVậy USD x \ in \ left \ { 14 \, ; \, \, 15 \, ; \, \, 17 \, ; \, \, 18 \ right \ } $ là những giá trị nguyên của x để $ B. \ left ( A-1 \ right ) USD nhận giá trị nguyên .

Giải:

1 ) + ) $ A = \ frac { \ sqrt { x } \ left ( \ sqrt { x + 5 } \ right ) – 10 \ sqrt { x } – 5 \ left ( \ sqrt { x } – 5 \ right ) } { \ left ( \ sqrt { x } – 5 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } + 5 \ right ) } $USD \ displaystyle \ begin { array } { l } = \ frac { { { \ sqrt { x } } ^ { 2 } } – 10 \ sqrt { x } + 25 } { \ left ( \ sqrt { x } – 5 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } + 5 \ right ) } \ \ = \ frac { { { \ left ( \ sqrt { x } – 5 \ right ) } ^ { 2 } } } { \ left ( \ sqrt { x } – 5 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } + 5 \ right ) } \ \ = \ frac { \ sqrt { x } – 5 } { \ sqrt { x } + 5 } \ end { array } $Vậy : USD A = \ frac { \ sqrt { x } – 5 } { \ sqrt { x } + 5 } ; \, \, x \ ge 0 \, ; \, \, x \ ne 25 USD2 ) + ) Ta thấy USD x = 9 $ thoả mãn điều kiện kèm theo : USD x \ ge 0, \, \, \, x \ ne 25 USD+ ) Thay $ x = 9 $ vào A, ta được :USD A = \ frac { \ sqrt { 9 } – 5 } { \ sqrt { 9 } + 5 } = \ frac { 3-5 } { 3 + 5 } = \ frac { – 2 } { 8 } = \ frac { – 1 } { 4 } $Vậy khi USD x = 9 $ thì $ A = \ frac { – 1 } { 4 } $3 ) + ) ĐK : USD x \ ge 0, \, \, \, x \ ne 25 USD ( * )+ ) $ A < \ frac { 1 } { 3 } \ Leftrightarrow \ frac { \ sqrt { x } - 5 } { \ sqrt { x } + 5 } < \ frac { 1 } { 3 } $( Nhân cả 2 vế với USD 3 \ left ( \ sqrt { x } + 5 \ right ) > 0 $ )USD \ displaystyle \ begin { array } { l } \ Leftrightarrow 3 \ left ( \ sqrt { x } – 5 \ right ) < \ sqrt { x } + 5 \ \ \ Leftrightarrow 2 \ sqrt { x } \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, < \, \, 20 \ \ \ Leftrightarrow \, \, \, \, \, \, \ sqrt { x } \, \, \, \, \, \, \, \, \, < 10 \ \ \ Leftrightarrow \, \, \, \, \, \, \, \, \, x \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, < 100 \ end { array } $Kết hợp điều kiện kèm theo ( * ), ta có : $ \ left \ { \ begin { array } { l } 0 \ le x < 100 \ \ x \ ne 25 \ end { array } \ right. $ thì $ A < \ frac { 1 } { 3 } $

Giải:

