Ứng dụng hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit để giải các bài toán thực tế liên qu | Exams Mathematics | Docsity

Download Ứng dụng hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit để giải các bài toán thực tế liên qu and more Mathematics Exams in PDF only on Docsity! 1 CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT Các bài toán về hàm số lũy thừa hàm số mũ và hàm số logarit là các bài toán rất hay và có nhiều ứng dụng trong thực tế. 1. Các ứng dụng trong kinh tế: Bài toán lãi suất trong gửi tiền vào ngân hàng, bài toán vay – mua trả góp … 2.Các ứng dụng trong lĩnh vực đời sống và xã hội. Bài toán tăng trưởng về dân số …. 3.Các ứng dụng trong lĩnh vực khoa học kỹ thuật: Bài toán liên quan đến sự phóng xạ, tính toán các cơn dư chấn do động đất, cường độ và mức cường độ âm thanh … Trước khi đọc các phần tiếp theo của tài liệu, các em thử một lần nhớ lại có khi nào ta từng đi theo bố (mẹ) vào ngân hàng: để gửi tiền tiết kiệm, hoặc vay tiền ngân hàng, hoặc làm một thẻ ATM mới… ở đó các em sẽ thay được những bảng thông báo về lãi suất tiền gửi, lãi suất cho vay, các em nghe được các nhân viên ngân hàng tư vấn về hình thức gửi tiền (vay tiền) và cách tính lãi suất. Liệu có em nào thắc mắc tư hỏi rằng lãi suất là gì? có các hình thức tính lãi suất nào thường gặp? Câu trả lời sẽ có trong các phần tiếp theo của tài liệu. Trong tài liệu nhỏ này các em cũng tìm được những câu trả lời cho các câu hỏi như: Dân số các quốc gia được dự báo tăng hay giảm bằng cách nào? Độ to (nhỏ) của âm thanh được tính toán như thế nào? …………….. Qua nội dung này, chúng ta sẽ biết vận dụng các kiến thức đã học về hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit vào đế giải quyết một số bài toán thực tế liên quan các chủ đề nêu ở trên. Các chủ đề trong bài toán, được thể hiện qua các phần sau: • Phần A: Tóm tắt lí thuyết và các kiến thức liên quan. • Phần B: Các bài toán ứng dụng thực tế • Phần C: Các bài toán trắc nghiệm khách quan. • Phần D: Đáp án và hướng dẫn giải câu hỏi trắc nghiệm. A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Trước hết chúng ta tìm hiểu một số khái niệm đơn giản sau. 1. Tiền lãi là một khái niệm xem xét dưới hai góc độ khác nhau là người cho vay và người đi vay. Ở góc độ người cho vay hay nhà đầu tư vốn, tiền lãi là số tiền tăng thêm trên số vốn đầu tư ban đầu trong một giai đoạn thời gian nhất định. Khi nhà đầu tư đem đâu tư một khoản vốn, họ 2 mong muốn sẽ thu được một giá trị trong tương lai, hơn giá trị đã bỏ ra ban đầu và khoản tiền chênh lệnh này được gọi là tiền lãi. Ở góc độ người đi vay hay người sử dụng vốn, tiền lãi là số tiến mà người đi vay phải trả cho người vay (là người chù sở hữu vốn) để được sử dụng vốn trong một thời gian nhất định. 2. Lãi suất: Là tỷ số tiền lãi (nhận được) phải trả so với vốn (cho) vay trong 1 đơn vị thời gian. Đơn vị thời gian có thế là năm, quý, tháng, ngày. Lãi suất được tính bằng tỷ lệ phần trăm hoặc số lẻ thập phân. Ví dụ: Một ngân hàng A có lãi suất cho tiền gửi tiết kiệm cho kỳ hạn 1 tháng là 0,65% một tháng. Nghĩa là ta hiểu nếu ban đầu ta gửi tiết kiệm vào ngân hàng A với số tiền ỉà 100 triệu đồng thì sau một tháng số tiền lãi ta nhận được là 100.10P 6 P x 0,65% = 650.000 đồng. Bây giờ ta tìm hiểu một số loại lãi suất hay sử dụng trong các ngân hàng và các dịch vụ tài chính: lãi đơn, lãi kép, lãi kép liên tục. Trong chủ đề này ta tìm hiểu về lãi đơn. 3. Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số vốn gốc mà không tính trên số tiền lãi do số vốn gốc sinh ra trong một khoáng thời gian cố định. (Chỉ có vốn gốc mới phát sinh tiền lãi). Bây giờ, hãy tưởng tượng ta cầm một khoản tiền 10.000.000 đồng đến gửi ngân hàng, sau mỗi tháng ta sẽ nhận được 0,5% của số tiền vốn 10.000.000 đồng đó. Quá trình tích vốn và sinh lãi có thế quan sát trong bảng sau: Tháng Tổng vốn (Đồng) Tổng Lãi (nếu không rút) (Đồng) 1 10.000.000 0,5%. 10.000.000 = 50.000 2 10.000.000 50.000 + 0,5%.10.000.000 = 100.000 3 10.000.000 100.000 + 0,5%.10.000.000 = 150.000 Như vậy, ta thấy rõ trong suốt quá trình trên tiền lãi ta có thêm hàng tháng là một hằng số, ngoài ra tiền vốn từ đầu chí cuối không đổi. Bây giờ ta xét bài toán tổng quát sau: Ta đưa vào sử dụng vốn gốc ban đầu PR0R với mong muốn đạt được lãi suất r mỗi kì theo hình thức lãi đơn trong thời gian n kì. Vào cuối mỗi kì ta rút tiền lãi và chỉ để lại vốn. Tính tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì.  Chú ý: Đơn vị thời gian của mỗi kì có thể là năm, quý, tháng, ngày. Ta theo dõi bảng sau: 5 Áp dụng công thức (1) ta tính được tổng số tiền ông B đạt được sau 2 năm 3 tháng là 27450.000.000 1 12% 571.500.000 12xP  = × + × =    đồng. Cách 2: Đưa đơn vị thời gian cùng là tháng. • Qui đổi lãi suất tháng: 1% 12 ′ = = rr tháng • Áp dụng công thức (1) ta tính được tổng số tiền ông B đạt được sau 2 năm 3 tháng là: PRnR = 450.000.000 x (1 + 27 x 1%) = 571.500.000 đồng. ■ Bình luận: Qua bài toán này ta cần lưu ý: Một là, khi tính toán các yếu tố trong bài toán đấu tư này các em cần lưu ý là dữ kiện ban đầu tính theo hình thức lãi suất nào: Lãi đơn hay loại lãi khác… từ đó xác định đúng công thức tính toán cho từng trường hợp. Hai là, nếu lãi suất và thời hạn gửi không cùng đơn vị thời gian, ta phải biến đổi để chúng đồng nhất về thời gian rồi mới áp dụng công thức (1). Bây giờ các em cùng qua tìm hiểu dạng toán thứ 2. DẠNG 2: CHO BIẾT VỐN VÀ LÃI SUẤT, TỔNG SỐ TIỀN CÓ ĐƯỢC SAU N KỲ. TÌM N Phương pháp  Xác định rõ các giá trị ban đầu: vốn PR0R, lãi suất r, tổng số tiền có được sau n kì  Áp dụng công thức ( ) 0 0 0 0 0 1 − = + ⇔ = + ⇔ = n n n P PP P nr P P P nr n P r  Qua các bài toán cụ thể, sẽ minh họa rõ hơn cho phương pháp trên Bài toán 3: Với lãi suất 10% năm (theo hình thức lãi đơn) cho số vốn 25 triệu đồng, nhà đầu tư A mong muốn thu được 32.125.000 đồng vào cuối đợt đầu tư. Vậy phải đầu tư trong bao lâu để đạt được giá trị như trên? (Giả sử lãi suất hàng năm không đổi)  Phân tích bài toán ■ Ta xác định giả thiết đề bài cho gì: Số tiền ban đầu PR0R = 25.000.000 đồng, hình thức gửi lãi đơn với lãi suất r = 10% một năm và giá trị đạt được vào cuối đợt đầu tư là 32.125.000 đồng. ■ Để tìm thời gian đầu tư trong bao lâu, xuất phát từ công thức (1) ( ) 0 0 0 0 0 1 − = + ⇔ = + ⇔ = n n n P PP P nr P P P nr n P r 6 Hướng dẫn giải • Áp dụng công thức (1): ( ) 0 0 0 0 0 32.125.000 25.000.0001 2,85 25.000.000 10% n n n P PP P nr P P P nr n P r − − = + ⇔ = + ⇔ = = = × năm = 2 năm 10 tháng 6 ngày • Vậy phải đầu tư số vốn trong thời gian 2 năm 10 tháng 6 ngày đế đạt được giá trị mong muốn. DẠNG 3: CHO BIẾT VỐN, TỔNG SỐ TIỀN CÓ ĐƯỢC SAU N KỲ. TÌM LÃI SUẤT Phương pháp  Xác định rõ các giá trị ban đầu: vốn PR0R, tổng số tiền có được sau n kì, số kỳ n  Để tính lãi suất r. Từ công thức (1) ( ) 0 0 0 0 0 1 − = + ⇔ = + ⇔ = n n n P PP P nr P P P nr r P n  Qua các bài toán cụ thể, sẽ minh họa rõ hơn cho phương pháp trên Bài toán 4: Bà Cúc gửi ngân hàng 60 triệu đồng trong 3 năm 4 tháng với lãi suất r%/năm thì đạt kết quả cuối cùng 75.210.000 đồng. Xác định r? (Biết rằng hình thức lãi suất là lãi đơn và lãi suất hàng năm không thay đổi)  Phân tích bài toán  Ta xác định giả thiết đề bài cho gì: Số tiền ban đầu PR0R =60.000.000 đồng, tổng số tiền có được sau 3 năm 4 tháng là 75.210.000 đồng.  Đề bài yêu câu tìm tìm lãi suất ta áp dụng công thức ( ) ( )0 1 , 1= +nP P nr Hướng dẫn giải • 3 năm 4 tháng 1 103 3 3 = + = năm • Áp dụng công thức (1) ( ) 0 0 0 75.210.000 60.000.0001 7,605%1060.000.000 3 − − = + ⇒ = = = × n n P PP P nr n P n một năm • Vậy lãi suất tiền gửi là 7,605% một năm để đạt được giá trị mong muốn DẠNG 4: CHO BIẾT LÃI SUẤT, TỔNG SỐ TIỀN CÓ ĐƯỢC SAU N KỲ, TÌM VỐN BAN ĐẦU Phương pháp 7  Xác định rõ các giá trị ban đầu: tổng số tiền có được sau n kì, lãi suất r, số kỳ n.  Tính số vốn ban đầu: Áp dụng công thức ( )0 01 1 = + ⇔ = + n n PP P nr P nr  Qua các bài toán cụ thể, sẽ minh họa rõ hơn cho phương pháp trên Bài toán 5: Với lãi suất đầu tư 14% năm (theo hình thức lãi đơn) thì nhà đầu tư anh Tuấn phải bỏ ra số vốn ban đầu là bao nhiêu để thu được 244 triệu đồng trong thời gian 3 năm 9 tháng. (Giả sử lãi suất hằng năm không đổi)  Phân tích bài toán  Ta xác định giả thiết đề bài cho gì: Số tiền thu được PRnR = 244.000.000 đồng, hình thức đầu tư theo lãi đơn với lãi suất r = 14% một năm và đầu tư trong thời gian n = 3 năm 9 tháng.  