Công thức lượng giác sin, cos, tan, cot đầy đủ. Bí kíp học thuộc công thức lượng bằng thơ – Trường THPT Ngô Thì Nhậm

Công thức lượng giác sin, cos, tan, cot đầy đủ. Bí kíp học thuộc công thức lượng bằng thơ

Những kiến thức về công thức lượng giác đã được đề cập trong chương trình toán học phổ thông. Đây là kiến thức toán học cơ bản và là một phần luôn có mặt trong các đề thi trung học phổ thông, thi đại học. Cùng ôn lại kiến thức về công thức lượng giác với La Factoria Web nhé.  

Tìm hiểu về Lượng giác

Nguồn gốc

Đầu tiên chúng ta hãy tìm hiểu về nguồn gốc của lượng giác. Nguồn gốc của lượng giác được tìm thấy trong các nền văn minh của người Ai Cập, Babylon và nền văn minh lưu vực sông Ấn cổ đại từ trên 3000 năm trước. Những nhà toán học Ấn Độ cổ đại là những người tiên phong trong việc sử dụng tính toán các ẩn số đại số để sử dụng trong các tính toán thiên văn bằng lượng giác. Nhà toán học Lagadha là nhà toán học duy nhất mà ngày nay người ta biết đã sử dụng hình học và lượng giác trong tính toán thiên văn học trong cuốn sách của ông Vedanga Jyotisha, phần lớn các công trình của ông đã bị tiêu hủy khi Ấn Độ bị người nước ngoài xâm lược.

Nhà toán học Hy Lạp Hipparchus vào khoảng năm 150 TCN đã biên soạn bảng lượng giác để giải các tam giác.

Bạn đang xem: Công thức lượng giác sin, cos, tan, cot đầy đủ. Bí kíp học thuộc công thức lượng bằng thơ

Một nhà toán học Hy Lạp khác, Ptolemy vào khoảng năm 100 đã phát triển các tính toán lượng giác xa hơn nữa.

Nhà toán học người Silesia là Bartholemaeus Pitiscus đã xuất bản công trình có ảnh hưởng tới lượng giác năm 1595 cũng như giới thiệu thuật ngữ này sang tiếng Anh và tiếng Pháp.

Một số nhà toán học cho rằng lượng giác nguyên thủy được nghĩ ra để tính toán các đồng hồ mặt trời, là một bài tập truyền thống trong các cuốn sách cổ về toán học. Nó cũng rất quan trọng trong đo đạc.

Ứng dụng 

Lượng giác có ứng dụng nhiều trong những phép đo đạc tam giác được sử dụng trong thiên văn để đo khoảng cách tới các ngôi sao gần. Trong địa lý để đo khoảng cách giữa các mốc giới hay trong các hệ thống hoa tiêu vệ tinh. 

Một số lĩnh vực ứng dụng lượng giác như thiên văn, lý thuyết âm nhạc, âm học, quang học, phân tích thị trường tài chính, điện tử học, lý thuyết xác suất, thống kê, sinh học, chiếu chụp y học (các loại chụp cắt lớp và siêu âm), dược khoa, hóa học, lý thuyết số (và vì thế là mật mã học), địa chấn học, khí tượng học, hải dương học và nhiều lĩnh vực của vật lý, đo đạc đất đai và địa hình, kiến trúc, ngữ âm học, kinh tế học, khoa công trình về điện, cơ khí, xây dựng, đồ họa máy tính, bản đồ học, tinh thể học v.v.

Mô hình hiện đại trừu tượng hóa của lượng giác – lượng giác hữu tỉ, bao gồm các khái niệm “bình phương sin của góc” và “bình phương khoảng cách” thay vì góc và độ dài – đã được tiến sĩ Norman Wildberger ở trường đại học tổng hợp New South Wales nghĩ ra.

Có thể thấy lượng giác được sử dụng đa dạng và là công thức quan trọng trong các lĩnh vực, khoa học. 