1 ) + ) Ta thấy USD x = 25 $ thoả mãn đk : USD x > 0, \, \, \, x \ ne 1 USD2 ) + ) USD M = \ frac { \ sqrt { 2 } + 2 } { { { \ left ( \ sqrt { x } + 1 \ right ) } ^ { 2 } } } – \ frac { \ sqrt { x } – 2 } { \ left ( \ sqrt { x } + 1 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) } $USD \ displaystyle \ begin { array } { l } = \ frac { \ left ( \ sqrt { x } + 2 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) – \ left ( \ sqrt { x } – 2 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } + 1 \ right ) } { { { \ left ( \ sqrt { x } + 1 \ right ) } ^ { 2 } }. \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) } \ \ = \ frac { \ left ( x + \ sqrt { x } – 2 \ right ) – \ left ( x – \ sqrt { x } – 2 \ right ) } { { { \ left ( \ sqrt { x } + 1 \ right ) } ^ { 2 } }. \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) } \ \ = \ frac { 2 \ sqrt { x } } { { { \ left ( \ sqrt { x } + 1 \ right ) } ^ { 2 } }. \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) } \ end { array } $+ ) USD S = M.N = \ frac { 2 \ sqrt { x } } { { { \ left ( \ sqrt { x } + 1 \ right ) } ^ { 2 } }. \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) }. \ frac { \ sqrt { x } + 1 } { \ sqrt { x } } $USD = \ frac { 2 } { \ left ( \ sqrt { x } + 1 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) } = \ frac { 2 } { x-1 } $Vậy : USD S = \ frac { 2 } { x-1 } ; \, \, x > 0, \, \, x \ ne 1 USD .3 ) + ) ĐK : USD x > 0, \, \, \, x \ ne 1 USD ( * )+ ) USD S < - 1 \ Leftrightarrow \ frac { 2 } { x-1 } < - 1 USDUSD \ begin { array } { l } \ Leftrightarrow \ frac { 2 } { x-1 } + 1 < 0 \ \ \ Leftrightarrow \ frac { 2 + x-1 } { x-1 } < 0 \ \ \ Leftrightarrow \ frac { x + 1 } { x-1 } < 0 \ end { array } $Vì : USD x + 1 > 1 > 0, \, \, \ forall x > 0 USD nên : $ \ frac { x + 1 } { x-1 } < 0 \ Leftrightarrow x-1 < 0 \ Leftrightarrow x < 1 USD

+) Kết hợp điều kiện (*), ta được: $ 0

Giải:

1 ) + ) Ta thấy USD x = 36 $ thoả mãn ĐK : USD x \ ge 0, \, \, x \ ne 1 USD+ ) Thay $ x = 36 USD vào B ta được : USD B = \ frac { \ sqrt { 36 } + 3 } { \ sqrt { 36 } + 1 } = \ frac { 6 + 3 } { 6 + 1 } = \ frac { 9 } { 7 } $+ ) Vậy khi USD x = 36 $ thì $ B = \ frac { 9 } { 7 } $2 ) + ) $ A = \ frac { \ sqrt { x } } { \ sqrt { x } – 1 } + \ frac { 1 } { \ sqrt { x } + 2 } – \ frac { 3 \ sqrt { x } } { \ left ( \ sqrt { x-1 } \ right ) \ left ( \ sqrt { x } + 2 \ right ) } $USD \ begin { array } { l } = \ frac { \ sqrt { x } \ left ( \ sqrt { x } + 2 \ right ) + \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) – 3 \ sqrt { x } } { \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } + 2 \ right ) } \ \ = \ frac { { { \ sqrt { x } } ^ { 2 } } – 1 } { \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } + 2 \ right ) } = \ frac { \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } + 1 \ right ) } { \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } + 2 \ right ) } \ \ = \ frac { \ sqrt { x } + 1 } { \ sqrt { x } + 2 } \ end { array } $Vậy $ A = = \ frac { \ sqrt { x } + 1 } { \ sqrt { x } + 2 } ; \, \, x \ ge 0, \, \, x \ ne 1 USD3 ) + ) ĐK : USD x \ ge 0, \, \, x \ ne 1 USDUSD + ) \, \, S = A.B = \ frac { \ sqrt { x } + 1 } { \ sqrt { x } + 2 }. \ frac { \ sqrt { x } + 3 } { \ sqrt { x } + 1 } \, = \ frac { \ sqrt { x } + 3 } { \ sqrt { x } + 2 } = 1 + \ frac { 1 } { \ sqrt { x } + 2 } $USD \ begin { array } { l } \ bullet ) \, \, \ forall x \ ge 0, \, \, x \ ne 1 : \ \ \, \, \, \ sqrt { x } \ ge 0 \ Rightarrow \ sqrt { x } + 2 \ ge 0 \, \, \ Rightarrow \ frac { 1 } { \ sqrt { x } + 2 } \ le \ frac { 1 } { 2 } \, \ Rightarrow 1 + \ frac { 1 } { \ sqrt { x } + 2 } \ le 1 + \ frac { 1 } { 2 } = \ frac { 3 } { 2 } \ end { array } $USD \ displaystyle \ begin { array } { l } \ bullet ) \, \, S = \ frac { 3 } { 2 } \ Leftrightarrow 1 + \ frac { 1 } { \ sqrt { x } + 2 } = \ frac { 3 } { 2 } \ Leftrightarrow \ frac { 1 } { \ sqrt { x } + 2 } = \ frac { 1 } { 2 } \ \ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ Leftrightarrow \ sqrt { x } + 2 = 2 \ Leftrightarrow \ sqrt { x } = 0 \ Leftrightarrow x = 0 \ end { array } $$ \ bullet ) \, \, \, x = 0 $ thoả mãn đk : USD x \ ge 0, \, \, x \ ne 1 USDVậy USD x = 0 $ thì S = A.B đạt GTLNUSD \ Leftrightarrow 6 > \ sqrt { a } + 2 \ Leftrightarrow \ sqrt { a } < 4 \ Leftrightarrow a < 16 USD