Đề bài yêu cầu tìm vốn đầu tư ban đầu của anh Tuấn, ta sử dụng công thức ( )0 1= +nP P nr Hướng dẫn giải • 3 năm 9 tháng = 9 153 12 4 + = năm • Từ dụng công thức (1): ( )0 0 244.000.0001 160.000.000151 1 14% 4 = + ⇒ = = = + + × n n PP P nr P nr đồng • Vậy phải đầu tư 160.000.000 đồng để đạt được giá trị mong muốn. ■ Bình luận: Qua các bài toán các em biết được. Một là, hình thức lãi đơn là gì, từ đó có những kiến thức và hiểu biết nhất định để sau này áp dụng trong cuộc sống hàng ngày. Hai là, biết tính toán qua lại các yếu tố trong công thức liên quan bài toán lãi đơn. Để hiểu rõ hơn các vấn đề nêu ở trên, các em làm các bài tập trắc nghiệm ở dưới nhé. A. TÓM TẮT I.Ý THUYẾT Trong chủ đề này ta tìm hiểu về lãi kép. 2.1. Lãi kép là phương pháp tính lãi mà trong đó lãi kỳ này được nhập vào vốn để tính lãi kì sau. Trong khái niệm này, số tiền lãi không chi tính trên số vốn gốc mà còn tính trên số tiền lãi do số vốn gốc sinh ra. • Thuật ngữ lãi kép cũng đồng nghĩa với các thuật ngữ như lãi gộp vốn, lãi ghép vốn hoặc lãi nhập vốn. 2.2. Công thức tính lãi kép. 10 PR5R = 100 x (1 + 13%)P 5 P = 184 triệu đồng. • Vậy số tiền lãi thu được sau 5 nấm là: PR5R – PR0R = 184 – 100 = 84 triệu đồng. Bài toán 3: Chị An gửi tiết kiệm 500.000.000 đông vào ngân hàng A theo kì hạn 3 tháng và lãi suất 0,62% một tháng theo thể thức lãi kép. a) Hỏi sau 5 năm chị An nhận được số tiền là bao nhiêu (cà vốn và lãi) ở ngân hàng, biết rằng chị không rút lãi ở tất cả các kì trước đó. b) Nếu với số tiền trên chị gửi tiết kiệm theo mức kì hạn 6 tháng với lãi suất 0,65% một tháng thì 5 năm chị An nhận được số tiền là bao nhiêu (cả vốn và lãi) ở ngân hàng, biết rằng chị không rút lãi ở tất cả các kì trước đó. Ảnh minh họa: Nguồn internet  Phân tích bài toán  Đề bài yêu cầu tìm tổng số tiền chị An rút được từ ngân hàng 1 thời gian gửi nhất định, lúc này ta sử dụng trục tiếp công thức PRnR=PR0R(1+r)P n P, (2)  Trong công thức (2) ta phải xác định rõ: PR0R = ..; r = .., M = ….?, từ đó thay vào công thức (2) tìm được PRnR. Hướng dẫn giải a) Do mỗi kì hạn là 3 tháng nên 5 năm ta có n = 20 kì hạn. • Lãi suất mỗi kì hạn là r = 3 x 0,62% = 1,86% . • Áp dụng công thức (2) sau 5 năm chị An nhận được số tiền là: PRnR =500000000 x (1 + 1,86%)P 20 P = 722.842.104 đồng. b) Do mỗi kì hạn là 6 tháng nên 5 năm ta có n = 10 kì hạn. • Lãi suất mỗi kì hạn là r = 6 x 0,65% = 3,9%. • Số tiền nhận được là: PRnR = 500000000 x (1 + 3,9%)P 10 P = 733036297,4 đồng. DẠNG 2: CHO BIẾT VỐN VÀ LÃI SUẤT, 11 TỔNG SỐ TIỀN CÓ ĐƯỢC SAU N KỲ. TÌM N Phương pháp • Xác định rõ các giá trị ban đâu: vốn P0, lãi suẵì r trong mỗi kì, tổng số tiền có được sau n kì. • Để tìm n, áp dụng công thức (2), ta có ( ) ( ) ( )0 0 1 1 *= + ⇔ + =n n n n PP P r r P Để tìm n từ đằng thức (*) ta có nhiêu cách thực hiện: Cách 1: Ta coi (*) là một phương trình mũ, giải ra tìm n. ( ) 1 0 0 1 log ++ = ⇔ =n n n r P Pr n P P Cách 2: Lấy logarit thập phân hai vế của đẳng thức (*), ta được ( ) ( ) ( ) 0 0 0 log log 1 log .log 1 log log 1 + = ⇔ + = ⇔ = + n n n n P P P Pr n r n P P r • Qua các bài toán cụ thể, sẽ minh họa rõ hơn cho phương pháp trên. Bài toán 4: Doanh nghiệp B muốn thu được 280 triệu đồng bằng cách đâu tư ở hiện tại 170 triệu đồng, với lãi suất sinh lợi là 13% một năm theo thể thức lãi kép. Xác định thời gian đầu tư?  Phân tích bài toán  Ta xác định giả thiết đề bài cho gì: Số tiền ban đầu PR0R = 170.000.000 đồng, theo hình thức lãi kép với lãi suất sinh lợi r = 13% một năm và giá trị đạt được vào cuối đạt đầu tư là 280.000.000 đồng.  Để tìm thời gian đầu tư trong bao lâu, ta xuất phát từ công thức (2) (Các em coi lại phần phương pháp giải). Ở bài toán này ta dùng cách 2. Hướng dẫn giải • Ta có PRnR = 280.000.000 đồng, PR0R = 170.000.000 đồng, r = 13% một năm • Sau n năm đầu tư, Doanh nghiệp B thu được tổng số tiền là: PRnR=PR0R(1 + r) ,(*). Để tìm n từ công thức (*) các em sử dụng 2 cách (coi lại phân phương pháp giải). Trong lời giải này ta sử dụng cách 2, lấy logarit thập phân hai vế. Ta được 12 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 log * 1 .log 1 log log 1 ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = + n n n n P P P Pr n r n P P r ( ) 280.000.000log 170.000.000 4,08 log 1 13% ⇔ = = + n năm = 4 năm 1 tháng • Vậy phải đầu tư số vốn trong thời gian 4 năm 1 tháng để đạt được giá trị mong muốn. Bài toán 5: Một người gửi 60 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép, kì hạn 1 năm với lãi suất 7,56% một năm. Hỏi sau bao nhiêu năm gửi người gửi sẽ có ít nhất 120 triệu đồng từ số tiền gửi ban đầu (giả sử lãi suất không thay đổi)?  Phân tích bài toán  Ta xác định giả thiết đề bài cho gì: Số tiền ban đầu PR0R = 60.000.000 đồng, theo hình thức lãi kép với lãi suất r = 7,56% một năm và giá trị đạt được sau n năm gửi là 280.000.000 đồng.  Để tìm thời gian gửi trong bao lâu, ta xuất phát từ công thức (2) (Các em coi lại phần phương pháp giải). Ở bài toán này ta dùng cách 1. Hướng dẫn giải • Ta có PRnR =120.000.000 đồng, PR0R = 60.000.000 đồng, r = 7,56% một năm • Áp dụng công thức (2): sau n năm gửi, người gửi thu được tổng số tiền là ( ) ( )0 1 1 7,56% 0 0 120.000.0001 1 log log 9,51 60.000.000+ += + ⇔ + = ⇔ = ⇔ = ≈n n n n n r P PP P r r n n P P năm • Vậy sau khoảng 10 năm người gửi sẽ có ít nhất 120 triệu đồng từ số vốn 60 triệu đồng ban đầu. Bài toán 6: Một khách hàng có 100.000.000 đồng gửi ngân hàng kì hạn 3 tháng với lãi suất 0,65% một tháng theo thế thức lãi kép. Hỏi sau tối thiểu bao nhiêu quý gửi tiền vào ngân hàng, khách mới có số tiền lãi lớn hơn số tiền gốc ban đầu gửi ngân hàng, giả sử người đó không rút lãi trong tất cả các quý định kì. (Số quý gửi là số nguyên)  Phân tích bài toán  Ta xác định giả thiết đề bài cho gì: Số tiền ban đầu PR0R =100.000.000 đồng, gửi theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,65% một tháng và kì hạn gửi là 3 tháng, từ đó suy ra được lãi suất trong 1 kì hạn là: r = 3 x 0,65% = 1,95% 15 CHỦ ĐỀ 3: BÀI TOÁN VAY TRẢ GÓP – GÓP VỐN A. TÓM TẮT MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP Bài toán 1: Ông Ninh hàng tháng gửi vào ngân hàng Y một số tiền như nhau là a đồng (vào đầu mỗi kì hạn), kì hạn 1 tháng với lãi suất r% một tháng. Sau n tháng ông Ninh nhận được số tiền vốn và lãi là bao nhiêu? Hướng dẫn giải • Cuối tháng thứ 1, ông Ninh có số tiền là: ( )1 . 1P a a r a r= + = + • Đầu tháng thứ 2, ông Ninh có số tiền là: ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1P a a r a a a r a r+ = + + = + + = + +   • Cuối tháng thứ 2, ông Ninh có số tiền là: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1. 1 1 1 1P P P r a a r a a r a r r = + = + + + + + = + + +     • Đầu tháng thứ 3, ông Ninh có số tiền là: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 1 1 1 1 1P a a r r a a r r   + = + + + + = + + + +    • Cuối tháng thứ 3, ông Ninh có số tiền là: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 3 2 2. 1 1 1 1 1 1 .P P P r a r r a r r r   = + = + + + + + + + + +    ( ) ( ) ( )3 21 1 1a r r r = + + + + +  ……… • Cuối tháng thứ n, ông Ninh có số tiền là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 21 1 1 … 1 1 1 1 1 . 3 n n n n n S n n P a r r r r r r P a r r − −  = + + + + + + + + + + +    + − ⇔ = + (Lưu ý các số hạng của tổng SRnR là tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân với công bội là q = 1 + r và số hạng đầu là uR1R = 1 + r nên ta có ( ) ( ) 1 1 11. 