Lượng giác

Hai tam giác được coi là đồng dạng nếu một trong hai tam giác có thể thu được nhờ việc mở rộng (hay thu hẹp) cùng lúc tất cả các cạnh tam giác kia theo cùng tỷ lệ. Điều này chỉ có thể xảy ra khi và chỉ khi các góc tương ứng của chúng bằng nhau, ví dụ hai tam giác khi xếp lên nhau thì có một góc bằng nhau và cạnh đối của góc đã cho song song với nhau. Yếu tố quyết định về sự đồng dạng của tam giác là độ dài các cạnh của chúng tỷ lệ thuận hoặc các góc tương ứng của chúng phải bằng nhau. 

Điều đó có nghĩa là khi hai tam giác là đồng dạng và cạnh dài nhất của một tam giác lớn gấp 2 lần cạnh dài nhất của tam giác kia thì cạnh ngắn nhất của tam giác thứ nhất cũng lớn gấp 2 lần so với cạnh ngắn nhất của tam giác thứ hai và tương tự như vậy cho cặp cạnh còn lại. Ngoài ra, các tỷ lệ độ dài các cặp cạnh của một tam giác sẽ bằng các tỷ lệ độ dài của các cặp cạnh tương ứng của tam giác còn lại. Cạnh dài nhất của bất kỳ tam giác nào sẽ là cạnh đối của góc lớn nhất.

Sử dụng các yếu tố đã nói trên đây, người ta định nghĩa các hàm lượng giác, dựa vào tam giác vuông, là tam giác có một góc bằng 90 độ hay π/2 radian), tức tam giác có góc vuông.

Do tổng các góc trong một tam giác là 180 ° hay π radian, nên góc lớn nhất của tam giác vuông là góc vuông. Cạnh dài nhất của tam giác như thế sẽ là cạnh đối của góc vuông và người ta gọi nó là cạnh huyền.

Lấy 2 tam giác vuông có chung nhau một góc thứ hai A. Các tam giác này là đồng dạng, vì thế tỷ lệ của cạnh đối, b, của góc A so với cạnh huyền, h, là như nhau cho cả hai tam giác. Nó sẽ là một số nằm trong khoảng từ 0 tới 1 và nó chỉ phụ thuộc vào chính góc A. Người ta gọi nó là sin của góc A và viết nó là sin (A) hay sin A. Tương tự như vậy, người ta cũng định nghĩa cosin của góc A như là tỷ lệ của cạnh kề, a, của góc A so với cạnh huyền, h, và viết nó là cos (A) hay cos A.

Dưới đây là những hàm số quan trọng nhất trong lượng giác. Các hàm số khác có thể được định nghĩa theo cách lấy tỷ lệ của các cạnh còn lại của tam giác vuông nhưng chúng có thể biểu diễn được theo sin và cosin. Đó là các hàm số như tang, sec (sin), cotang (cot) và cosec (cos).

Như trên đã nói ở trên, các hàm lượng giác đã được định nghĩa cho các góc nằm trong khoảng từ 0 tới 90 độ (0 tới π/2 radian). Sử dụng khái niệm vectơ cho đường tròn đơn vị, người ta có thể mở rộng chúng để có các đối số âm và dương (xem thêm hàm lượng giác).

Khi các hàm sin và cosin đã được lập thành bảng (hoặc tính toán bằng máy tính hay máy tính tay) thì người ta có thể trả lời gần như mọi câu hỏi về các tam giác bất kỳ, sử dụng các quy tắc sin hay quy tắc cosin. Các quy tắc này có thể được sử dụng để tính toán các góc và cạnh còn lại của tam giác bất kỳ khi biết một trong ba yếu tố sau:

• Độ lớn của hai cạnh và góc kề của chúng
• Độ lớn của một cạnh và hai góc
• Độ lớn của cả 3 cạnh.

Bảng giá trị lượng giác của một góc không đổi

Dựa trên chứng minh trong tam giác vuông, người ta đã đưa ra được những giá trị lượng giác. Do tổng các góc trong một tam giác là 180° hay π radian, nên các giá trị sẽ quy về giá trị π. Công thức lượng giác trong tam giác, tính góc A là.

Ghi nhớ cos đối, sin bù, phụ chéo

Đây là những công thức lượng giác dành cho những góc có mối liên hệ đặc biệt với nhau như: đối nhau, phụ nhau, bù nhau, hơn kém pi, hơn kém π/2.

