Tổng hợp Công thức Toán lớp 10 Đại số, Hình học chi tiết, đầy đủ cả năm

Tổng hợp Công thức Toán lớp 10 Đại số, Hình học chi tiết, đầy đủ cả năm

Việc nhớ chính xác một công thức Toán lớp 10 trong hàng trăm công thức không phải là việc dễ dàng, với mục đích giúp học sinh dễ dàng hơn trong việc nhớ Công thức, VietJack biên soạn bản tóm tắt Công thức Toán lớp 10 Đại số và Hình học Học kì 1 & Học kì 2 đầy đủ, chi tiết được biên soạn theo từng chương. Hi vọng loạt bài này sẽ như là cuốn sổ tay công thức giúp bạn học tốt môn Toán lớp 10 hơn.

Tải xuống

Tài liệu tóm tắt công thức Toán lớp 10 Đại số và Hình học gồm 9 chương, liệt kê các công thức quan trọng nhất:

Đại số 10

    – Chương 1: Mệnh đề – Tập hợp

    – Chương 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai

    – Chương 3: Phương trình. Hệ phương trình

    – Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình

    – Chương 5: Thống kê

    – Chương 6: Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác

Hình học 10

    – Chương 1: Vectơ

    – Chương 2: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

    – Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Hi vọng với bài tóm tắt công thức Toán 10 này, học sinh sẽ dễ dàng nhớ được công thức và biết
cách làm các dạng bài tập Toán lớp 10. Mời các bạn đón xem:

Các công thức về phương tình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

1. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai: Δ = b2 – 4ac

Δ < 0: Phương trình vô nghiệm

Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép

x1 = x2 = –

Δ > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

2. Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai

Nếu b chẵn ta dùng công thức nghiệm thu gọn

Δ’ = b’2 – ac

Δ’ < 0: Phương trình vô nghiệm

Δ’ = 0: Phương trình có nghiệm kép

x1 = x2 = –

Δ’ > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

3. Định lý Vi-ét:

Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1; x2 thì

4. Các trường hợp đặc biệt của phương trình bậc hai:

– Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm:

– Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm:

5. Dấu của nghiệm số: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

– Phương trình có hai nghiệm trái dấu: x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0

– Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt: 0 < x1 < x2

⇔

– Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt x1 < x2 < 0

⇔

1. Bất đẳng thức

a) Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức

+ Tính chất 1 (tính chất bắc cầu): a > b và b > c ⇔ a > c

+ Tính chất 2 (liên hệ giữa thứ tự và phép cộng): a > b ⇔ a + c > b + c (cộng hai vế của bất đẳng thức với cùng một số ta được bất đẳng thức cùng chiều và tương đương với bất đẳng thức đã cho).

Hệ quả (Quy tắc chuyển vế): a > b + c ⇔ a – c > b

+ Tính chất 3 (quy tắc cộng): ⇒ a + c > b + d

+ Tính chất 4 (liên hệ giữa thứ tự và phép nhân)

a > b ⇔ a.c > b.c nếu c > 0

Hoặc a > b ⇔ a.c < b.c nếu c < 0

+ Tính chất 5 (quy tắc nhân): ⇒ ac > bd

(Nhân hai vế tương ứng của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều)

Hệ quả (quy tắc nghịch đảo): a > b > 0 ⇒

+ Tính chất 6: a > b > 0 ⇒ an > bn (n nguyên dương)

+ Tính chất 7: a > b > 0 ⇒ (n nguyên dương)

b) Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si)

Định lí: Trung bình cộng của hai số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng.

Nếu a ≥ 0, b ≥ 0 thì

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Hệ quả 1: Nếu 2 số dương có tổng không đổi thì tích của chùng lớn nhất khi 2 số đõ bẳng nhau.

Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.

Hệ quả 2: Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chùng nhỏ nhất khi 2 số đó bằng nhau.

Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích hình vuông có chu vi nhỏ nhất.

+ Bất đẳng thức Cô-si cho n số không âm a1; a2; …; an (n ∈ N*, n ≥ 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = … = an

c) Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Định lý: Với mọi số thực a và b ta có:

|a + b| ≤ |a| + |b|

||a| – |b|| ≤ |a – b|

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0.

d) Một số bất đẳng thức khác

+) x2 ≥ 0 ∀x ∈ R

+) [a] + [b] ≤ [a + b]

Trong đó [x] gọi là phần nguyên của số x, là số nguyên lớn nhất không lớn hơn x:

[x] ≤ x < [x] + 1

+) (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2 ∀a, b, x, y ∈ R.