1 1 nn n rqS u r q r + −− = = + − ) Để hiểu ý tưởng bài toán 1, các em theo dõi các ví dụ phía dưới nhé. 16 Ví dụ 1: Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng 3.000.000 đồng, theo hình thức lãi kép, kì hạn 1 tháng. Biết rằng lãi suất hàng tháng là 0,67%. Hỏi sau 2 năm người đó nhận được số tiền là bao nhiêu? Hướng dẫn giải • Áp dụng công thức (3) cho a = 3.000.000 đồng, r = 0,67%, n = 2 x l2 = 24 tháng • Ta có: Sau 2 năm người đó nhận được số tiền là: ( ) ( )24 24 1 0,67% 1 3.000.000 1 0,67% 78.351.483,45 0,67% P + − = + = Ví dụ 2: Muốn có số tiền là 200 triệu đồng sau 36 tháng thì phải gửi tiết kiệm một tháng là bao nhiêu. Biết rằng tiền gửi tiết kiệm ngân hàng theo thể thức lãi kép, kì hạn 1 tháng với lãi suất 0,67% một tháng. Lãi suất không thay đổi trong thời gian gửi. Hướng dẫn giải • Áp dụng công thức (3) cho PRnR = 200.000.000 đồng, r = 0,67%, n = 36 tháng • Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 .1 1 1 1 n n n n r r PP a r a r r r + − = + ⇔ =  + + −  ( ) ( )36 0,67%.200.000.000 4.898.146 1 0,67% 1 0,67% 1 a a⇔ = ⇔ ≈  + + −  Vậy hàng tháng phải gửi tiết kiệm số tiền gần 4.900.000 đồng. Bài toán 2: Giả sử có một người gửi vào ngân hàng a đồng, lãi suất r% một tháng , kì hạn 1 tháng. Mỗi tháng người đó rút ra x đồng vào ngày ngân hàng tính lãi. Hỏi sau n tháng số tiền còn lại là bao nhiêu? Hướng dẫn giải • Gọi PRnR là số tiền còn lại sau tháng thứ n. • Sau tháng thứ nhất số tiền gốc và lãi là: a + ar = a(l + r) = ad với d = 1 + r Rút x đồng thì số tiền còn lại là: 1 1 1 dP ad x ad x d − = − = − − • Sau tháng thứ hai số tiền gốc và lãi là: ( ) ( )( ) ( )1ad x ad x r ad x r ad x d− + − = − + = − Rút x đồng thì số tiền còn lại là: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 11 1 dP ad x d x ad xd x ad x d ad x d − = − − = − − = − + = − − 17 • Sau tháng thứ ba số tiền gốc và lãi là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 1 1 1ad x d ad x d r ad x d r ad x d d     − + + − + = − + + = − +      Rút x đồng thì số tiền còn lại là: ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 3 3 11 1 1 dP ad x d d x ad xd xd x ad x d d ad x d − = − + − = − − − = − + + = −  − ………………… • Sau tháng thứ n số tiền còn lại là: ( ) ( ) ( )1 11 1 . , 4 1 nn nx n n rdP ad x P a r x d r + −− = − ⇔ = + − − với d = 1 + r Để hiểu rõ bài toán trên các em theo dõi các ví dụ phía dưới Ví dụ 1: Một cụ già có 100.000.000 gửi vào ngân hàng theo hình thức lãi kép, kì hạn 1 tháng với lãi suất 0,65% một tháng. Mỗi thcáng cụ rút ra 1.000.000 đồng vào ngày ngân hàng tính lãi. Hỏi sau hai năm số tiền còn lại của cụ là bao nhiêu? Hướng dẫn giải • Áp dụng công thức (4) với: n = 24; r = 0,65%, x = 1.000.000, a = 100.000.000 • Vậy số tiền bà cụ còn lại sau 2 năm là: ( ) ( )24 24 24 1 0,65% 1 100.000.000 1 0,65% 1.000.000 90.941.121,63 0,65% P + − = + − = đồng Ví dụ 2: Bạn An được gia đình cho gửi tiết kiệm vào ngân hàng với số tiền là 200.000.000 đồng, theo hình thức lãi kép, kì hạn 1 tháng với lãi suất 0,75% một tháng. Nếu mỗi tháng An rút một số tiền như nhau vào ngày ngân hàng tính lãi thì An phải rút bao nhiêu tiền một tháng để sau đúng 5 năm, số tiền An đã gửi vừa hết? Hướng dẫn giải • Áp dụng công thức (4) với: n = 60, r = 0,75%, a = 200.000.000, PRnR = PR60R = 0. Tìm x ? • Ta có ( )( )6060 60 6060 60 60 60 60 11 1 1 1 1 ad P dd dP ad x x ad P x d d d − −− − = − ⇔ = − ⇔ = − − − ( ) ( ) 60 60 200.000.000 1 0,75% 0 0,75% 4.151.671 1 0,75% 1 x  × + − × ⇔ = ≈ + − đồng Bài toán 3: Trả góp ngân hàng hoặc mua đồ trả góp. (Bài toán này cách xây dựng giống bài toán số 2) 20 Số tiền người này phải trả tháng cuối là: ( )1 0,5% 6,067A + ≈ triệu đồng. • Nếu chọn n = 14 ( chọn số nguyên nhỏ hơn gần nhất) Số tiền người này còn nợ sau tháng thứ 13 là: ( ) ( )13 13 13 1 1,1% 1 50. 1 1,1% 4. 2,067160083 1,1% P + − = + − = triệu đồng. (Lưu B máy tính Casio) Số tiền người này phải trả tháng cuối là: ( )1 0,5% 2,09B + ≈ triệu đồng. Bình luận: Nếu chọn theo n = 13 thì tháng cuối trả nhiều hơn 4 triệu đồng Nếu chọn n = 14 thì tháng cuối trả ít hơn 4 triệu đồng. TỔNG KẾT CHỦ ĐỀ 1 Bài toán 1: Ta đưa vào sử dụng vốn gốc ban đầu PR0R với mong muốn đạt được lãi suất r mỗi kì theo hình thức lãi đơn trong thời gian n kì. Vào cuối mỗi kì ta rút tiền lãi và chi để lại vốn. Tính tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì. Kết quả cần nhớ: ( ) ( )0. 1 , 1nP P nr= + nP là tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì. 0P là vốn gốc r là lãi suất mỗi kì TỔNG KẾT CHỦ ĐỀ 2 Bài toán 2: Ta đưa vào sử dụng vốn gốc ban đầu PR0R với mong muốn đạt được lãi suất r mỗi kì theo hình thức lãi kép trong thời gian n kì. Vào cuối mỗi kì ta rút tiền lãi và chỉ để lại vốn. Tính PRnR tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì. Kết quả cần nhớ: o Sau n kì, tổng giá trị đạt được là ( ) ( )0 1 , 2n nP P r= + Trong đó PRnR là tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì. PR0R là vốn gốc. r là lãi suất mỗi kì. o Ta cũng tính được số tiền lãi thu được sau n kì là: 0nP P− 21 TỔNG KẾT CHỦ ĐỂ 3 Bài toán 1: Ông Ninh hàng tháng gửi vào ngân hàng Y một số tiền như nhau là a đồng, kì hạn 1 tháng với lãi suất r% một tháng. Sau n tháng ông Ninh nhận được số tiền vốn và lãi là bao nhiêu? Kết quả cần nhớ: Sau n tháng ông Ninh nhận được số tiền vốn và lãi là ( ) ( )1 1 1 n n r P a r r + − = + (3) Bài toán 2: Giả sử có một người gửi vào ngân hàng a đồng, lãi suất r% một tháng, kì hạn 1 tháng. Mỗi tháng người đó rút ra x đồng vào ngày ngân hàng tính lãi. Hỏi sau n tháng số tiền còn lại là bao nhiêu? Kết quả cần nhớ: Sau n tháng số tiền còn lại là: ( ) ( ) ( )1 11 1 , 4 1 nn nn n n rdP ad x P a r x d r + −− = − ⇔ = + − − Bài toán 3: Trả góp ngân hàng hoặc mua đồ trả góp. (Bài toán này cách xây dựng giống bài toán số 2) Ta xét bài toán tổng quát sau: Một người vay số tiền là a đồng, kì hạn 1 tháng với lãi suất cho số tiền chưa trả là r% một tháng (hình thức này gọi là tính lãi trên dư nợ giảm dần nghĩa là tính lãi trên số tiền mà người vay còn nợ ở thời điểm hiện tại), số tháng vay là n tháng, số tiền đều đặn trả vào ngân hàng là x đồng. Tìm công thức tính x? Biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian vay. Kết quả cần nhớ: • Số tiền còn lại sau tháng thứ n là: ( ) ( )1 11 1 1 nn nn n n rdP ad x P a r x d r + −− = − ⇔ = + − − (5a) với d = 1 + r • Số tiền đều đặn trả vào ngân hàng là: ( ) ( ) ( )1 . 5 1 1 n n a r r x b r + = + − CHỦ ĐỀ 4: BÀI TOÁN LÃI KÉP LIÊN TỤC – CÔNG THỨC 22 TĂNG TRƯỞNG MŨ – ỨNG DỤNG TRONG LĨNH VỰC ĐỜI SỐNG XÃ HỘI A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Bài toán lãi kép liên tục. Ta đã biết: nếu đem gửi ngân hàng một số vốn ban đầu là PR0R với lãi suất mỗi năm là r theo thế thức lãi kép thì sau n năm gửi số tiền thu về cả vốn lẫn lãi sẽ là PR0R(l + r)P n P. Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì để tính lãi và giữ nguyên lãi suất mỗi năm là r m và số tiền thu được n năm là (hay sau nm kì) là . 0 1 m nrP m  +    Hiến nhiên khi tăng số kì m trong một năm thì số tiền thu được sau n năm cũng tăng theo. Tuy nhiên như ta thấy sau đây, nó không thể tăng lên vô cực được. Thế thức tính lãi khi m →+∞ gọi là thể thức lãi kép liên tục. Như vậy với số vốn ban đầu là PR0R với lãi suất mỗi năm là r theo thể thức lãi kép liên tục thì ta chứng minh được rằng sau n năm gửi số tiền thu về cả vốn lẫn lãi sẽ là: ( )0 6nr nP P e= Công thức trên được gọi là công thức lãi kép liên tục. Ví dụ 1: Với số vốn 100 triệu đồng gửi vào ngân hàng theo thể thức lãi kép liên tục, lãi suất 8% năm thì sau 2 năm số tiền thu về cả vốn lẫn lãi sẽ là: 2 8%100. 