Công thức lượng giác của các cung liên quan đặc biệt

Công thức lượng giác cơ bản

Công thức lượng giác cộng

Công thức lượng giác nhân đôi, nhân ba

Công thức nhân đôi

Công thức nhân ba

Công thức lượng giác hạ bậc

Công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích

Tích thành tổng

Tổng thành tích

Công thức lượng giác bổ sung

Công thức lượng  giác biểu diễn theo tan

Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Thần chú công thức lượng giác

Thần chú công thức lượng giác các cung đặc biệt: 

“Cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi tan”. 

“Cosin của 2 góc đối bằng nhau; sin của 2 góc bù nhau thì bằng nhau; phụ chéo là 2 góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia; tan của 2 góc hơn kém pi thì bằng nhau”. 

Thần chú công thức lượng giác cơ bản: 

“Bắt được quả tang

Sin nằm trên cos (tan@ = sin@:cos@)

Cotang dại dột

Bị cos đè cho. (cot@ = cos@:sin@)”

Hoặc 

“Bắt được quả tang

Sin nằm trên cos

Côtang cãi lại

Cos nằm trên sin!”.

Thần chú công thức lượng giác cộng: 

“Cos + cos = 2 cos cos

cos trừ cos = trừ 2 sin sin

Sin + sin = 2 sin cos

sin trừ sin = 2 cos sin.

Sin thì sin cos cos sin

Cos thì cos cos sin sin “coi chừng” (dấu trừ).

Tang tổng thì lấy tổng tang

Chia một trừ với tích tang”. 

Và 

“tan một tổng 2 tầng cao rộng

trên thượng tầng tan + tan tan

dưới hạ tầng số 1 ngang tàng

dám trừ một tích tan tan oai hùng”. 

Thần chú công thức lượng giác nhân đôi: 

“Sin gấp đôi = 2 sin cos

Cos gấp đôi = bình cos trừ bình sin

= trừ 1 + 2 lần bình cos

= + 1 trừ 2 lần bình sin

Tang đôi ta lấy đôi tang (2 tang), chia 1 trừ lại bình tang, ra liền”. 

Thần chú công thức lượng giác nhân ba: 

“Nhân ba một góc bất kỳ,

sin thì ba bốn, cos thì bốn ba,

dấu trừ đặt giữa 2 ta, lập phương chỗ bốn, thế là ok”.

Thần chú công thức lượng tích thành tổng:

“Cos cos nửa cos cos 

Sin sin trừ nửa cos cos

Sin cos nửa sin sin”.

Thần chú công thức lượng tổng thành tích:

“sin tổng lập tổng sin cô

cô tổng lập hiệu đôi cô đôi chàng

còn tan tử cộng đôi tan (hoặc là: tan tổng lập tổng 2 tan)

một trừ tan tích mẫu mang thương sầu

gặp hiệu ta chớ lo âu

đổi trừ thành + ghi sâu vào lòng”.

và 

“tanx + tany: tình mình cộng lại tình ta, sinh ra 2 đứa con mình con ta.

tanx – tan y: tình mình hiệu với tình ta sinh ra hiệu chúng, con ta con mình”. 

Thần chú công thức lượng trong tam giác vuông:

“Sao Đi Học (Sin = Đối / Huyền)

Cứ Khóc Hoài ( Cos = Kề / Huyền)

Thôi Đừng Khóc ( Tan = Đối / Kề)

Có Kẹo Đây ( Cotan = Kề/ Đối)”

hoặc

“Sin đi học (cạnh đối – cạnh huyền)

Cos không hư (cạnh đối – cạnh huyền)

Tang đoàn kết (cạnh đối – cạnh kề)

Cotang kết đoàn (cạnh kề – cạnh đối)”

hoặc

“Tìm sin lấy đối chia huyền

Cosin lấy cạnh kề, huyền chia nhau

Còn tang ta hãy tính sau

Đối trên, kề dưới chia nhau ra liền

Cotang cũng dễ ăn tiền

Kề trên, đối dưới chia liền là ra”. 