Giải:

1 ) + ) A xác lập $ \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } a \ ge 0 \ \ \ sqrt { a } \ ne 0 \ \ \ sqrt { a } \ ne 2 \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } a > 0 \ \ a \ ne 4 \ end { array } \ right. \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ left ( * \ right ) USD+ ) $ A = \ frac { \ left ( \ sqrt { a } – 2 \ right ) + \ left ( \ sqrt { a } + 2 \ right ) } { \ left ( \ sqrt { a } + 2 \ right ) \ left ( \ sqrt { a } – 2 \ right ) }. \ frac { \ sqrt { a } – 2 } { \ sqrt { a } } $ = $ \ frac { 2 \ sqrt { a }. \ left ( \ sqrt { a } – 2 \ right ) } { \ left ( \ sqrt { a } + 2 \ right ) \ left ( \ sqrt { a } – 2 \ right ). \ sqrt { a } } = \ frac { 2 } { \ sqrt { a } + 2 } $Vậy với $ A = \ frac { 2 } { \ sqrt { a } + 2 } $ với USD a > 0, \, \, \, a \ ne 4 USD2 ) + ) ĐK : USD a > 0, \, \, \, a \ ne 4 USD+ ) $ A > \ frac { 1 } { 3 } \ Leftrightarrow \ frac { 2 } { \ sqrt { a } + 2 } > \ frac { 1 } { 3 } $ ( nhân cả hai vế với USD 3 \ left ( \ sqrt { a } + 2 \ right ) > 0 $ )USD \ Leftrightarrow 6 > \ sqrt { a } + 2 \ Leftrightarrow \ sqrt { a } < 4 \ Leftrightarrow a < 16 USD

+) Kết hợp đk $ a>0,\,\,\,a\ne 4$ ta được: $ 03 ) + ) ĐK : USD a > 0, \, \, \, a \ ne 4 USD+ ) $ B = \ frac { 9 } { 4 } A = \ frac { 9 } { 4 }. \ frac { 2 } { \ sqrt { a } + 2 } = \ frac { 9 } { 2 \ left ( \ sqrt { a } + 2 \ right ) } $

• Dễ thấy: $ B>0;\,\,\forall a>0,\,\,a\ne 4$
• $ \forall a>0,\,\,\,a\ne 4$

USD \ sqrt { a } > 0 \ Rightarrow \ sqrt { a } + 2 > 2 \, \ Rightarrow 2 \ left ( \ sqrt { a } + 2 \ right ) > 4 \, \ Rightarrow \ frac { 9 } { 2 \ left ( \ sqrt { a } + 2 \ right ) } < \ frac { 9 } { 4 } = 2,25 $