117,351087S e ×= ≈ triệu đồng. Nhiều bài toán, hiện tượng tăng trưởng (hoặc suy giàm) của tự nhiên và xã hội, chẳng hạn sự tăng trường dân số, cũng được tính theo công thức (6). Vì vậy công thức (6) còn được gọi là công thức tăng trưởng (suy giảm) mũ. Để hiểu rõ hơn về công thức tăng trưởng (suy giảm) mũ. Các em qua phần tiếp theo của tài liệu. 2. Bài toán về dân số. • Gọi: o PR0R là dân số của năm lấy làm mốc tính. o PRnR là dân số sau n năm. o r là tỉ lệ tăng (giảm) dân số hàng nam. • Khi đó sự tăng dân số được ước tính bằng 1 trong 2 công thức sau 25 Bình luận: Qua bài toán này ta cần Um ý: Một là, trong bài toán này đề bài cho biết là ta phải sử dụng công thức (1) Hai là, trong giải phương trình (*) các em áp dụng trực tiếp cách giải phương trình mũ cơ bản sau cũng được: lnue b u b= ⇔ = với 0b > Ví dụ 3: Sự tăng dân số được ước tính theo công thức PRnR = PR0R(1 + r)P n P , trong đó PR0R là dân số của năm lấy làm mốc tính, PRnR là dân số sau n năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm của thế giới là không đổi trong giai đoạn 1990 – 2001. Biết rằng năm 1990 dân số thế giới là 5,30 tỉ người, năm 2000 dân số thế giới là 6,12 tỉ người. Tính dân số thể giới vào năm 2011? (Kết quà là tròn đến hai chữ số) Hướng dẫn giải Phân tích: Từ giả thiết ta có các dữ kiện sau: PR0R = 5,30, PR10R = 6,12, Tính r = ? PR21R =? • Áp dụng công thúc PRnR = PR0R(l + r)P n P, ta được • ( ) ( )10 10 1010 0 6,121 6,12 5,30 1 1 1,45% 5,30 P P r r r r= + ⇔ = + ⇔ + = ⇔ = • Dân số thế giới vào năm 2011 là: ( ) ( )21 21 21 0 1 5,30 1 1,45% 7,17P P r= + = + = tỉ người. Bình luận: Qua bài toán này ta cần lưu ý: Một là, trong bài toán này đề bài cho biết là ta phải sử dụng công thức (1). Hai là, trong giải phương trình (*) các em áp dụng trực tiếp cách giải phương trình mũ cơ bản sau cũng được: lnue b u b= ⇔ = với b > 0. CHỦ ĐỀ 5: ỨNG DỤNG TRONG LĨNH VỰC KHOA HỌC KỸ THUẬT A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Bài toán về sự phóng xạ của các chất. Trong vật lí, sự phíân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bằng công thứ ( ) 0 1 2 t T m t m  =     trong đó 0m là khối lượng chất phóng xạ ban đầu (tại thòi điểm t = 0) m(t) là khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm t, T là chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa số nguyên tử của chất phóng xạ bị biến thành chất khác). 26 2. Động đất 2.1. Tìm hiểu sơ lược về động đất. Trước khi tìm hiếu về một số ứng dụng của hàm mũ, hàm logarit trong các tính toán vỏ động đất, các em tim hiéu so qua về hiẹn tượng động đất. Các cấp độ của động đất Từ thế kỷ 19, người ta bắt đầu quy định cấp độ động đất để dễ hình dung mức độ nguy hiểm của động đất để thông báo cho dân chủng và đánh giá thiệt hại. Năm 1883 hai nhà địa chẩn Rossi (Italia) và Porel (Thuy Sĩ đưa ra thang Rossi – Porel 10 cấp độ là thang đầu tiền mà thế giới sử dụng. Năm 1902, nhà nghiên cứu núi lửa Italia là Juseppe Mercalli để xuất thang Mercalli có 12 cấp độ tỉ mỉ hơn, rất được hoan nghênh. Thang này được các nhà địa chấn chỉnh lý nhiều lần và phổ biến trên thế giới. Nước có động đất nhiều nhất thế giới là Nhật cũng có một “thang địa chất của riêng mình gọi là thang Omori, để xuất năm 1906, song dường như chỉ dùng ở nước họ. Phổ biến nhất hiện nay và gần nhu ai cũng biết đến là cách phân loại cấp độ động đất theo thang Richter và MKS-64 (hoặc KMS-81). Thang Richter dựa vào hàm logarit cơ số là 10 để xác định biên độ tối đa các rung chấn của Trái đất. Mỗi độ của thang Richter biểu thị sự tăng giảm biên độ rung chấn theo hệ số 10 và tăng giảm về năng lượng phát sinh theo hệ số 32. Như vậy một trận động đất 5 độ Richter sẽ gây nên rung chấn mạnh gấp 10 lần và tỏa ra một năng lượng gấp 32 lần độ 4, và cứ thế mà tăng theo cấp số nhân với công bội là 10 và 32. Để dễ hình dung, có thể lấy ví dụ: độ 1 Richter tương đương sức nổ của.1,5 kg thuốc nổ TNT thì của một trận động đất cấp độ Richter có sức phá họạ tương đương 6 triệu tấn thuốc nố TNT. 27 Thang MKS chú trọng nhiều hơn tới năng lượng hủy điệt của động đất với sự tăng dần chứ không tới 32 lần như 1 độ Richter làm người ta dễ hình dụng hơn. Thang MSK-64 gồm 12 cấp, được Hội đồng địa chấn Châu Âu thông qua năm 1964 và áp dụng cả ở Ấn Độ cụ thể như sau: Cấp 1: Động đất không cảm thấy, chỉ có máy mới ghi nhận được. Cấp 2: Động đất ít cảm thấy (rất nhẹ). Trong những trường hợp riêng lẻ, chỉ có người nào đang ở trạng thái yên tĩnh mới cảm thấy được. Cấp 3: Động đất yếu. ít người nhận biết được động đất. Chấn động y như tạo ra bởi một ô tô vận tải nhẹ chạy qua. Cấp 4: Động đất nhận thấy rõ. Nhiều người nhận biết động đất, cửa kính có thể kêu lạch cạch. Cấp 5: Thức tỉnh. Nhiều người ngủ bị tỉnh giấc, đồ vật treo đu đưa. Cấp 6: Đa số người càm thấy động đất, nhà cửa bị rung nhẹ, lớp vữa bị rạn. Cấp 7: Hư hại nhà cửa. Đa số người sợ hãi, nhiều người khó đứng vững, nứt lớp vữa, tường bị rạn nứt. Cấp 8: Phá họai nhà cửa; Tường nhà bị nứt lớn, mái hiên và ống khói bị rơi. Cấp 9: Hư hại hoàn toàn nhà cửa; nền đất có thể bị nứt rộng 10 cm. Cấp 10: Phá hợai hoàn toàn nhà cửa. Nhiều nhà bị sụp đổ, nền đất có thể bị nứt rộng đen 1 mét. Cấp 11: Động đất gây thảm họa. Nhà, cầu, đập nước và đường sắt bị hư hại nặng, mặt đất bị biến dạng, vết nứt rộng, sụp đổ lớn ở núi. Cấp 12: Thay đổi địa hình. Phá hủy mọi công trình ở trên và dưới mặt đất, thay đổi địa hình trên diện tích lớn, thay đổi cả dòng sông, nhìn thấy mặt đất nổi sóng. Nếu so sánh thang động đất giữa thang Richter và thang MSK-64 có thể tóm lược qua bảng sau: Thang Richter Thang MKS – 64 1.0 – 3.0 I 3,0 – 3,9 II – III 4,0 – 4,9 IV – V 5,0 – 5,9 VI – VII 6,0 – 6,8 VIII 6,9 – 7,6 IX 7,6 – 8,0 X 30 thử hạt nhân ở các nước, xác định sức nổ của những vũ khí giết người hàng loạt đó. Ngoài ra còn có những loại chuyên dụng, dùng trong thăm dò địa chất quặng mỏ, dầu khí… Các địa chấn kế hiện đại thuộc nhiều loại khác nhau đo được cả chuyến động theo chiều ngang và chiều đọc đặt tại các trạm quan trắc. Hiện có tới vài trăm trạm quan trắc như vậy trên khắp thế giới. Thông số đo các trạm này thu thập thường xuyên được so sánh, đối chiếu. Từ các dữ liệu đó có thể tính được tâm động đất và năng lượng trận động đất gây ra. Theo Song Hà (Nguồn : Uhttp://vietnamnet.vn/vn/khoa-hoc/cac-cap-đo-đong-đat-14267.htmlU) Các trận động đất xảy ra trong lịch sử Mỗi năm có hàng ngàn trận động đất xảy ra trên trái đất, tuy nhiên chỉ một ít trong số đó gây ra những thiệt hại nghiêm trọng. Mỗi trận động đất được đo theo cường độ, theo các quy mô từ nhỏ đến lớn. Một trận động đất có cường độ 6,0 độ Richter và cao hơn được xếp là động đất mạnh và có thể gây ra những thiệt hại nghiêm trọng, giống như trận động đất Christchurch ở New Zealanđ. Trận động đất mạnh nhất được ghi lại trong nhũng năm gần đây là trận động đất ở Sumatra vào năm 2004, với cường độ 9,3 độ Richter và gây ra sóng thần tàn phá châu Á. Những con số trên nhằm đo lường cường độ một trận động đất cũng như năng lượng mà nó phát ra. Những thông số dùng để phân chia và đo các trận động đất cũng rất khác nhau. Ví dụ, sự khác biệt về cường độ giữa một trận động đất mạnh 5 độ với trận động đất 6 độ là rất rõ rệt chứ không chỉ đơn thuần là như là sự khác biệt về một con số. Trên thực tế, theo kết quà mà các nhà địa chấn học đo những thảm họa thiên nhiên này, một trận động đất mạnh 6 độ sẽ sở hữu năng lượng nhiều hơn 32 lần so với một trận động đất 5 độ Richter. Điều đó có nghĩa là một khoảng cách từ 5 đến 7 độ có thể tương ứng với một trận động đất mạnh hơn gần 1.000 lần. Những trận động đất gây ra những phá hủy nghiêm trọng thường có cường độ 7,0 độ Richter và cao hơn. 31 (Hình minh họa: BBC) Trận động đất năm 2004 gây ra sóng thần tại châu Á là trận động đất lớn thứ 3 kê từ năm 1900, với cường độ 9,3 độ Richter. Môi năm có khoảng 20 trận động đất lớn trên thế giới được ghi lại theo khảo sát của Cơ quan Theo dõi địa chấn của Mỹ. Trận động đất năm 2010 ở Haiti được đo lại với cường độ 7,0 độ Richter, và bởi tâm chấn rất gần với thủ đô Port-au-Price, nên gây ra thiệt hại rất nghiêm trụng, và khiến cho hơn 200.000 người chết. Số người chết ở Haiti trái ngược với số người chốt trong trận động đất mạnh 8,8 độ Richter ở Chile vào tháng 2/2010, khi chỉ có gần 1.000 người chết. Bởi Chile là đất nước đã từng diễn ra những trận động đất mạnh trong lịch sử. Trận động đất lớn nhất được ghi lại tại đây diễn ra vào năm 1960, với cường độ 9,5 độ Richter, và gây ra sóng thần. Nhưng chỉ có khoảng 1.655 người đã chết – con số thương vong này là tương đối thấp, nhờ có những cành báo khiến mọi người chạy ra khỏi nhà của họ trước khi động đất điễn ra. Nguồn: Uhttp://www.vietnamplus.vn/cuong-đo-đong-đat-đuoc-đo-va-xep-loai-the-nao/8351 l.vnp 2.2. Ứng dụng của hàm logarit trong việc tính độ chấn động và năng lượng giải toả của một trận động đất. • Độ chấn động M của một địa chấn biên độ I được đo trong thang đo Richte xác định bởi công thức: 0 ln IM I = hoặc 0log logM I I= − Trong đó 0I là biện độ của đao động bé hơn 1µm trên máy đo địa chấn, đặt cách tâm địa chấn 100 km. 0I được lấy làm chuẩn. 