Trên đây là những thông tin cơ bản về các công thức lượng giác sử dụng trong chương trình toán học phổ thông. Vận dụng những công thức lượng giác này để làm bài tập về lượng giác nhé các bạn.

Đăng bởi: THPT Ngô Thì Nhậm

Chuyên mục: Học Tập

Xem thêm Công thức lượng giác sin, cos, tan, cot đầy đủ. Bí kíp học thuộc công thức lượng bằng thơ

Những kiến thức về công thức lượng giác đã được đề cập trong chương trình toán học phổ thông. Đây là kiến thức toán học cơ bản và là một phần luôn có mặt trong các đề thi trung học phổ thông, thi đại học. Cùng ôn lại kiến thức về công thức lượng giác với La Factoria Web nhé.  

Tìm hiểu về Lượng giác

Nguồn gốc

Đầu tiên chúng ta hãy tìm hiểu về nguồn gốc của lượng giác. Nguồn gốc của lượng giác được tìm thấy trong các nền văn minh của người Ai Cập, Babylon và nền văn minh lưu vực sông Ấn cổ đại từ trên 3000 năm trước. Những nhà toán học Ấn Độ cổ đại là những người tiên phong trong việc sử dụng tính toán các ẩn số đại số để sử dụng trong các tính toán thiên văn bằng lượng giác. Nhà toán học Lagadha là nhà toán học duy nhất mà ngày nay người ta biết đã sử dụng hình học và lượng giác trong tính toán thiên văn học trong cuốn sách của ông Vedanga Jyotisha, phần lớn các công trình của ông đã bị tiêu hủy khi Ấn Độ bị người nước ngoài xâm lược.

Nhà toán học Hy Lạp Hipparchus vào khoảng năm 150 TCN đã biên soạn bảng lượng giác để giải các tam giác.

Một nhà toán học Hy Lạp khác, Ptolemy vào khoảng năm 100 đã phát triển các tính toán lượng giác xa hơn nữa.

Nhà toán học người Silesia là Bartholemaeus Pitiscus đã xuất bản công trình có ảnh hưởng tới lượng giác năm 1595 cũng như giới thiệu thuật ngữ này sang tiếng Anh và tiếng Pháp.

Một số nhà toán học cho rằng lượng giác nguyên thủy được nghĩ ra để tính toán các đồng hồ mặt trời, là một bài tập truyền thống trong các cuốn sách cổ về toán học. Nó cũng rất quan trọng trong đo đạc.

Ứng dụng 

Lượng giác có ứng dụng nhiều trong những phép đo đạc tam giác được sử dụng trong thiên văn để đo khoảng cách tới các ngôi sao gần. Trong địa lý để đo khoảng cách giữa các mốc giới hay trong các hệ thống hoa tiêu vệ tinh. 

Một số lĩnh vực ứng dụng lượng giác như thiên văn, lý thuyết âm nhạc, âm học, quang học, phân tích thị trường tài chính, điện tử học, lý thuyết xác suất, thống kê, sinh học, chiếu chụp y học (các loại chụp cắt lớp và siêu âm), dược khoa, hóa học, lý thuyết số (và vì thế là mật mã học), địa chấn học, khí tượng học, hải dương học và nhiều lĩnh vực của vật lý, đo đạc đất đai và địa hình, kiến trúc, ngữ âm học, kinh tế học, khoa công trình về điện, cơ khí, xây dựng, đồ họa máy tính, bản đồ học, tinh thể học v.v.

Mô hình hiện đại trừu tượng hóa của lượng giác – lượng giác hữu tỉ, bao gồm các khái niệm “bình phương sin của góc” và “bình phương khoảng cách” thay vì góc và độ dài – đã được tiến sĩ Norman Wildberger ở trường đại học tổng hợp New South Wales nghĩ ra.

Có thể thấy lượng giác được sử dụng đa dạng và là công thức quan trọng trong các lĩnh vực, khoa học. 

Lượng giác

Hai tam giác được coi là đồng dạng nếu một trong hai tam giác có thể thu được nhờ việc mở rộng (hay thu hẹp) cùng lúc tất cả các cạnh tam giác kia theo cùng tỷ lệ. Điều này chỉ có thể xảy ra khi và chỉ khi các góc tương ứng của chúng bằng nhau, ví dụ hai tam giác khi xếp lên nhau thì có một góc bằng nhau và cạnh đối của góc đã cho song song với nhau. Yếu tố quyết định về sự đồng dạng của tam giác là độ dài các cạnh của chúng tỷ lệ thuận hoặc các góc tương ứng của chúng phải bằng nhau. 