2. Các công thức về dấu của đa thức

a) Dấu của nhị thức bậc nhất

Nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b (a ≠ 0)cùng dấu với hệ số a khi x > , trái dấu với hệ số a khi x < .

b) Dấu của tam thức bậc hai

f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)

Biệt thức Δ = b2 – 4ac

Δ < 0: f(x) cùng dấu với hệ số a

Δ = 0: f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ≠

Δ > 0: f(x) có hai nghiệm x1; x2 (x1 < x2)

x

– ∞

x1

x2

+ ∞

f(x)

cùng dấu a

0

trái dấu a

0

cùng dấu a

*) Các công thức về điều kiện để tam thức bậc hai không đổi dấu trên R.

c) Dấu của đa thức bậc lớn hơn hoặc bằng 3. Bắt đầu ô bên phải cùng dấu với hệ số a của số mũ cao nhất, qua nghiệm đơn đổi dấu, qua nghiệm kép không đổi dấu.

3. Các công thức về phương trình và bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối

a) Phương trình

b) Bất phương trình

|A| < |B| ⇔ A2 < B2 ⇔ A2 – B2 < 0 ⇔ (A – B)(A + B) < 0

|A| ≤ |B| ⇔ A2 ≤ B2 ⇔ A2 – B2 ≤ 0

4) Các công thức về phương trình và bất phương trình chứa dấu căn bậc hai

a) Phương trình

b) Bất phương trình

1. Giá trị trung tâm, tần số, tần suất của các lớp trong bảng phân phối ghép lớp

Dấu hiệu X

Các giá trị: x1; x2; …;xn

– Lớp thứ i có các đầu mút xi và xi+1 thì là giá trị trung tâm của lớp thứ i.

– Tần số của lớp thứ i là số ni các giá trị trong khoảng thứ i.

– Tần suất của lớp thứ i là fi = (n là số giá trị của tất cả bảng)

2. Số trung bình cộng, mốt, số trung vị

– Dấu hiệu X có các giá trị khác nhau với các tần số tương ứng sau:

Giá trị

x1

x2

x3

…

xk

Tần số

n1

n2

n3

…

nk

Với n1 + n2 + n3 + … + nk = n thì số trung bình cộng được tính theo công thức

– Nếu dấu X có bảng phân phối ghép lớp, có k lớp với giá trị trung tâm lần lượt là: và các tần số tương ứng là: n1; n2; n3; …; nk với n1 + n2 + n3 + … + nk = n thì số trung bình là:

– Mốt của dấu hiệu là giá trị có tần số lớn nhất.

– Số trung vị

Một bảng thống kê số liệu được sắp thứ tự không giảm (hoặc không tăng)

x1 ≤ x2 ≤ … ≤ xn (hoặc x1 ≥ x2 ≥ … ≥ xn )

Số trung vị của dãy số liệu là Me

Me = xk+1 , nếu n = 2k + 1, k ∈ N

Me = , nếu n = 2k, k ∈ N

3. Phương sai, độ lệch chuẩn, hệ số biến thiên

– Phương sai

Cho bảng số liệu dấu hiệu X gồm n giá trị sau:

Giá trị (xi)

x1

x2

x3

…

xi

…

xk

Cộng

Tần số (ni)

n1

n2

n3

…

ni

…

nk

n

Khi đó phương sai

Với là số trung bình cộng.

– Độ lệch chuẩn:

– Hệ số biến thiên:

+ Quy tắc hình bình hành:

Cho hình bình hành ABCD, ta có:

(Tổng hai vectơ cạnh chung điểm đầu của một hình bình hành bằng vectơ đường chéo có cùng điểm đầu đó.)