• Vậy: $ 00,\,\,\,a\ne 4$

Do đó : $ B \ in \ mathbb { Z } \ Leftrightarrow B \ in \ left \ { 1 \, \, ; \, \, 2 \ right \ } $- ) TH1 : $ \ displaystyle B = 1 \ Leftrightarrow \ frac { 9 } { 2 \ left ( \ sqrt { a } + 2 \ right ) } = 1 \ Leftrightarrow 9 = 2 \ sqrt { a } + 4 \ Leftrightarrow \ sqrt { a } = \ frac { 5 } { 2 } \ Leftrightarrow a = \ frac { 25 } { 4 } $ ( thoả mãn đk * )- ) TH2 : USD B = 2 \ Leftrightarrow \ frac { 9 } { 2 \ left ( \ sqrt { a } + 2 \ right ) } = 2 \ Leftrightarrow 9 = 4 \ sqrt { a } + 8 \ Leftrightarrow \ sqrt { a } = \ frac { 1 } { 4 } \ Leftrightarrow a = \ frac { 1 } { 16 } $ ( thoả mãn đk * )Vây : USD a \ in \ left \ { \ frac { 1 } { 16 } ; \, \, \ frac { 25 } { 4 } \ right \ } $ thì $ B \ in \ mathbb { Z } $

Giải:

1 ) + ) Ta thấy USD x = 9-4 \ sqrt { 5 } = { { \ sqrt { 5 } } ^ { 2 } } – 2.2. \ sqrt { 5 } + { { 2 } ^ { 2 } } = { { \ left ( \ sqrt { 5 } – 2 \ right ) } ^ { 2 } } $ ( thoả mãn Đk : USD x \ ge 0, \, \, \, x \ ne 1 $ )+ ) Thay $ \ displaystyle x = { { \ left ( \ sqrt { 5 } – 2 \ right ) } ^ { 2 } } $ hay $ \ sqrt { x } = \ left | \ sqrt { 5 } – 2 \ right | = \ sqrt { 5 } – 2 $ vào A, ta được :$ \ displaystyle A = \ frac { \ left ( \ sqrt { 5 } – 2 \ right ) + 1 } { \ left ( \ sqrt { 5 } – 2 \ right ) + 5 } = \ frac { \ sqrt { 5 } – 1 } { \ sqrt { 5 } + 3 } = \ frac { \ left ( \ sqrt { 5 } – 1 \ right ) \ left ( \ sqrt { 5 } – 3 \ right ) } { { { \ sqrt { 5 } } ^ { 2 } } – { { 3 } ^ { 2 } } } = \ frac { 8-4 \ sqrt { 5 } } { – 4 } = \ sqrt { 5 } – 2 USDVậy : USD A = \ sqrt { 5 } – 2 $ khi $ \ displaystyle x = 9-4 \ sqrt { 5 } $2 ) + ) $ B = \ frac { \ sqrt { x } \ left ( \ sqrt { x } + 1 \ right ) + 3 \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) + 4-6 \ sqrt { x } } { \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } + 1 \ right ) } $USD \ begin { array } { l } \, \, \, \, \, = \ frac { { { \ sqrt { x } } ^ { 2 } } – 2 \ sqrt { x } + 1 } { \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } + 1 \ right ) } = \ frac { { { \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) } ^ { 2 } } } { \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } + 1 \ right ) } \ \ \, \, \, \, \, = \ frac { \ sqrt { x } – 1 } { \ sqrt { x } + 1 } \ end { array } $Vậy : USD B = \ frac { \ sqrt { x } – 1 } { \ sqrt { x } + 1 } ; \, \, \, x \ ge 0, \, \, x \ ne 1 USD3 ) + ) ĐK : USD x \ ge 0, \, \, x \ ne 1 USD+ ) USD S = A.B = \ frac { \ sqrt { x } + 1 } { \ sqrt { x } + 5 }. \ frac { \ sqrt { x } – 1 } { \ sqrt { x } + 1 } = \ frac { \ sqrt { x } – 1 } { \ sqrt { x } + 5 } = \ frac { \ sqrt { x } + 5-6 } { \ sqrt { x } + 5 } = 1 – \ frac { 6 } { \ sqrt { x } + 5 } $USD \ displaystyle \ begin { array } { l } \ bullet ) \, \, \ forall x \ ge 0, \, \, \, x \ ne 1 : \ \ \, \, \, \, \, \, \ sqrt { x } \ ge 0 \ Rightarrow \ sqrt { x } + 5 \ ge 5 \ \ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ Rightarrow \ frac { 6 } { \ sqrt { x } + 5 } \ le \ frac { 6 } { 5 } \ \ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ Rightarrow \ frac { – 6 } { \ sqrt { x } + 5 } \ ge \ frac { – 6 } { 5 } \ \ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ Rightarrow 1 – \ frac { 6 } { \ sqrt { x } + 5 } \ ge 1 – \ frac { 6 } { 5 } = \ frac { – 1 } { 5 } \ end { array } $$ \ bullet ) $ Ta thấy $ \ sqrt { x } = 0 $ hay USD x = 0 $ thì $ S = \ frac { – 1 } { 5 } $Vậy GTNN của S là $ \ frac { – 1 } { 5 } $