32 • Ở M = 3 độ Richte, địa chấn chỉ có ảnh hưởng trong một vùng diện tích nhỏ, ở 4 đến 5 độ Richte, địa chấn gây một thiệt hại nhỏ, ở 6 đến 8 độ Richte, địa chấn gây một số thiệt hại lớn, ở 9 độ Richte, địa chấn gây thiệt hại lớn cực lớn. • Năng lượng giải tỏa E tại tâm địa chấn ở M độ Richte được xác định xấp xỉ bởi công thức log 11,4 1,5E M≈ + 3. Âm thanh • Để đặc trưng cho độ to nhỏ của âm, người ta đưa ra khái niệm mức cường độ của âm. Một đơn vị thường dùng để đo mức cường độ của âm là đềxinben (viết tắt là đB). Khi đó mức cường độ L của âm được tính theo công thức: ( ) 0 10 log IL db I = trong đó I là cường độ của âm tại thời điểm đang xét (cường độ của âm tức là năng lượng truỵền đi bởi sóng âm trong một đơn vị thời gian và qua một đơn vị điện tích bề mặt vuông góc với phương sóng truyền (đơn vị đo là w/mP 2 P)). IR0R cường độ âm ở ngưỡng nghe (IR0R= 10P -12 P w/mP 2 P). Nhận xét: Khi cường độ âm tăng lên 10P 2 P,10P 3 P,…. thì cảm giác về độ to của âm tăng lên gấp 2,3,.. lần. • Độ to của âm: Gắn liền với mức cường độ âm minI I I∆ = − với minI là ngưỡng nghe.(Đơn vị của độ to của âm là phôn). Khi 1I∆ = phôn (độ to tối thiểu mà tai người bình thường phân biệt được) thì min 10 log 1I dB I   =    Trên đây là 1 số ứng dụng hay gặp, để hiểu hơn về vấn đề này các em đọc các ví dụ phía dưới, qua đó thấy thêm được các ứng dụng khác của hàm số mũ, hàm số logarit. B. CÁC BẢI TOÁN THỰC TẾ Ví dụ 1: Cường độ một trận động đất M Richte được cho bởi công thức 0log logM A A= − , với A là biên độ rung chấn tối đa và 0A là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richte. Trong cùng năm đó, trận động đất khác Nam Mỹ có biên độ mạnh hơn gấp 4 lần. Hỏi cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ là bao nhiêu? 35 công thức ( ) 0 10 log IL db I = và sử dụng kiến thức về giải phương trình logarit cơ bản là tìm được câu trả lời cho bài toán. Các em tham khảo lời giải ở phía dưới nhé. Hướng dẫn giải Theo giả thiết ta có ( ) 68L db db= , 12 2 0 10 /I w m−= .Tính I. Áp dụng công thức ta có: ( ) 6,8 0 0 0 0 10 log 68 10log log 6,8 10I I I IL db I I I I = ⇔ = ⇔ = ⇔ = 6 6 12 6 2 0 6,3.10 6,3.10 .10 6,3.10 /I I w m I − −⇔ = ⇒ ≈ ≈ Ví dụ 4: Để đặc trưng cho độ to nhỏ của âm, người ta đưa ra khái niệm mức cường độ của âm. Một đơn vị thường dùng để đo mức cường độ của âm là đềxinben (viết tắt là đB). Khi đó mức cường độ L của âm được tính theo công thức: ( ) 0 10 log IL db I = trong đó, I là cường độ của âm tại thời điểm đang xét, IR0R cường độ âm ở ngưỡng nghe ( )12 2 0 10 /I w m−= Hai cây đàn ghita giống nhau, cùng hòa tấu một bản nhạc. Mỗi chiếc đàn phát ra âm có mức cường độ âm trung bình là 60dB. Hỏi mức cường độ âm tổng cộng do hai chiếc đàn cùng phát ra là bao nhiêu? Phân tích bài toán Trong bài toán này ta biết được mức cường độ trung bình phát ra từ một cây đàn ghita. Đề bài yêu cầu tìm mức cường độ tổng cộng phát ra từ 2 cây đàn ghita. Như vậy muốn xử lý bài toán này các em phải chú ý rằng khi dùng một chiếc đàn có cường độ của âm là IR1R, thì khi ta dùng hai chiếc đàn cùng một lúc thì cường độ của âm là 2IR1R. Nếu ta nắm được chi tiết này thì bài toán này hóa giải không khó. Các em coi lời giải ở dưới nhé. Bài toán này về mặt tính toán không có gì phức tạp, nhưng ý nghĩa thực tế của nó thì lớn. Ví dụ một trung tâm đạy đàn ghita, phòng học dạy trung bình 15 học viên, tương ứng 15 cây đàn. Trung tâm phải đảm bảo âm thanh phát ra từ các cây đàn không ành hường đến nhà xung quanh, khi đó phải lắp cửa cách âm. Khi đó chuyện tính mức cường độ âm (độ to) tổng cộng của 15 cây đàn là cần thiết đối với nhà thầu xây đựng. 36 Hướng dẫn giải • Mức cường độ âm do một chiếc đàn ghita phát ra là: ( ) 0 10 log 60IL db dB I = = • Mức cường độ âm đo hai chiếc đàn ghita cùng phát ra là: 1 1 2 0 0 210log 10log 2 10log 10.log 2 60 63I IL dB I I = = + = + ≈ • Vậy có thêm một chiếc đàn (phát ra âm cùng lúc) thì mức cường độ âm tăng thêm 3 dB. Ví dụ 5: Để đặc trung cho độ to nhỏ của âm, người ta đưa ra khái niệm mức cường độ của âm. Một đơn vị thường dùng để đo mức cường độ của âm là đềxinben (viết tắt là đB). Khi đó mức cường độ L của âm được tính theo công thức: ( ) 0 10 log IL db I = trong đó, I là cường độ của âm tại thời điểm đang xét, IR0R cường độ âm ở ngưỡng nghe ( )12 2 0 10 /I w m−= Tiếng ồn phát ra từ một xưởng cưa, ở mức cường độ âm đo được là 93 đB, đo 7 chiếc cưa máy giống nhau cùng họat động gây ra. Giả sử có 3 chiếc cưa máy đột ngột ngừng họat động thì mức cường độ âm trong xưởng lúc này là bao nhiêu?  Phân tích bài toán  Trong bài toán này ta biết được mức cường độ đo được phát ra từ 7 cái cưa máy. Đề bài yêu cầu tìm mức cường độ tổng cộng phát ra từ 4 cưa máy là bao nhiêu. Như vậy muốn xử lý bài toán này các em phải chú ý rằng khi dùng một cưa máy có cường độ của âm là IR1R, thì khi ta dùng 7 (hay 4) cưa máy cùng một lúc thì cường độ của âm là 7IR1R, (hay 4IR1R). Nếu ta nắm được chi tiết này thì bài toán này hoá giải không khó. Các em coi lời giải ở dưới nhé.  Việc tính toán trong bài này các em sử dụng trực tiếp các tính chất về logarit là xử lý gọn gàng bài toán. Hướng dẫn giải o Gọi cường độ của âm do 1 cái cưa phát ra là: IR1R. o Lúc đầu mức cưòng độ âm là: (7 cưa máy cùng họat động) 37 ( ) 1 1 1 0 0 0 710log 93 10log 7 10log 93 10log 9,3 10log 7 8,45I I IL dB I I I = = ⇔ + = ⇒ = − = o Lúc sau mức cường độ tâm là: (3 cưa máy hỏng nên còn 4 cưa máy hoạt động) ( ) 1 1 1 0 0 410log 10log 4 10log 10log 4 10.8,45 90,5I IL dB dB I I = = + = + ≈ Ví dụ 6: Để đặc trưng cho độ to nhỏ của âm, người ta đưa ra khái niệm mức cường độ của âm. Một đơn vị thường dùng để’ đo mức cường độ của âm là đềxinben (viết tắt là đB). Khi đó mức cường độ L của âm được tính theo công thức: ( ) 0 10 log IL db I = trong đó, I là cường độ của âm tại thời điểm đang xét, IR0 Rlà cường độ âm ở ngưỡng nghe ( )12 2 0 10 /I w m−= . Tiếng ồn phát ra tù tiềng gõ phím liên tục ở một bàn phím của máy vi tính, có cường độ âm đo được là 5 210 /w m− . Giả sử trong phòng làm việc của một công ty có hai nhân viên văn phòng cùng thực hiện thao tác gõ phím trên hai bàn phím máy vi tính giống nhau thì mức cường độ âm tổng cộng đo cả hai bàn phím phát ra cùng lúc là bao nhiêu? Phân tích bài toán Trong bài toán này ta biết được cường độ đo được từ tiếng gõ phím liên tục ở mộ bàn phím của máy vi tính, có cường độ âm đo được là 5 210 /w m− . IR0R cường độ âm ở ngưỡng nghe ( )12 2 0 10 /I w m−= . Đề bài yêu cầu tìm mức cường độ tổng cộng phát ra từ tiếng gõ phím liên tục của hai bàn phím của máy vi tính là bao nhiêu. Các em theo dõi lời giải phía dưới nhé. Hướng dẫn giải • Nếu chỉ có một bàn phím có ( ) 5 12 0 1010log 10log 70 10 IL db dB I − −= = = • Cả hai bàn phím cùng gõ: 1 2 0 0 210log 10log 2 10log 10.log 2 70 73I IL dB I I = = + = + ≈ • Vậy có thêm một bàn phím gõ thì mức cường độ âm tăng thêm 3 dB. Ví dụ 7: Cho biết chu kì bán hủy của chất phỏng xạ plutônium 239Pu là 24.360 năm (tức là lượng 239Pu sau 24360 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính bởi công 40 tục, chặt chẽ lượng phóng xạ tại đây, đồng thời phải đảm bảo sự an toàn cho các công nhân làm việc tại đây bằng nhiều biện pháp, ví dụ như cho họ đeo mặt nạ phòng hộ, tránh không ăn uống trong các khu vực lân cận. (Nguồn: 30TUhttp://vnexpress.net/tin-tuc/khoa-hoc/ta-c-ha-i-cu-a-chat-phong-xa-plutonium- 2191312.htmlU30T ) Ví dụ 8: Các loại cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được một lượng nhỏ cacbon 14 (một đồng vị của cacbon). Khi một bộ phận của cây xanh đó bị chết thì hiện tượng quang hợp cũng dừng và nó sẽ không nhận thêm cacbon 14 nữa. Lượng cacbon 14 của bộ phận đó sẽ phân hủy một cách chậm chạp và chuyển hóa thành nitơ 14. Biết rằng nếu gọi P(t) là số phần trăm cacbon 14 còn lại trong một bộ phận của một cây sinh trưởng từ t năm trước đây thì P(t) được tính theo công thức ( ) ( ) ( )500100. 0,5 % t P t = . Phân tích mẫu gỗ từ một công trình kiến trúc cổ, người ta thấy lượng cacbon 14 còn lại trong mẫu gỗ đó là 65% . Hãy xác định niên đại của công trình đó.  