+ Tính chất của phép cộng các vectơ

Với ba vectơ tùy ý ta có

(tính chất giao hoán)

(tính chất kết hợp)

(tính chất của vectơ – không)

+ Quy tắc ba điểm

Với ba điểm A, B, C tùy ý, ta luôn có:

+ Quy tắc trừ:

+ Với 4 điểm A, B, C, D bất kì, ta luôn có:

+ Công thức trung điểm:

– Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi

– Với mọi điểm M bất kì ta có:

+ Công thức trọng tâm

– G là trung điểm của tam giác ABC khi và chỉ khi

– Với mọi điểm M bất kì ta có:

+ Tính chất tích của vectơ với một số

Với hai vectơ bất kì, với mọi số h và k, ta có

+ Điều kiện để hai vectơ cùng phương:

Điều kiện cần và đủ để hai vectơ cùng phương là có một số k để

+ Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Cho hai vectơ không cùng phương. Khi đó mọi vectơ đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ , nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho

+ Hệ trục tọa độ

– Hai vectơ bằng nhau:

Nếu = (x; y) và = (x’; y’) thì

– Tọa độ của vectơ

Cho hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) thì ta có = (xB – xA; yB – yA)

– Cho = (u1; u2) và = (v1; v2). Khi đó

– Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng

Cho đoạn thẳng AB có A(xA; yA), B(xB; yB) và I(xI; yI) là trung điểm của AB

Khi đó ta có

– Tọa độ trọng tâm của tam giác

Cho tam giác ABC có A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC). Khi đó tọa độ trọng tâm G(xG; yG) của tam giác ABC là:

1. Tích vô hướng của hai vectơ

– Cho hai vectơ đều khác vectơ . Tích vô hướng của hai vectơ là một số, kí hiệu là và

+ Tính chất của tích vô hướng

Với ba vectơ bất kì và mọi số k ta có:

(tính chất giao hoán)

(tính chất phân phối)

+ Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

+ Hai vectơ vuông góc: a1b1 + a2b2 = 0

+ Độ dài của vectơ

+ Góc giữa hai vectơ

Cho đều khác vectơ thì ta có:

+ Khoảng cách giữa hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB):

2. Các hệ thức lượng trong tam giác

+ Hệ thức lượng trong tam giác vuông

BC2 = AB2 + AC (định lý Py-ta-go)

AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC

AH2 = BH.CH

AH.BC = AB.AC

+ Định lý côsin

Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c thì

a2 = b2 + c2 – 2bc cosA

b2 = a2 + c2 – 2ac cosB

c2 = a2 + b2 – 2ab cosC

Hệ quả định lý côsin

+ Công thức độ dài đường trung tuyến

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi ma, mb, mc là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B và C của tam giác. Khi đó ta có

+ Định lý sin

Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có:

3. Công thức tính diện tích tam giác

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c.

ha; hb; hc lần lượt là độ dài đường cao kẻ từ A, B và C của tam giác ABC.

R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác và p = là nửa chu vi của tam giác ABC. Khi đó ta có

+ Đặc biệt

Tam giác vuông: S = x tích hai cạnh góc vuông

Tam giác đều cạnh a: S =

Hình vuông cạnh a: S = a2

Hình chữ nhật: S = dài x rộng

Hình bình hành ABCD: S = đáy x chiều cao hoặc S = AB.AD.sinA

Hình thoi ABCD: S = đáy x chiều cao

S = AB.AD.sinA

S = x tích hai đường chéo

Hình tròn: S = πR2 (R là bán kính)

1. Các dạng phương trình đường thẳng

a) Phương trình tổng quát của đường thẳng

+) Đường thẳng d đi qua điểm M(x0; y0) và nhận vectơ = (a; b) làm VTPT với a2 + b2 ≠ 0 có phương trình là: a(x – x0) + b(y – y0) = 0

Hay ax + by – ax0 – by0 = 0

Đặt -ax0 – by0 = c

Khi đó ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d nhận = (a; b) làm VTPT là: ax + by + c = 0 (a2 + b2 ≠ 0).

+) Các dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng

– (d): ax + c = 0 (a ≠ 0): (d) song song hoặc trùng với Oy

– (d): by + c = 0 (b ≠ 0): (d) song song hoặc trùng với Ox

– (d): ax + by = 0 (a2 + b2 ≠ 0): (d) đi qua gốc tọa độ

– Phương trình đoạn chắn: = 1 nên (d) đi qua A(a; 0) và B(0; b) (a, b ≠ 0)

b) Phương trình tham số của đường thẳng

Đường thẳng d đi qua điểm M(x0; y0) và nhận = (a1; a2) làm VTCP có phương trình tham số là: (với t là tham số, ≠ 0)

c) Phương trình chính tắc của đường thẳng

Có dạng: (a, b ≠ 0) là đường thẳng đi qua điểm M(x0; y0) và nhận = (a1; a2) làm VTCP.

d) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) có dạng:

+ Nếu thì đường thẳng AB có PT chính tắc là:

+ Nếu xA = xB thì AB: x = xA

+ Nếu yA = yB thì AB: y = yA

e) Phương trình đường thẳng theo hệ số góc

– Đường thẳng d đi qua điêm M(x0; y0) và có hệ số góc là k.

