Các Công Thức Hình Học 12 Từ Căn Bản Tới Nâng Cao

WElearn Wind

5/5 – (1 vote)

Hình học 12 là chương trình khá “khó nhằn” vì có nhiều công thức tính vecto phức tạp. Vì vậy, WElearn đã tổng hợp các công thức hình học 12 đầy đủ nhất để giúp bạn có thể tham khảo và củng cố kiến thức của mình.

1. Tóm tắt chương trình hình học 12

• Hệ thức lƣợng trong tam giác vuông

• Định lí côsin

• Định lí sin

•  Định lí talet

•  Diện tích trong hình phẳng

•  Các đường trong tam giác

• Hình học không gian

•  Khối đa diện:

2. Công thức hình học 12

2.1. Công thức tính khối đa diện

Đặc điểm các khối đa diện

Công thức Euler

Liên hệ giữa số đỉnh D, số cạnh C và số mặt M: D-C+M=2.

Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có tính chất sau đây:

• Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh.

• Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.

Một số khối đa diện lồi thường gặp:

Công thức diện tích

• Hình chữ nhật: S = a x b. (a, b là độ dài 2 cạnh)

• Hình vuông: S = a.a (a là độ dài hình vuông)

• Hình bình hành: S = a x h (a là độ dài đáy, h là chiều cao)

• Hình thoi: S = mn/2 (m, n là độ dài 2 đường chéo)

• Hình tam giác: S = ah/2  (a là độ dài đáy, h là chiều cao)

• Hình thang: S = (a+b).h/2 (a, b là độ dài 2 đáy; h là chiều cao)

• Hình tròn: S = r x r x 3,14 (r là bán kính)

2.2. Công thức thể tích khối đa diện lớp 12 (chương 1)

Công thức tính thể tích khối hình chóp (chóp tam giác và chóp tứ giác)

Công thức thể tích hình chóp được hiểu một cách đơn giản là bằng một phần ba diện tích đáy nhân với đường cao. Dù là hình chóp tam giác hay tam giác thì điều có chung công thức như trên.

Công thức tính thể tích khối lăng trụ

Hình lăng trụ có đặc điểm giống nhau đó là:

• Hai đáy giống nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song với nhau.

• Các cặp cạnh bên đôi một song song và bằng nhau. Các mặt bên là hình bình hành.

Công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật lớp 12

Với hình hộp chữ nhật có cạnh đáy lần lượt là a, b và chiều cao là c thì thể tích hình chữ nhật V= a.b.c (a, b, c: có cùng đơn vị độ dài).

Hình lập phương là dạng đặc biệt của hình hộp chữ nhật có a = b = c. Do vậy thể tích hình lập phương được tính theo công thức: V = a^3

Công thức thể tích khối cầu – Công thức hình học không gian lớp 12

Công thức thể tích khối cầu: V = 4/3.π.r³

• Công thức thể tích hình trụ: V = π.r².h

• Công thức diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2π.r.h

• Công thức diện tích toàn phần của khối hình trụ: Stp= Sđáy + Sxq = π.r² + 2π.r.h

Điều lưu ý ở đây chính là các đơn vị độ dài của bán kính và đường sinh phải cùng đơn vị với nhau.

Công thức khối hình trụ lớp 12

Công thức mặt nón – Công thức hình học không gian lớp 12

2.3. Công thức trong tọa độ

Bạn có thể tải bản PDF công thức hình học tại đây

3. Bài tập vận dụng

Bài tập chương 1

Câu 1: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, các cạnh bên bằng 2a. Gọi M là trung điểm SB, N là điểm trên cạnh SC sao cho SN = 3NC. Thể tích khối chóp A.BCNM có giá trị nào sau đây?

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = A√2 và đáy là tam giác ABC cân tại A. Biết  và BC = 2a. Thể tích khối chóp S.ABC là

Câu 3: Lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo BD’ của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 30º. Thể tích của lăng trụ là:

Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có (SAB),(SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SB tạo với đáy một góc 60° đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC. Tính thể tích của khối đa diện A.BMNC

Câu 5: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

A. Hai khối đa diện có thể tích bằng nhau thì bằng nhau

B. Hai khối chóp có hai đáy là hai tam giác đều bằng nhau thì thể tích bằng nhau

C. Hai khối lăng trụ có chiều cao bằng nhau thì thể tích bằng nhau

D. Hai khối đa diện bằng nhau có thể tích bằng nhau

Câu 6: Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng?