Phân tích bài toán • Đây là một bài toán có ý nghĩa về khảo cổ học, nghiên cứu về lịch sử thời xưa. Bằng những kiến thức toán học các nhà khảo cổ học hoàn toàn biết được công trình kiến trúc đó được xây đựng từ năm nào, để từ đó có nhũng kết luận chính xác nhất. • Trong bài toán này để xác định niên đại của công trình kiến trúc t, các em sử dụng công thức đề bài cho ( ) ( ) ( )500100. 0,5 % t P t = trong đó ta đã biết P(t) = 65, từ đó sử dụng kiến thức về giải phương trình mũ các em tìm t dễ dàng. Các em coi lời giải ở dưới nhé. Hướng dẫn giải o Theo đề bài ta có P(t) = 65 . Vậy ta có phương trình 41 ( ) ( )5750 5750 0,5 65 65100. 0,5 65 0,5 log 100 5750 100 t t t = ⇔ = ⇔ = 0,5 655750.log 100 t⇔ = o Vậy tuổi của công trình kiến trúc đó là khoảng 3.574 năm. Ví dụ 9: Trên mỗi chiếc radio đều có các vạch chia để người sử dụng dễ dàng chọn đúng sóng radio cần tìm. Biết rằng vạch chia ở vị trí cách vạch tận cùng bên trái một khoảng d(cm) thì ứng với tần số ( )dF ka kHz= , trong đó k và a là hai hằng số được chọn sao cho vạch tận cùng bên trái ứng với tần số 53kHz, vạch tận cùng bến phải ứng với tần số 160kHz và hai vạch này cách nhau 12cm a) Tính k và a (tính a chính xác đến hàng phần nghìn) b) Tìm d(cm)biết rằng vạch đó là chương trình ca nhạc có tần số là F = 120kHz.  Phân tích bài toán • Đây là một bài toán có ý nghĩa về mặt thiết kế tính toán các thiết bị điện tử, cụ thể thiết kế vạch chia tần số để dễ dàng dò các chương trình cần nghe. Các nhà thiết kế phải tính toán phân chia và thiết kế các vạch chia tần số cho hợp lí, để người tiêu dùng dễ sử dụng. • Để tìm các hằng số k và a, ta áp dụng công thức đề bài cho ( )dF ka kHz= biết khi d = 0 thì F = 53 và khi d = 12 thi F = 160, từ đó sử dụng kiến thức về giải phương trình mũ và hệ phương trình các em tìm k và a dễ dàng. Các em coi lời giải ở dưới nhé. Hướng dẫn giải a) Khi d = 0 thì F = 53 và khi d = 12 thì F = 160, ta có hệ phương trình 0 1212 12 535353 160 160160 1,096 53 53 kkka aka a   == =  ⇔ ⇔   == = ≈    Vậy k = 53, a = 1,096 42 b) Chương trình ca nhạc có tần số là F = 120kHz, vậy ta có phương trình ( )1,096 120 120 120120 log log 8,91 53 d d aka a d d cm k k = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = Vậy muốn mở tới ngay chương trình ca nhạc, ta chỉnh đến vạch chia cách vạch ban đầu một khoảng 8,91 cm. Ví dụ 10: Khoảng 200 năm trước, hai nhà khoa học Pháp là Clô – zi – ut (R. Clausius) và Clay – pay – rông (E. Claypeyron) đã thấy rằng áp suất p của hơi nước (tính bằng milimét thủy ngân, viết tắt là mmHg) gây ra khi nó chiếm khoảng trống phía trên của mặt nước chứa trong một bình kín (coi hình vẽ bên dưới) được tính theo công thức 237.10 k tp a += Trong đó t là nhiệt độ C của nước, a và k là những hằng số. Cho biết k ≈ -2258,624 a) Tính a biết rằng khi nhiệt độ của nước là 100°c thì áp suất của hơi nước là 760 mmHg (tính chính xác đến hàng phần chục) b) Tính áp suất của hơi nước khi nhiệt độ của nước từ 40°C. (tính chính xác đến hàng phần chục)  Phân tích bài toán: • Đây là một bài toán có ý nghĩa về.mặt thiết kế tính toán các bình kín đựng nước, nước ngọt, các loại dụng dịch lỏng…Qua bài toán này giúp ta tính toán được áp suất p của hơi nước gây ra khi nó chiếm khoảng trống phía trên của mặt nước chứa trong một bình kín, từ đó có những thiết kế vỏ chai, vỏ bình đựng cho hợp lí để không bị bể … • Để tìm các hằng số a, ta áp dụng công thức đề bài cho 237.10 k tp a ≈ += biết khi t = 100°C thì p = 760, từ đó sử dụng kiến thức về giải phương trình a dễ dàng. Các em coi lời giải ở dưới nhé. Hướng dẫn giải a) Khi t = 100°C thì p = 760. Do đó ta có phương trình (ẩn a) 2258,624 373760 .10 863188841,4a a − = ⇔ ≈ b) Áp suất của hơi nước khi nhiệt độ của nước ở 40°Clà: 2258,624 40 237863188841,4.10 52,5p p mmHg − += ⇒ ≈ 45 Câu 16: Trong vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bằng công thức: ( ) 0 1 2 t T m t m  =     trong đó mR0 Rlà khối lượng chất phóng xạ ban đầu (tại thời điểm t = 0), m(t) là khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm t, T là chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa số nguyên tử của chất phóng xạ bị biến thành chất khác). Cho biết chu kì bán rã của một chất phóng xạ là 24 giờ (1 ngày đêm). Hỏi 250 gam chất đó sẽ còn lại bao nhiêu sau 3,5 ngày đêm? (Kết quả làm tròn đến 3 chữ số thập phân sau dấu phẩy) A. 22,097 (gam). B. 23,097 (gam). C. 20,097 (gam). D. 24,097 (gam) Câu 17: Năm 1994, tỉ lệ thể tích khí COR2R trong không khí là 6 358 10 . Biết rằng tỉ lệ thể tích khí COR2R trong không khí tăng 0,4% hàng năm. Hỏi năm 2004, tỉ lệ khí COR2R, trong không khí gần với số nào sau đây nhất? A.393.10P -6 P B. 379.10P -6 P C. 373.10P -6 P D. 354.10P -6 Câu 18:Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức . rtS A e= , trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0), t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Để số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng gấp đôi thì thời gian tăng trường t gần với kết quả nào sau đây nhất. A. 3 giờ 9 phút. B. 3 giờ 2 phút. C. 3 giờ 16 phút. D. 3 giờ 30 phút. Câu 19: Cường độ một trận động đất M (richter) được cho bởi công thức M = log A – log AR0R, với A là biên độ rung chấn tối đa và AR0R là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richter. Trong cùng năm đó, trận động đất khác Nam Mỹ có biên độ mạnh hơn gấp 4 lần. Cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ gần với số nào sau đây nhất là: A.7,9. B.8,6 C. 8,5 D. 8,9 Câu 20: Biểu đồ bên cho thấy kết quả thống kê sự tăng trưởng về số lượng của một đàn vi khuẩn: cứ sau 12 tiếng thì số lượng của một đàn vi khuẩn tăng lên gấp 2 lần. Số lượng vi khuẩn ban đầu của đàn là 250 con. Công thức nào dưới đây thể hiện sự tăng trường về số lượng của đàn vi khuẩn N tại thời điểm t? A. 12500.N t= B. 250.2tN = C. 46 2250.2 t N = D. 2250.2 tN = (Trích đề thi thử lần 7 – Group toán 3K) Câu 21: Thang đo Richter được Charles Brands Richter đề xuất và sử dụng lần đầu tiên vào năm 1935 để sắp xếp các số đo độ chấn động của các cơn động đất với đơn vị là độ Richter. Công thức tính độ chấn động như sau: 0log logLM A A= − , với LM là độ chấn động, A là biên độ tối đa đo được bằng địa chấn kế và AR0R là một biên độ chuẩn, (nguồn: Trung tâm tư liệu khí tượng thủy văn). Hỏi theo thang độ Richter, với cùng một biên độ chuẩn thì biên độ tối đa của một trận động đất 7 độ Richter sẽ lớn gấp mấy lần biên độ tối đa của một trận động đất 5 độ Richter? A.2. B.20. C.105. D.100. (Trích đề thi thử lần 8 – Group toán 3K) Câu 22: Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với kì hạn 3 tháng (1 quí), lãi suất 6% một quí theo hình thức lãi kép (lãi cộng với vốn). Sau đúng 6 tháng, người đó lại gửi thêm 100 triệu đồng với hình thức và lãi suất như trên. Hỏi sau 1 năm tính từ lần gửi đầu tiền người đó nhận số tiền gần với kết quả nào nhất? A .239 triệu đồng. B. 230 triệu đồng. C. 243 triệu đồng. D. 236 triệu đồng. (Trích đề thi giữa kỳ 1 năm 2016 trường THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội) Câu 23:Tỷ lệ tăng dân số hàng năm của Việt Nam là 1,07%. Năm 2016, dân số của Việt Nam là 93.422.000 người. Hỏi với tỷ lệ tăng dân số như vậy thì năm 2026 dân số Việt Nam gần với kết quả nào nhất? A. 115 triệu người. B. 118 triệu người C. 122 triệu người. D. 120 triệu người. (Trích đề thi giữa kỳ 1 năm 2016 trường THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội) Câu 24: Theo thể thức lãi kép, nghĩa là nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp. Nêu một người gửi số tiền A với lãi suất r mỗi kì thì sau N kì, số tiền người ẩy thu được cà vổn lẫn lãi là C = A(1 + r)P N P (triệu đồng). Nếu bạn gửi 20 triệu đồng vào ngân hàng X theo thể thức lãi kép với lãi suất 8,65% một quý thì sau 3 năm (vẫn tính lãi suất kì hạn theo quý), bạn sẽ thu được số tiền cả vốn lẫn lãi gần với giá trị nào nhất sau đây(già sử lãi suất hằng năm của ngân hàng X là không đổi) ? A.54,34 triệu đồng. B.54,12 triệu đồng, C. 25,65 triệu đồng. D.25,44 triệu đồng. Đề bài dùng chung cho câu 25, câu 26 47 Peter dùng 80 mg thuốc để điều chỉnh huyết áp của mình. Đồ thị dưới đây là đồ thị của hàm số mũ có đạng 80. xy r= (với x thời gian (ngày) sau khi tiêm thuốc, r tỉ lệ về lượng thuốc của ngày hôm trước còn lại họat động trong máu của Peter, y lượng thuốc còn tác dụng sau x ngày tiêm thuốc), chỉ số lượng thuốc đầu tiên và số lượng thuốc còn lại hoạt động trong máu của Peter sau một, hai, ba và bốn ngày. Câu 25: Lượng thuốc còn lại là bao nhiêu vào cuối ngày thứ nhất? A. 6mg B. 12 mg C. 26mg D. 32mg Câu 26: Tính tỉ lệ về lượng thuốc của ngày hôm trước còn lại hoạt động trong máu của Peter. A. 40% B. 80% C. 30% D. 10% Câu 27: Năng lượng giải tòa E của một trận động đất tại tâm địa chấn ở M độ Richte được xác định bời công thức: ( )log 11,4 1,5E M= + . Vào năm 1995, Thành phố X xảy ra một trận động đất 8 độ Richte và năng lượng giải tỏa tại tâm địa chấn của nó gấp 14 lần trận động đất ra tại thành phố Y vào năm 1997. Hỏi khi đó độ lớn của trận động đất tại thành phố Y là bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục) A. 7,2 độ Richte B. 7,8 độ Richte. C. 8,3 độ Richte. D. 6,8 độ Richte. Câu 28: Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi đơn, kì hạn 3 tháng với lãi suất 3% một quý. Hỏi người đó phải gửi trong ngân hàng ít nhất bao lâu, số tiền thu về hơn gấp hai số tiền vốn ban đầu? A. 102 tháng. B. 103 tháng. C. 100 tháng. D. 101 tháng. Câu 29:Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kỳ hạn 1 quý với lãi suất 1,65% một quý. Hỏi sau bao lâu người đó có được ít nhất 20 triệu đồng cả vốn lẫn lãi từ số vốn ban đầu? A. Sau khoảng 4 năm 6 tháng. B. Sau khoảng 4 năm 3 tháng, C. Sau khoảng 4 năm 2 tháng. D. Sau khoảng 4 năm 9 tháng. 50 Sau n năm (n∈N*), nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi, người đó nhận được A. 100.(1,05)P n-1 P triệu đồng. B.100.(l,05)P 2n P triệu đồng. C. 100.(1.05)P n P triệu đồng. D. 100.(1,05)P n+1 P triệu đồng. (Trích đề thi thử 01 câu lạc bộ giáo viên trẻ TP. Huế) Câu 40: Bà A gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép (đến kì hạn mà người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp) với lãi suất 7% một năm. Hỏi sau 2 năm bà A thu được lãi là bao nhiêu (giả sử lãi suất không thay đổi)? A. 15 (triệu đồng). B. 14,49 (triệu đồng), C. 20 (triệu đồng). D. 14,50 (triệu đồng). (Trích đề thi thử số 3 – Tạp chí Toán học tuổi trẻ số 473 tháng 11 năm 2016) Câu 41:Một người gửi 6 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép, kì hạn 1 năm với lãi suất 7,56% một năm. Hỏi sau bao nhiêu năm người gửi sẽ có ít nhất 12 triệu đồng từ số tiền gửi ban đầu? (giả sử lãi suất không thay đổi) A. 10 năm. B. 9 năm. C. 8 năm. D. 15 năm. (Trích để thi thử trường THPT Nguyễn Gia Thiều) Câu 42: Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1 năm với lãi suất 7,56% một năm. Giả sử lãi suất không thay đối, hỏi số tiền người đó thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 5 năm là bao nhiêu triệu đồng ( làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)? A. 22,59 triệu đồng. B.20,59 triệu đồng, C. 19,59 triệu đồng. D. 21,59 triệu đồng. (Trích đề thi thừ trường THPT Ngưỵễn Gia Thiều) Câu 43: Một người gửi tiết kiệm ngân hàng, mỗi tháng gửi 1 triệu đồng, với lãi suất kép 1%/tháng. Gửi được hai năm 3 tháng người đó có công việc nên đã rút toàn bộ gốc và lãi về. Số tiền người đó rút được là: A. ( )26100. 1,01 1 −  (triệu đồng). B. ( )27101. 1,01 1 −  (triệu đồng). C. ( )27100. 1,01 1 −  (triệuđồng). D. ( )26101. 1,01 1 −  (triệu đồng). (Trích đề thi thử Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên) 51 Câu 44: Một người gửi tiết kiệm ngân hàng, mỗi tháng gửi 1 triệu đồng, với lãi suất kép 1%/tháng. Gửi được hai năm 6 tháng người đó có công việc nên đã rút toàn bộ gốc và lãi về. Số tiền người đó rút được là: A. ( )30101. 1,01 1 −  (triệu đồng). B. ( )29101. 1,01 1 −  (triệu đồng). C. ( )30100. 1,01 1 −  (triệu đồng). D. ( )30100. 1,01 1 −  (triệu đồng). (Trích đề thi thử Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên) Câu 45: Một người gửi tiết kiệm ngân hàng, mỗi tháng gửi 1 triệu đồng, với lãi suất kép 1%/tháng. Gửi được hai năm 4 tháng người đó có công việc nen đã rút toàn bộ gốc và lãi về. Số tiền người đó rút được là: A. 100.[(1.01)P 27 P -1](triệu đồng). B. 101.[(1,01)P 27 P -1] (triệu đồng), C. 100.[(1,01)P 28 P -1] (triệu đồng). D. 101.[1,01)P 28 P -1] (triệu đồng). (Trích đề thi thử Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên) Câu 46: Một người gửi tiết kiệm 100 triệu đồng có kì hạn là quý, theo hình thức lãi kép với lãi suất 2% một quý. Hỏi sau 2 năm người đó lấy lại được tổng là bao nhiêu tiền? A. 171 triệu. B. 117,1 triệu. C. 160 triệu. D. 116 triệu. (Đề thi thử trường THPT Quảng Xương 1 – Thanh Hoá năm 2016) Câu 47: Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn được tính theo công thức ( ) . rtf t A e= trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỷ lệ tăng trưởng (r > 0), t (tính theo giờ) là thời gian tăng trưởng. Biết số vi khuẩn ban đầu có 1000 con và sau 10 giờ là 5000 con. Hỏi sao bao lâu thì số lượng vi khuấn tăng gấp 10 lần. A. 5ln20 (giờ) B. 5ln10 (giờ) C. 101og510 (giờ) D. log520 (giờ) (Trích đề ôn tập Group nhóm toán) Câu 48: Trong kinh tế vĩ mô (macroeconomics), lạm phát là sự tăng mức giá chung của hàng hóa và dịch vụ theo thời gian và sự mất giá trị của một loại tiền tệ. Khi so sánh với các nước khác thì lạm phát là sự giảm giá trị tiền tệ của một quốc gia này so với các loại tiền tệ của quốc gia khác. Theo nghĩa đầu tiền thì người ta hiểu lạm phát của một loại tiền tệ tác động đến phạm vi nền kinh tế một quốc gia, còn theo nghĩa thứ hai thì người ta hiểu lạm phát của một loại tiền tệ tác động đến phạm vi nền kinh tế sử dụng loại tiền tệ đó. Phạm vi ảnh hưởng của hai thành phần này vẫn là một vấn đề gây tranh cãi giữa các nhà kinh tế học vĩ mô. Ngược lại với lạm phát là 52 giảm phát. Một chỉ số lạm phát bằng 0 hay một chỉ số dương nhỏ thì được người ta gọi là sự “ổn định giá cả”. Hình minh họa: Tỷ lệ lạm phát của 5 thành viên chính của G8 từ l950 tới 1994 (Theo https://vi.wikipedia.org/wiki/L%E1%BA%A1m ph%C3%Alt) Giả sử tỉ lệ lạm phát cua Trung Quốc trong năm 2016 dự báo vào khoảng là 2,5 % và tỉ lệ này không thay đối trong 10 năm tiếp theo. Hỏi nếu năm 2016, giá xăng là 10.000 NDT/ lít thì năm 2025 giá tiền xăng là bao nhiêu tiền một lít? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) A. 12488 NDT/ lít. B. 12480 NDT/ lít. C. 12490 NDT/lít. D. 12489 NDT/lít. Câu 49: Ông B đến siêu thị điện máy để mua một cái laptop với giá 15,5 triệu đồng theo hình thức trả góp với lãi suất 2,5% một tháng. Để mua trả góp ông B phải trả trước 30% số tiền, số tiền còn lại ông sẽ trả dần trong thời gian 6 tháng kể từ ngày mua, mỗi lần trả cách nhau 1 tháng. Số tiền mỗi tháng ông B phải trả là như nhau và tiền lãi được tính theo nợ gốc còn lại ở cuối mỗi tháng. Hỏi, nếu ông B mua theo hình thức trả góp như trên thì số tiền phải trả nhiều hơn so với giá niêm yết là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất không đối trong thời gian ông B hoàn nợ và hàng tháng ông B đều trả tiền đúng hạn. (Kết quả làm tròn đến chữ số hàng chục nghìn) A. 1.628.000 đồng. B. 1.628.000 đồng, C. 1.628.000 đồng. D. 1.628.000 đồng. Nguồn tham khảo: http://toanhocbactrungnam.vn/ Câu 50: Anh An vay ngân hàng 300 triệu đồng theo phương thức trả góp để mua nhà. Nếu cuối tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất anh An trả 5,5 triệu đồng (trừ tháng cuối) và chịu lãi số tiền chưa trả là 0,5% mỗi tháng (biết lãi suất không thay đổi) thì sau bao nhiêu lâu anh An trả hết số tiền trên? Biết rằng số tiền tháng cuối anh An trả phải nhỏ hơn 5,5 triệu đồng. A. 64 tháng. B. 63 tháng. C. 54 tháng. D. 55 tháng. 55 Câu 10. Đáp án B Áp dụng công thức . 0. n r nP P e= Với PR0R = 56783000, r = -0,1%, n = 2020 -1998 = 22 Ta có 0,1% 22 8 56783000 55547415,27P e− ×= ≈ Câu 11. Đáp án C Áp dụng công thức . 0. n r nP P e= Với PR0R = 125932000, r = 0,2%, PRnR = 140000000. Tính n? Ta có 0,2% 140000000125932000 14000000 0,2%. ln 52,95 125932000 n nP e n n×= = ⇔ = ⇒ ≈ Câu 12. Đáp án B Áp dụng công thức . 