Giải:

* Cách 1:

• Đk: $ x\ge 0$
• TH1: $ x=0\Rightarrow P=0\in \mathbb{Z}$$ \Rightarrow $ nhận $ x=0$
• TH2: $ x>0$

+ ) Dễ thấy : USD P > 0, \, \, \, \ forall x > 0 USD+ ) $ P = \ frac { 3 \ sqrt { x } } { \ sqrt { x } + 1 } < \ frac { 3 \ sqrt { x } } { \ sqrt { x } } = 3 USD

+) Vậy: $ 0Do đó : $ P \ in \ mathbb { Z } \ Leftrightarrow P \ in \ left \ { 1 ; \, \, 2 \ right \ } $- ) USD P = 1 \ Leftrightarrow \ frac { 3 \ sqrt { x } } { \ sqrt { x } + 1 } = 1 \ Leftrightarrow 3 \ sqrt { x } = \ sqrt { x } + 1 \ Leftrightarrow \ sqrt { x } = \ frac { 1 } { 2 } \ Leftrightarrow x = \ frac { 1 } { 4 } $ ( loại vì $ \ frac { 1 } { 4 } \ notin \ mathbb { Z } $ )- ) $ \ displaystyle P = 2 \ Leftrightarrow \ frac { 3 \ sqrt { x } } { \ sqrt { x } + 1 } = 2 \ Leftrightarrow 3 \ sqrt { x } = 2 \ sqrt { x } + 2 \ Leftrightarrow \ sqrt { x } = 2 \ Leftrightarrow x = 4 $ ( nhận )

• KL: $ x\in \left\{ 0;\,\,4 \right\}$ thì $ P\in \mathbb{Z}$

*) Cách 2: Với $ x\in \mathbb{Z}$ ta chia 2 trường hợp sau:

• TH1: x là số chính phương $ \Rightarrow \sqrt{x}\in \mathbb{Z}$ : $ \displaystyle P=\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=3-\frac{3}{\sqrt{x}+1}$

Vì $ \ sqrt { x } + 1 \ in \ mathbb { Z } $ nên : $ P \ in \ mathbb { Z } \ Leftrightarrow \ sqrt { x } + 1 \ in $ Ư ( 3 )USD \ begin { array } { l } \ Leftrightarrow \ sqrt { x } + 1 \ in \ left \ { \ pm 1 \, ; \, \, \ pm 3 \ right \ } \ \ \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } \ sqrt { x } + 1 = – 1 \ \ \ sqrt { x } + 1 = 1 \ \ \ sqrt { x } + 1 = 3 \ \ \ sqrt { x } + 1 = – 3 \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } \ sqrt { x } = – 2 \ \ \ sqrt { x } = 0 \ \ \ sqrt { x } = 2 \ \ \ sqrt { x } = – 4 \ end { array } \ right. \ end { array } $USD \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } \ sqrt { x } = 0 \ \ \ sqrt { x } = 2 \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } x = 0 \ \ x = 4 \ end { array } \ right. $ ( đều là những số chính phương )