A. Tồn tại các khối đa diện đều loại (5;3)

B. Tồn tại các khối đa diện đều loại (5;4)

C. Tồn tại các khối đa diện đều loại (5;5)

D. Tồn tại các khối đa diện đều loại (4;5)

Câu 7: Mỗi cạnh của một khối đa diện là cạnh chung của bao nhiêu mặt của khối đa diện:

A. Hai mặt

B. Ba mặt

C. Bốn mặt

D. Năm mặt

Câu 8: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai:

A. Hình lăng trụ đều có cạnh bên vuông góc với đáy.

B. Hình lăng trụ đều có các mặt bên là các hình chữ nhật.

C. Hình lăng trụ đều có các cạnh bên bằng đường cao của lăng trụ.

D. Hình lăng trụ đều có tất cả các cạnh đều bằng nhau

Câu 9: Mỗi hình dưới đây gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó).

Số đa diện lồi trong các hình vẽ trên là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 10: Cho khối chóp S.ABC có SA = 9, SB = 4, SC = 8 và đôi một vuông góc. Các điểm A’, B’, C’ thỏa mãn SA→ = 2SA’→, SB→ = 3SB’→, SC→ = 4SC’→. Thể tích khối chóp S.A’B’C’ là:

A. 24

B. 16

C. 2

D. 12

Câu 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, các cạnh AB = 1, AC = 2. Các tam giác SAB và SAC lần lượt vuông tại B và C. Góc giữa (SBC) và mặt phẳng đáy bằng 60° . Tính thể tích của khối chóp đã cho.

Câu 12: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bằng a, cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 45°. Tính thể tích của khối & chóp S. ABCD

Câu 13: Tính thể tích của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết rằng AA’B’D’ là tứ diện đều cạnh bằng a.

Câu 14: Cho hình chóp tam giác đều cạnh bằng 3. Tính thể tích hình chóp đó biết chiều cao h = 7

Câu 15: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Thể tích V của khối chóp A.BCNM bằng

Câu 16: Cho tứ diện ABCD. Gọi B’ và C’ lần lượt là trung điểm của AB và AC. Khi đó tỉ số thể tích của khối tứ điện AB’C’D và khối tứ diện ABCD bằng:

Câu 17: Kim tự tháp Kê-ốp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 năm trước công nguyên. Kim tự tháp này là một hình chóp tứ giác đều có chiều cao là 147m, cạnh đáy dài 230m. Tính thể tích của nó

A. 2 592 100m3

B. 52900 m3

C. 7776300 m3

D. 1470000 m3

Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và thể tích V = 12 cm3. Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh bằng 4cm. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB).

Câu 19: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, BC = 2a; . Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác SAB cân tại S, tam giác SBC vuông tại S. Thể tích khối chóp S.ABC là:

Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, gọi M là trung điểm của AB. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết SD = a√3, SC tạo với mặt phẳng đáy (ABCD) một góc 60°. Thể tích khối chóp S.ABCD theo a là

Bài tập chương 2

Câu 1: Tam giác ABC vuông cân đỉnh A có cạnh huyền là a. Quay tam giác ABC quanh trục AB thì đoạn gấp khúc ACB tạo thành hình nón (N). Diện tích xung quanh của hình nón (N) là:

Câu 2: Hình nón (N) có đường sinh gấp hai lần bán kính đáy. Góc ở đỉnh của hình nón là :

A. 120o    B. 60o   C. 30o   D. 0o

Câu 3: Hình nón có chiều cao bằng đường kính đáy. Tỉ số giữa diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón bằng :

Câu 4: Một chiếc phễu đựng dầu hình nón có chiều cao là 30cm và đường sinh là 50cm. Giả sử rằng lượng dầu mà chiếc phễu đựng được chính là thể tích của khối nón. Khi đó trong các lượng dầu sau đây, lượng dầu nào lớn nhất chiếc phễu có thể đựng được :

A. 150720π(cm3)   B. 50400π(cm3)

C. 16000π(cm3)   D. 12000π(cm3)

Câu 5: Cho hình trụ có được khi quay hình chữ nhật ABCD quanh trục AB. Biết rằng AB = 2AD = 2a. Thể tích khối trụ đã cho theo a là :

A. 2πa3   B.πa3   C. 2πa3 /3   D.πa3 /2

Câu 6: Cho hình trụ có diện tích toàn phần là 7πa2 và bán kính đáy là a. Chiều cao của hình trụ là:

A. 3a/2   B. 2a    C. 5a/3   D. 5a/2

Câu 7: Để làm một thùng phi hình trụ người ta cần hai miếng nhựa hình tròn làm hai đáy có diện tích mỗi hình là 4π(cm2) và một miếng nhựa hình chữ nhật có diện tích là 15π(cm2) để làm thân. Tính chiều cao của thùng phi được làm.

A. 15/4(cm)   B. 5(cm)   C. 15/2(cm)   D. 15(cm)

Câu 8: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Lần lượt quay hình chữ nhật quanh các trục AB, AD ta được hai khối trụ lần lượt gọi là (H1), (H2). Tính tỉ số thể tích của khối trụ (H1) chia cho thể tích của khối trụ (H2)

A. 1   B. 1/4    C. 1/2    D. 2

Câu 9: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a và diện tích toàn phần 6πa2. Diện tích của thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua các trục của hình trụ là :

A. a2   B. 2a2   C. 4a2   D. 6a2

Câu 10: Cho khối trụ có diện tích toàn phần là π và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng đi qua trục là hình vuông. Thể tích khối trụ là :

Bài tập chương 3

Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho vectơ a→ = (2; 1; -2) . Tìm tọa độ của các vectơ b→ cùng phương với vectơ a→ và có độ dài bằng 6.

Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ

Với những giá trị nào của m thì sin(a→, b→) đạt giá trị lớn nhất

A. m=1     C. m=-8

B. m=1 hoặc m=-8   D. Không tồn tại m thỏa mãn.

Câu 3: Trong không gian Oxyz , gọi φ là góc tạo bởi hai vectơ a→ = (4; 3; 1); b→ = (-1; 2; 3). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Câu 4: Trong không gian Oxyz , cho hình bình hành ABDC với A(0;0;0), B(1;-2;3), D(3;1;-4). Tọa độ của điểm C là:

A. (4;-1;-1)   B. (2;3;-7)   C. (3/2; 1/2; -2)   D. (-2;-3;7)

Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(1;0;0), B(1;2;0), D(2;-1;0), A’(5;2;2). Tọa độ điểm C’ là:

A. (3;1;0)    B. (8;3;2)    C. (2;1;0)    D. (6;3;2)

Câu 6: Cho hai vectơ a→, b→ thay đổi nhưng luôn thỏa mãn:

Giá trị nhỏ nhất của

A. 11    B. -1    C. 1    D. 0

Câu 7: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: x2 + y2 + z2 – 2x – 2y – 4z + 5 = 0

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;2) và đường kính có độ dài bằng 2.

B. Phương trình chính tắc của mặt cầu (S) là: (x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 1

C. Diện tích của mặt cầu (S) là π

D. Thể tích của khối cầu (S) là 4π/3

Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện đều ABCD có A(0;1;2). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (BCD). Cho H(4;-3;-2). Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

A. I(2; -1; 0); R = 2√3     C. I(3; -2; -1); R = 3√3

B. I(4; -3; -2); R = 4√3     D. I(3; -2; -1); R = 9

Câu 9: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ u→ = (x; y; z), v→ = (x’; y’; z’) . Khẳng định nào dưới đây sai?

Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ u→ = (x; y; z), v→ = (x’; y’; z’) khác 0→ . Khẳng định nào dưới đây sai?

Đáp án chương 1

Câu 1:

Câu 2

Đáp án C

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng cách dựng như hình vẽ.

Câu 3

Câu 4

Câu 5: D

Câu 6: A

Câu 7: A

Câu 8: D

Câu 9: B

Câu 10

Đáp án chương 2

Câu 1

Theo cách xây dựng hình nón ta có đường sinh của hình nón là: l = BC = a .

Bán kính đáy của hình nón là: r = AC = BC.sin45o = a/√2

Vậy ta có diện tích xung quanh của hình nón (N) là:

Đáp án đúng là C.

Câu 2

Từ giả thiết ta có l = 2r .

Gọi 2α là góc ở đỉnh của hình nón, khi đó ta có :

Vậy góc ở đỉnh của hình nón là 60o .

Đáp án đúng là B.

Câu 3

Từ giả thiết ta có:

Đáp án đúng là D.

Câu 4

Từ giả thiết ta có h = 30cm ; l = 50cm. Khi đó ta có

Thể tích khối nón là :

Đáp án đúng là C.

Câu 5

Từ giả thiết ta có h = AB = 2a, r = AD = a. Khi đó ta có thể tích khối trụ là: V = πr2h = 2πa3 .

Đáp án đúng là A.

Câu 6

Từ giả thiết ta có:

Đáp án đúng là D.

Câu 7

Diện tích miếng nhựa hình chữ nhật để làm thân bằng diện tích xung quanh của thùng phi.