0 n r nP P e= Với 6 6 0 984.10 , 0 1,7%, 1500.10nP r P= = = = . Tính n? Ta có 6 01,7% 6 1500984.10 1500.10 1,7%. ln 24,80 984 n nP e n n×= = ⇔ = ⇒ ≈ Câu 13. Đáp án D Ta có ( )3 0 0 0 1000 10 log 3 10log 30I I IL dB dB I I I = = ⇒ = ⇒ = = Câu 14. Đáp án A Áp dụng công thức . 0 n iP P e= Ở độ cao 1000m ta có : PR0R =760 mmHg, n = 1000m, P = 672,71mmHg, từ giả thiết này ta tìm được hệ số suy giảm i. Ta có 1000 672,71672,71 760 1000 ln 0,00012 760 ie i i×= ⇔ = ⇔ ≈ − Khi đó ở độ cao 3000m, áp suất của không khí là: 0,00012 3000760 530,2340078P e− ×= ≈ Câu 15. Đáp án B Áp dụng công thức . 0. n r nP P e= Với PR0R = 4.10P 5 P, r = 4%, n = 5 Ta có PR8R = 4.10P 5 PeP 4%x5 P ≈488561 Câu 16. Đáp án A 56 Áp dụng công thức ( ) 0 1 2 t T m t m  =     Với mR0R = 250, T = 24 giờ = 1 ngày đêm, t = 3,5 ngày đêm. Ta có ( ) 3,5 113,5 250 22,097 2 m gam = ≈    Câu 17. Đáp án C Áp dụng công thức . 0. n r nP P e= Với 0 6 358 , 0,4%, 2004 1994 10 10 P r n= = = − = Ta có 0,4% 10 6 10 6 358 372,6102572.10 10 P e × −= ≈ Câu 18. Đáp án A Trước tiên, ta tìm tỉ lệ tăng trưởng mỗi giờ của loài vi khuẩn này. Từ giả thiết 5 5 ln 3300 100. 3 5 ln 3 0,2197 5 r re e r r= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ≈ Tức là tỉ lệ tăng trưởng của loại vi khuẩn này là 21,97% mỗi giờ. Từ 100 con, để có 200 con thì thời gian cần thiết là bao nhiêu? Từ công thức . . ln 2 ln 2200 100 2 ln 2 3,15ln 3 5 r t r te e rt t t r = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ≈ (giờ) = 3 giờ 9 phút Câu 19. Đáp án B • Trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richte khi đó áp dụng công thức 1 0 0log log 8 log logM A A A A= − ⇒ = − với • Trận động đất ở Nam Mỹ có biên độ là: 4A, khi đó cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ là: ( )2 0 2 0 2log 4 log log 4 log log log 4 8 8,6M A A M A A M= − ⇔ = + − ⇒ = + ≈ độ Richte Câu 20. Đáp án D Cách 1: Từ giả thiết và quan sát đồ thị ta có bảng sau Thời điểm t (ngày) Số lượng của đàn vi khuẩn 0 250 1 2 12 2500 250.2= 57 1 2.1100250.4 250.2= 3 2 32 22000 250.8 250.2= = Từ đó ta thấy được công thức thể hiện sự tăng trưởng về số lượng của đàn vi khuẩn N tại thời điểm t có đạng: N = 250.2P 2t P. Cách 2: Từ đồ thị ta thấy sau thời gian t = 0,5 ngày số lượng của đàn vi khuẩn là: 500 con. Từ đồ thị ta thấy sau thời gian t = 1 ngày số lượng của đàn vi khuẩn là: 1000 con. Từ đó thay t = 1, t =0,5 lần lượt vào các công thức ở các đáp án A, B, C, D thì ta thấy chỉ có công thức ở đáp án D thoả mãn, từ đó suy ra chọn đáp án D. Câu 21. Đáp án D Trận động đất 7 độ Richte : Áp dụng công thức trên ta có: 07 log 1 1 0 1 0 1 0 1log log 7 log log log 7 log 10 AM A A A A A A A += − ⇒ = − ⇒ = + ⇒ = Trận động đất 5 độ Richte : Áp dụng công thức trên ta có: 05 log 2 2 0 2 0 2 0 2log log 5 log log log 5 log 10 AM A A A A A A A += − ⇒ = − ⇒ = + ⇒ = Khi đó ta có: 1 2 7 log 21 1 27 log 2 10 10 100 100 10 A A A A A A + += = = ⇒ = . Chọn đáp án D. Câu 22. Đáp án A Áp dụng công thức (2) ( )0 1 n nP P r= + Giai đoạn 1: Gửi 100 triệu : Áp dụng công thức trên với PR0R = 100, r = 6% = 0.06; n = 4. Số tiền thu được sau 1 năm là: P = 100(1 x 0.06)P 4 P triệu đồng. Giai đoạn 2: Sau đúng 6 tháng gửi thêm 100 triệu: Áp dụng công thức trên với PR0R = 100, r = 6% = 0.06; n = 2. Số tiền thu được sau 2 quí cuối năm là: PR2R = 100(l + 0.06)P 2 P triệu đồng. Vậy tổng số tiền người đó thu được sau một năm là: P = PR4R + PR0R = 238,307696 triệu đồng Câu 23. Đáp án A Áp dụng công thức . 0. n r nP P e= Với PR0R = 93422000, r = 1,07%, n = 2026 – 2016 = 10 Ta có dân số của Việt Nam đến năm 2026 là: PR10R = 93422000eP 10×1,07% P =103972543,9 Câu 24. Đáp án B 60 ( ) ( ) ln 2 ln 2 05370 5370 0 0 35370ln 3 4 2378 4 ln 2 t mm t m e m e t − −      = ⇔ = ⇔ = ≈ − (năm) Câu 36. Đáp án A Theo công thức tính tỉ lệ % thì cần tìm t thỏa mãn: ( ) ( )75 20ln 1 10 ln 1 3,25 1 25,79 24,79t t t t− + ≤ ⇔ + ≥ ⇔ + ≥ ⇒ ≥ Câu 37. Đáp án A Theo giả thiết ta phải tìm x thoà 0,015 0,015 0,015 100 175 100 75 3675 1 49 147 x x x e e e − − − ≥ ⇔ ≥ + ⇔ ≤ + 10,015 ln 332,6955058 147 x x⇔ − ≤ ⇒ ≥ Câu 38. Đáp án C Áp dụng công thức lãi kép ta có số tiền ca vốn lẫn lãi người gửi sau 15 năm là: ‘ PR15 R= 100.10P 6 P(1 + 8%)P 15 P = 317217000 (đồng) Câu 39. Đáp án C Áp dụng công thức lãi kép ta có số tiền cả vốn lẫn lãi người gửi sau n năm là: PRnR = 100(1 + 5%)P n P = 100.(1,05)P n P (triệu đồng) Câu 40. Đáp án B Áp dụng công thức (2) PRnR = PR0R(1 + r)P n P với PR0R = 100, r = 7%, n = 2. Ta có tổng số tiền bà A thu được sau 2 năm gửi ngân hàng là: PR2R =100(1 +7%)P 2 P =114,49 (triệu đồng) Tù đó tính được số tiền lãi thu được sau 2 năm là: PR2R – PR0R = 114,49 – 100 = 14,49 triệu đồng. Câu 41. Đáp án A Áp dụng công thức lãi kép ta có số tiền cả vốn lẫn lãi người gửi sau n năm là: PRnR =6(1 +7,56%)P n P =6.1,0756P n P (triệu đồng) Từ đó ta có 1,0756log 6 nPn = Đỏ có số tiền p =12 triệu đồng thì phải sau một thời gian là: 1,0756log 6 nPn = = 9,5 (năm) Vậy sau 10 năm, người gửi sẽ có ít nhất 12 triệu đồng từ số vốn ban đầu 6 triệu đồng. Câu 42. Đáp án D 61 Áp dụng công thúc lãi kép ta có số tiền cả vốn lẫn lãi người gửi sau 5 năm là: PR5R = 15(1 +7,56%)P 5 P = 21,59 ( triệu đồng) Câu 43. Đáp án B Áp dụng công thức 3: ( ) ( )1 1 1 n n r P a r r + − = + với a = l, r = 1%, n = 2 năm 3 tháng = 27 tháng. Từ đó suy ra số tiền rút được là: ( ) ( ) ( ) 27 27 27 1 1% 1 1 1 1% 101 1 1% 1 1% P + −  = + = + −  Câu 44. Đáp án A Áp dụng công thức 3 ( ) ( )1 1 1 n n r P a r r + − = + với a = 1, r = 1%, n = 2 năm 6 tháng = 30 tháng. Từ đó suy ra số tiền rút được là: ( ) ( ) ( ) 30 30 30 1 1% 1 1 1 1% 101 1 1% 1 1% P + −  = + = + −  Câu 45. Đáp án A Áp dụng công thức 3 ( ) ( )1 1 1 n n r P a r r + − = + với a = 1, r = 1%, n = 2 năm 4 tháng = 28 tháng. Từ đó suy ra số tiền rút được là: ( ) ( ) ( ) 28 28 30 1 1% 1 1 1 1% 101 1 1% 1 1% P + −  = + = + −  Câu 46. Đáp án B 2 năm =8 quý. Áp dụng công thức lãi kép ta có số tiền cả vốn lẫn lãi người gửi sau 8 quý là PR8R =100(1 + 2%)P 8 P = 117,1659381 (triệu đồng) Câu 47. Đáp án C Số vi khuẩn ban đầu có 1000 con và sau 10 giờ là 5000 con. Áp dụng công thức f(t) = AeP rt P, ta có: 5000 = 1000eP 10r P ⇔ eP 10r P = 5 ln 5 10 r⇔ = Gọi t là thời gian cần tìm để số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần. Do đó, 10000 = 1000eP rt P ⇔ eP rt P = 10⇔ rt = ln10 5 ln10 10ln10 10log 10 ln 5 t t t r ⇔ = ⇔ = ⇔ = giờ nên chọn câu C. Câu 48. Đáp án D 62 Tỉ lệ lạm phát của nước ta trong năm 2016 là 2,5 %, nghĩa là cứ sau một năm giá sản phẩm B sẽ tăng thêm 2,5% so với giá của sản phẩm đó ở năm trưóc. Ví dụ như giá xăng năm 2016 là 10.000 NDT/lít thì giá xăng năm 2017 sẽ tăng thêm 10000 x 2,5% = 250 NDT/lít, khi đó giá xăng năm 2017 là: 10000 + 250 = 10250 NDT/lít. Để tính giá xăng năm 2025 , ta có thể áp dụng công thức (2) trong hình thức lãi kép PRnR = PR0R(1 + r)P n P với PR0R = 10000, r = 2,5%, n = 2025 – 2016 = 9 Ta có giá xăng năm 2025 là: PR9R = 10000(1 + 2,5%)P 9 P = 12489 NDT/lít Câu 49. Đáp án D Ông B phải trả trước 30% số tiền nên số tiền ông B cần phải vay là: 15,5-15,5 x 30% = 10,85 triệu đồng. Áp dụng công thức 5b: Ta tính được số tiền háng tháng ông B phải trả là: ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 1 . 10,85 1 2,5% 2,5% 1 1 1 2,5% 1 n n a r r x x r + + × = ⇒ = = + − + − 1,969817186 (triệu đồng) Từ đó ta tính được tổng số tiền ông B phải trả sau 6 tháng là: 1,969817186 x 6 = 11,81890312 triệu đồng. Vậy ông B mua theo hình thức trả góp như trên thì số tiền phải trả nhiều hơn so với giá niêm yết là: 11,81890312 – 10,85 = 0,9689031161 triệu đồng = 970000 đồng. Câu 50. Đáp án A Áp dụng công thức (5b) cho: a = 300, x = 5,5, r = 10,5%,PRnR = 0 . Tìm n? Từ công thức (5b) ta có: ( ) ( ) ( ) ( )1 . 1 1 1 1 n n n n a r r x x r x ar r r + = ⇔ + − = + + − ( )( ) ( )1 1n n xx ar r x r x ar ⇔ − + = ⇔ + = − 1 1 0,5% 5,5log log 63,84 5,5 300 0,5%r xn n n x ar+ +⇔ = ⇔ = ⇔ ≈ − − × Ở đây ta thấy n không là số nguyên, lúc này ta có hai cách làm chọn Nếu chọn n = 64 (chọn số nguyên cao hơn gần nhất) Số tiền anh An còn nợ sau tháng thứ 63 là: ( ) ( )63 63 63 1 0,5% 1 300 1 0,5% 5,5. 4,652610236 0,5% P + − = + − = (Lưu A máy tính casio)