Phương pháp quy nạp toán học: Lý thuyết, Bài tập và Cách giải

Phương pháp quy nạp toán học là phần kiến thức cực kỳ quan trọng trong chương trình toán học phổ thông. Vậy quy nạp toán học là gì? Các dạng toán liên quan đến quy nạp toán học như nào? Hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu về chủ đề phương pháp quy nạp toán học qua bài viết dưới đây nhé!

Lý thuyết về phương pháp quy nạp

Quy nạp toán học là gì?

Quy nạp toán học là một chiêu thức chứng tỏ toán học dùng để chứng tỏ một mệnh đề về bất kể tập hợp nào được xếp theo thứ tự. Thông thường nó được dùng để chứng tỏ mệnh đề vận dụng cho tập hợp toàn bộ những số tự nhiên .

Quy nạp toán học là một hình thức chứng minh trực tiếp, thường được thực hiện theo hai bước.

• Bước 1:Khi nỗ lực để chứng tỏ một mệnh đề là đúng cho tập hợp những số tự nhiên, bước tiên phong, được gọi là bước cơ sở, là chứng tỏ mệnh đề đưa ra là đúng với số tự nhiên tiên phong .
• Bước 2:Đây được gọi là bước quy nạp, là chứng tỏ rằng, nếu mệnh đề được giả định là đúng cho bất kể số tự nhiên nào đó, thế thì nó cũng đúng cho số tự nhiên tiếp theo. Sau khi chứng tỏ hai bước này, những quy tắc suy luận chứng minh và khẳng định mệnh đề là đúng cho tổng thể những số tự nhiên. Trong thuật ngữ phổ cập, sử dụng chiêu thức nói trên được gọi là sử dụng nguyên lý quy nạp toán học .

Nguyên lý quy nạp toán học

Mỗi bài toán là một mệnh đề đúng hoặc sai. Mỗi mệnh đề như vậy lại nhờ vào vào một biến số tự nhiên n. Một cách tổng quát ta ký hiệu P ( n ) là mệnh đề toán học phụ thuộc vào vào n, với n là số tự nhiên. Như vậy, thực ra chiêu thức quy nạp toán học là chứng tỏ dãy mệnh đề sau đúng hoặc sai :
P ( 1 ), P ( 2 ), P ( 3 ), … P ( n ), …

Phương pháp chứng minh

Để chứng tỏ một mệnh đề đúng với mọi \ ( n \ in \ mathbb { N } * \ ) bằng giải pháp quy nạp toán học, ta triển khai như sau :

• Bước 1 : Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1
• Bước 2 : Giả sử mệnh đề đúng với \ ( n = k \ geq 1 \ ) ( giả thiết quy nạp )
• Bước 3 : Cần chứng tỏ mệnh đề đúng với n = k + 1

Chú ý: Trong trường hợp chứng minh một mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên \(n\geq p\) (p là số tự nhiên) thì thuật toán là:

• Bước 1 : Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p
• Bước 2 : Giả sử mệnh đề đúng với \ ( n = k \ geq 1 \ ) ( giả thiết quy nạp )
• Bước 3 : Cần chứng tỏ mệnh đề đúng với n = k + 1

Một số dạng toán và cách giải

Dạng 1: Chứng minh đẳng thức

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với \(n\in \mathbb{N}*\) thì \(1 + 3 + 5 + …+ (2n – 1) = n^2\)  (1)

Cách giải:

Kiểm tra khi n = 1 mệnh đề ( 1 ) trở thành \ ( 1 = 1 ^ 2 = 1 \ ) ( luôn đúng )
Giả sử mệnh đề ( 1 ) đúng khi \ ( n = k \ geq 1 \ ), tức là :
\ ( S_ { k } = 1 + 3 + 5 + … + ( 2 k – 1 ) = k ^ 2 \ )
Cần chứng tỏ mệnh đề ( 1 ) đúng với n = k + 1, tức là cần chứng tỏ :
\ ( S_ { k + 1 } = 1 + 3 + 5 + … + ( 2 k – 1 ) + 2 [ 2 ( k + 1 ) – 1 ] = ( k + 1 ) ^ 2 \ )
Thật vậy, \ ( S_ { k + 1 } = S_ { k } + [ 2 ( k + 1 ) – 1 ] = k ^ 2 + 2 k + 1 = ( k + 1 ) ^ 2 \ )
Vậy mệnh đề ( 1 ) đúng với mọi \ ( n \ in \ mathbb { N } * \ )

Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \(n\geq 2\) ta có: \(\frac{2n+1}{3n+2} < \frac{1}{2n+2} + \frac{1}{2n+3} + \frac{1}{2n+4} + …+ \frac{1}{4n+2} <\frac{3n+2}{4(n+1)}\)

Cách giải:

Đặt \ ( P = \ frac { 1 } { 2 n + 2 } + \ frac { 1 } { 2 n + 3 } + \ frac { 1 } { 2 n + 4 } + … + \ frac { 1 } { 4 n + 2 } \ )
Chứng minh \ ( P > \ frac { 2 n + 1 } { 3 n + 2 } \ ). Tổng P có 2 n + 1 số hạng, ta ghép thành n cặp cách đều hai đầu, còn lại số hạng đứng giữa là \ ( \ frac { 1 } { 3 n + 2 } \ ), mỗi cặp có dạng :
\ ( \ frac { 1 } { 3 n + 2 – k } + \ frac { 1 } { 3 n + 2 + k } = \ frac { 2 ( 3 n + 2 ) } { ( 3 n + 2 ^ 2 – k ^ 2 ) } > \ frac { 2 ( 3 n + 2 ) } { ( 3 n + 2 ) ^ 2 } = \ frac { 2 } { 3 n + 2 } \ )
\ ( ( k = 1,2, …, n-1, n ) \ )
Do đó ta được :
\ ( P > \ frac { 2 } { 3 n + 2 } + \ frac { 1 } { 3 n + 2 } = \ frac { 2 n + 1 } { 3 n + 2 } \ )

Để chứng minh bất đẳng thức này, chúng ta cần bổ đề sau:

\ ( \ frac { 3 m – 2 } { ( m + k ) ( 2 m – 2 – k ) } < \ frac { 3 m - 2 } { m ( 2 m - 2 ) } \ Leftrightarrow m ( 2 m - 2 ) < ( m + k ) ( 2 m - 2 - k ) \ )( hinh anh 4 )Bất đẳng thức ở đầu cuối đúng theo giả thiết, nên bổ đề được chứng tỏ .Viết lại biểu thức P và vận dụng bổ đề ta có :\ ( 2P = ( \ frac { 1 } { 2 n + 2 } + \ frac { 1 } { 4 n + 2 } ) + ( \ frac { 1 } { 2 n + 3 } + \ frac { 1 } { 4 n + 1 } ) + … + ( \ frac { 1 } { 4 n + 2 } + \ frac { 1 } { 2 n + 2 } ) < ( \ frac { 1 } { 2 n + 2 } + \ frac { 1 } { 4 n + 2 } ) ( 2 n + 1 ) \ )Hay \ ( P < \ frac { 1 } { 2 }. \ frac { 3 n + 2 } { 2 ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) }. ( 2 n + 1 ) = \ frac { 3 n + 2 } { 4 ( n + 1 ) } \ )Vậy bất đẳng thức được chứng tỏ .

Dạng 3: Bài toán chia hết

Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi \(n\in \mathbb{N}*\) thì \(n^3 – n\) chia hết cho 3.

Cách giải:

Đặt \ ( A_ { n } = n ^ 3 – n \ )
Kiểm tra với n = 1, đúng khi \ ( n = k \ geq 1 \ ), tức là \ ( A_ { n } = 0 \ vdots 3 \ ) ( đúng )
Giả sử mệnh đề \ ( A_ { n } \ ) đúng với n = k + 1, tức là cần chứng tỏ mệnh đề :
\ ( A_ { k + 1 } = ( k + 1 ) ^ 3 – ( k + 1 ) \ vdots 3 \ )
Thật vậy : \ ( A_ { k + 1 } = ( k + 1 ) ^ 3 – ( k + 1 ) = k ^ 3 + 3 k ^ 2 + 3 k + 1 – k – 1 \ )
\ ( = ( k ^ 3 – k ) + 3 ( k ^ 2 + k ) = A_ { k } + 3 ( k ^ 2 + k ) \ vdots 3 \ )
Vậy \ ( n ^ 3 – n \ vdots 3 \, \ forall \, n \ in \ mathbb { N } * \ )

Trên đây là những kiến thức liên quan đến chủ đề phương pháp quy nạp toán học. Hy vọng đã cung cấp cho các bạn những thông tin bổ ích phục vụ cho quá trình học tập  và nghiên cứu của bản thân về phương pháp quy nạp toán học. Chúc bạn luôn học tốt!

4
/
5
(
1
bầu chọn

)

Please follow and like us :

Source: https://laodongdongnai.vn
Category: Chia Sẻ Kiến Thức