Từ giả thiết ta có :

Đáp án đúng là A.

Câu 8

Từ giả thiết ta có:

Khi đó ta có :

Đáp án đúng là C.

Câu 9

Từ giả thiết ta có:

Thiết diện đã cho là một hình chữ nhật có các cạnh lần lượt là h và 2r. Khi đó ta có diện tích thiết diện là : S = 2rh = 4a2 .

Đáp án đúng là C.

Câu 10

Từ giả thiết ta có:

Thể tích khối trụ là :

Đáp án đúng là D.

Đáp án chương 3

Câu 1: 

Ta có:

Mặt khác hai vectơ này cùng phương nên ta có:

Từ đó ta suy ra

Vậy đáp án cần tìm là C.

Lưu ý. Đáp án D là sai, do sai lầm trong tính độ dài của vectơ a→ :

Mà hai vectơ này cùng phương nên ta có:

Câu 2:

Với mọi cặp vectơ

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  hay hai vectơ này vuông góc. Điều đó tương đương với điều kiện :

Chọn B.

Nếu chúng ta suy nghĩ sai là: ‘‘ sin(a→, b→) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi góc giữa hai vectơ đó lớn nhất ’’ thì khi đó góc giữa hai vectơ bằng 180o , do đó tồn tại số k âm sao cho :

Hệ này vô nghiệm và dẫn đến ta chọn đáp án là D.

Câu 3:

Ta có

Suy ra

Vậy đáp án đúng là A.

Lưu ý. Đáp án B sai do tính nhầm

Đáp án C sai do tính nhầm

Đáp án D sai do tính nhầm

Câu 4:

Vì ABDC là hình bình hành nên ta có:

Vậy đáp án đúng là B.

Lưu ý. Đáp án A sai do nhầm giải thiết ABCD là hình bình hành.

Đáp án C xuất phát từ việc vận dụng sai quy tắc hình bình hành

Đáp án D xuất phát từ sai lầm cho rằng: AC→ = DB

Câu 5:

Vì ACC’A’, ABCD là những hình bình hành nên áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:

Từ đó suy ra:

Vậy đáp án đúng là D.

Lưu ý. Đáp án A sai do cho rằng tọa độ của C’ là tổng tọa độ của hai điểm B và D.

Đáp án B sai do cho rằng tọa độ của C’ là tổng tọa độ của ba điểm B, D và A’

Đáp án C xuất phát từ sai lầm rằng

Câu 6:

Áp dụng bất đẳng thức vectơ

Dấu bằng xảy ra khi 2 vectơ

cùng hướng. Vậy độ dài của vectơ |a→ – 2b→| ≥ 0 nhỏ nhất bằng 1.

Suy ra đáp án đúng là C.

Lưu ý. Đáp án A là giá trị lớn nhất của

Đáp án B xuất phát từ bất đẳng thức

tuy nhiên đáp án B sai do độ dài của một vectơ không âm

Đáp án D xuất phát từ nhận xét

tuy nhiên trong trường hợp này dấu bằng không xảy ra

Câu 7:

Ta viết lại phương trình của (S) dưới dạng chính tắc như sau:

x2 + y2 + z2 – 2x – 2y – 4z + 5 = 0

<=> (x2 – 2x + 1) +(y2 – 2y + 1) + (z2 – 4z + 4) = 1 + 1 + 4 – 5

<=> (x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 1

Vậy khẳng định B đúng.

Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;2) và có bán kính R=1, do đó đường kính của (S) là 2R=2.

Vậy khẳng định A đúng.

Thể tích của khối cầu (S) là

Vậy khẳng định D đúng

Khẳng định C là sai do nhầm giữa công thức diện tích của mặt cầu với diện tích của đường tròn. Diện tích mặt cầu (S) là: 4πR2 = 4π

Câu 8:

Do ABCD là tứ diện đều nên H là trọng tâm tam giác BCD và I trùng với trọng tâm G của tứ diện ABCD. Ta có:

 

Từ đó ta có:

Vậy đáp án C đúng

Lưu ý. Đáp án A sai do nhận định I là trung điểm của AH

Đáp án B sai do cho rằng I trùng H

Đáp án D sai do tính toán nhầm bán kính R

Câu 9:

Câu 10:

Như vậy, bài viết đã liệt kê các Công Thức Hình Học 12 cần nhớ cho các em tham khảo. Hy vọng những kiến thức mà Trung tâm gia sư WElearn chia sẻ có thể giúp ích cho bạn trong việc học tốt môn toán hơn.

Xem thêm các bài viết liên quan