Điều đó có nghĩa là khi hai tam giác là đồng dạng và cạnh dài nhất của một tam giác lớn gấp 2 lần cạnh dài nhất của tam giác kia thì cạnh ngắn nhất của tam giác thứ nhất cũng lớn gấp 2 lần so với cạnh ngắn nhất của tam giác thứ hai và tương tự như vậy cho cặp cạnh còn lại. Ngoài ra, các tỷ lệ độ dài các cặp cạnh của một tam giác sẽ bằng các tỷ lệ độ dài của các cặp cạnh tương ứng của tam giác còn lại. Cạnh dài nhất của bất kỳ tam giác nào sẽ là cạnh đối của góc lớn nhất.

Sử dụng các yếu tố đã nói trên đây, người ta định nghĩa các hàm lượng giác, dựa vào tam giác vuông, là tam giác có một góc bằng 90 độ hay π/2 radian), tức tam giác có góc vuông.

Do tổng các góc trong một tam giác là 180 ° hay π radian, nên góc lớn nhất của tam giác vuông là góc vuông. Cạnh dài nhất của tam giác như thế sẽ là cạnh đối của góc vuông và người ta gọi nó là cạnh huyền.

Lấy 2 tam giác vuông có chung nhau một góc thứ hai A. Các tam giác này là đồng dạng, vì thế tỷ lệ của cạnh đối, b, của góc A so với cạnh huyền, h, là như nhau cho cả hai tam giác. Nó sẽ là một số nằm trong khoảng từ 0 tới 1 và nó chỉ phụ thuộc vào chính góc A. Người ta gọi nó là sin của góc A và viết nó là sin (A) hay sin A. Tương tự như vậy, người ta cũng định nghĩa cosin của góc A như là tỷ lệ của cạnh kề, a, của góc A so với cạnh huyền, h, và viết nó là cos (A) hay cos A.

Dưới đây là những hàm số quan trọng nhất trong lượng giác. Các hàm số khác có thể được định nghĩa theo cách lấy tỷ lệ của các cạnh còn lại của tam giác vuông nhưng chúng có thể biểu diễn được theo sin và cosin. Đó là các hàm số như tang, sec (sin), cotang (cot) và cosec (cos).

Như trên đã nói ở trên, các hàm lượng giác đã được định nghĩa cho các góc nằm trong khoảng từ 0 tới 90 độ (0 tới π/2 radian). Sử dụng khái niệm vectơ cho đường tròn đơn vị, người ta có thể mở rộng chúng để có các đối số âm và dương (xem thêm hàm lượng giác).

Khi các hàm sin và cosin đã được lập thành bảng (hoặc tính toán bằng máy tính hay máy tính tay) thì người ta có thể trả lời gần như mọi câu hỏi về các tam giác bất kỳ, sử dụng các quy tắc sin hay quy tắc cosin. Các quy tắc này có thể được sử dụng để tính toán các góc và cạnh còn lại của tam giác bất kỳ khi biết một trong ba yếu tố sau:

• Độ lớn của hai cạnh và góc kề của chúng
• Độ lớn của một cạnh và hai góc
• Độ lớn của cả 3 cạnh.

Bảng giá trị lượng giác của một góc không đổi

Dựa trên chứng minh trong tam giác vuông, người ta đã đưa ra được những giá trị lượng giác. Do tổng các góc trong một tam giác là 180° hay π radian, nên các giá trị sẽ quy về giá trị π. Công thức lượng giác trong tam giác, tính góc A là.

Ghi nhớ cos đối, sin bù, phụ chéo

Đây là những công thức lượng giác dành cho những góc có mối liên hệ đặc biệt với nhau như: đối nhau, phụ nhau, bù nhau, hơn kém pi, hơn kém π/2.