• TH2: x không là số chính phương

USD \ Rightarrow \ sqrt { x } $ là số vô tỉ $ \ Rightarrow \ sqrt { x } + 1 USD là số vô tỉUSD \ Rightarrow \ frac { – 3 } { \ sqrt { x } + 1 } $ là số vô tỉUSD \ Rightarrow 3 – \ frac { 3 } { \ sqrt { x } + 1 } $ là số vô tỉUSD \ Rightarrow P \ notin \ mathbb { Z } $Vậy : USD x \ in \ mathbb { Z } $ để $ P \ in \ mathbb { Z } $ là USD x \ in \ left \ { 0 \, ; \, \, 4 \ right \ } $

Giải:

• ĐK: $ x\ge 0,\,\,x\ne 4$ (*)
• $ \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}=2\sqrt{x}-\frac{8}{3}$

USD \ displaystyle \ begin { array } { l } \ Leftrightarrow \ sqrt { x } + 2 = \ left ( \ sqrt { x } + 1 \ right ) \ left ( 2 \ sqrt { x } – \ frac { 8 } { 3 } \ right ) \ \ \ Leftrightarrow 3 \ left ( \ sqrt { x } + 2 \ right ) = \ left ( \ sqrt { x } + 1 \ right ) \ left ( 6 \ sqrt { x } – 8 \ right ) \ \ \ Leftrightarrow 3 \ sqrt { x } + 6 = 6 x – 2 \ sqrt { x } – 8 \ \ \ Leftrightarrow 6 { { \ sqrt { x } } ^ { 2 } } – 5 \ sqrt { x } – 14 = 0 \ \ \ Leftrightarrow 6 \ left ( \ sqrt { x } – 2 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } + \ frac { 7 } { 6 } \ right ) = 0 \ \ \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } \ sqrt { x } – 2 = 0 \ \ \ sqrt { x } + \ frac { 7 } { 6 } = 0 \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } \ sqrt { x } = 2 \ \ \ sqrt { x } = \ frac { – 7 } { 6 } < 0 \ end { array } \ right. \ end { array } $USD \ displaystyle \ Leftrightarrow \ sqrt { x } = 2 \ Leftrightarrow x = 4 $ ( không thoả mãn đk ( * ) )

• Vậy không có x thoả mãn yêu cầu bài toán

Giải:

• ĐK: $ x\ge 0$
• Đặt $ a=\sqrt{x}+1\ge 1$

+ ) $ \ sqrt { x } = a-1 USD+ ) $ P = \ frac { { { \ left ( a-1 \ right ) } ^ { 2 } } – 3 \ left ( a-1 \ right ) – 2 } { a } $USD \ begin { array } { l } = \ frac { { { a } ^ { 2 } } – 2 a + 1-3 a + 3-2 } { a } \ \ = \ frac { { { a } ^ { 2 } } – 5 a + 2 } { a } = \ left ( a + \ frac { 2 } { a } \ right ) – 5 \ end { array } $

+) Áp dụng BĐT Cô – si cho 2 số dương: a và $ \frac{2}{a}$, ta có:

USD \ displaystyle a + \ frac { 2 } { a } \ ge 2 \ sqrt { a. \ frac { 2 } { a } } = 2 \ sqrt { 2 } \ Rightarrow P \ ge 2 \ sqrt { 2 } – 5 USD+ ) Ta thấy khi USD a = \ frac { 2 } { a } $ tức là $ a = \ sqrt { 2 } $ thì $ P = 2 \ sqrt { 2 } – 5 USD

• Vậy GTNN của $ P=2\sqrt{2}-5$

Bồi dưỡng Toán 9, Đại số 9 – Tags: rút gọn

Source: https://laodongdongnai.vn
Category: Tin Tức