Công thức lượng giác của các cung liên quan đặc biệt

Công thức lượng giác cơ bản

Công thức lượng giác cộng

Công thức lượng giác nhân đôi, nhân ba

Công thức nhân đôi

Công thức nhân ba

Công thức lượng giác hạ bậc

Công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích

Tích thành tổng

Tổng thành tích

Công thức lượng giác bổ sung

Công thức lượng  giác biểu diễn theo tan

Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Thần chú công thức lượng giác

Thần chú công thức lượng giác các cung đặc biệt: 

“Cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi tan”. 

“Cosin của 2 góc đối bằng nhau; sin của 2 góc bù nhau thì bằng nhau; phụ chéo là 2 góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia; tan của 2 góc hơn kém pi thì bằng nhau”. 

Thần chú công thức lượng giác cơ bản: 

“Bắt được quả tang

Sin nằm trên cos (tan@ = sin@:cos@)

Cotang dại dột

Bị cos đè cho. (cot@ = cos@:sin@)”

Hoặc 

“Bắt được quả tang

Sin nằm trên cos

Côtang cãi lại

Cos nằm trên sin!”.

Thần chú công thức lượng giác cộng: 

“Cos + cos = 2 cos cos

cos trừ cos = trừ 2 sin sin

Sin + sin = 2 sin cos

sin trừ sin = 2 cos sin.

Sin thì sin cos cos sin

Cos thì cos cos sin sin “coi chừng” (dấu trừ).

Tang tổng thì lấy tổng tang

Chia một trừ với tích tang”. 

Và 

“tan một tổng 2 tầng cao rộng

trên thượng tầng tan + tan tan

dưới hạ tầng số 1 ngang tàng

dám trừ một tích tan tan oai hùng”. 

Thần chú công thức lượng giác nhân đôi: 

“Sin gấp đôi = 2 sin cos

Cos gấp đôi = bình cos trừ bình sin

= trừ 1 + 2 lần bình cos

= + 1 trừ 2 lần bình sin

Tang đôi ta lấy đôi tang (2 tang), chia 1 trừ lại bình tang, ra liền”. 

Thần chú công thức lượng giác nhân ba: 

“Nhân ba một góc bất kỳ,

sin thì ba bốn, cos thì bốn ba,

dấu trừ đặt giữa 2 ta, lập phương chỗ bốn, thế là ok”.

Thần chú công thức lượng tích thành tổng:

“Cos cos nửa cos cos 

Sin sin trừ nửa cos cos

Sin cos nửa sin sin”.

Thần chú công thức lượng tổng thành tích:

“sin tổng lập tổng sin cô

cô tổng lập hiệu đôi cô đôi chàng

còn tan tử cộng đôi tan (hoặc là: tan tổng lập tổng 2 tan)

một trừ tan tích mẫu mang thương sầu

gặp hiệu ta chớ lo âu

đổi trừ thành + ghi sâu vào lòng”.

và 

“tanx + tany: tình mình cộng lại tình ta, sinh ra 2 đứa con mình con ta.

tanx – tan y: tình mình hiệu với tình ta sinh ra hiệu chúng, con ta con mình”. 

Thần chú công thức lượng trong tam giác vuông:

“Sao Đi Học (Sin = Đối / Huyền)

Cứ Khóc Hoài ( Cos = Kề / Huyền)

Thôi Đừng Khóc ( Tan = Đối / Kề)

Có Kẹo Đây ( Cotan = Kề/ Đối)”

hoặc

“Sin đi học (cạnh đối – cạnh huyền)

Cos không hư (cạnh đối – cạnh huyền)

Tang đoàn kết (cạnh đối – cạnh kề)

Cotang kết đoàn (cạnh kề – cạnh đối)”

hoặc

“Tìm sin lấy đối chia huyền

Cosin lấy cạnh kề, huyền chia nhau

Còn tang ta hãy tính sau

Đối trên, kề dưới chia nhau ra liền

Cotang cũng dễ ăn tiền

Kề trên, đối dưới chia liền là ra”. 

Trên đây là những thông tin cơ bản về các công thức lượng giác sử dụng trong chương trình toán học phổ thông. Vận dụng những công thức lượng giác này để làm bài tập về lượng giác nhé các bạn.