Phương trình đường thẳng d là: y – y0 = k(x – x0)

– Rút gọn phương trình này ta được dạng quen: y = kx + m

với k là hệ số góc và m là tung độ gốc.

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d1: a1x + b1y + c1 = 0 và d2: a2x + b2x + c2 = 0

+ Cách 1. Áp dụng trong trường hợp a1.b1.c1 # 0

Nếu thì d1 ≡ d2

Nếu thì d1 // d2

Nếu thì d1 cắt d2

+ Cách 2. Giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 (nếu có) là nghiệm của hệ phương trình

– Hệ (I) có một nghiệm (x0; y0). Khi đó d1 cắt d2 tại điểm M0(x0; y0)

– Hệ (I) có vô số nghiệm, khi đó d1 trùng với d2

– Hệ (I) vô nghiệm, khi đó d1 và d2 không có điểm chung, hay d1 song song với d2.

3. Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d1: a1x + b1y + c1 = 0 và d2: a2x + b2x + c2 = 0

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng d1 và d2. Kí hiệu α = (d1; d2)

Khi đó ta có: cos α =

4. Phương trình phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2

Cho hai đường thẳng d1: a1x + b1y + c1 = 0 và d2: a2x + b2x + c2 = 0

Phương trình phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2 là

(góc nhọn lấy dấu -, góc tù lấy dấu +)

5. Khoảng cách

+ Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng (Δ): ax + by + c = 0

d(M, Δ) =

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song d1: ax + by + c1 = 0 và d2: ax + by + c2 = 0 là

d(d1; d2) =

6. Phương trình đường tròn

+ Dạng 1:

Phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính R có dạng

(x – a)2 + (y – b)2 = R2

+ Dạng 2:

Phương trình có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 với a2 + b2 – c > 0 là phương trình đường tròn tâm I(a, b) và bán kính R = .

7. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0; y0) của đường tròn tâm I(a; b) có dạng

(x0 – a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0) = 0

8. Elip

a) Hình dạng của elip

+ F1, F2 là hai tiêu điểm

+ F1F2 = 2c là tiêu của của Elip

+ Trục đối xứng Ox, Oy

+ Tâm đối xứng O

+ Tọa độ các đỉnh A1(–a; 0), A2(a; 0), B1(0; –b), B2(0; b).

+ Độ dài trục lớn A1A2 = 2a. Độ dài trục bé B1B2 = 2b.

+ Tiêu điểm F1(–c; 0), F2(c; 0).

b) Phương trình chính tắc của elip (E) có dạng: = 1 với b2 = a2 – c2

9. Hypebol

a) Phương trình chính tắc của hypebol

Với F1(-c; 0), F2(c; 0)

M(x; y) ∈ (H) ⇔ = 1 với b2 = c2 – a2 là phương trình chính tắc của hypebol.

b) Tính chất

+ Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1(-c; 0), tiêu điểm phải F2(c; 0)

+ Các đỉnh: A1(-a; 0), A2(a; 0)

+ Trục Ox gọi là trục thực, trục Oy gọi là trục ảo của hypebol.

Độ dài trục thực 2a

Độ dài trục ảo 2b

+ Hypebol có hai nhánh:

– Nhánh phải ứng với x ≥ a

– Nhánh trái ứng với x ≤ -a

+ Hypebol có hai đường tiệm cận, có phương trình y =

+ Tâm sai: e = > 1.

10. Parabol

a) Phương trình chính tắc của parabol

Parabol (P) có tiêu điểm F(; 0 ) (với p = d(F; Δ) được gọi là tham số tiêu) và các đường chuẩn là Δ : x = – (p > 0)

M(x; y) ∈ (P) ⇔ y2 = 2px (*)

(*) được gọi phương trình chính tắc của parabol (P).

b) Tính chất

+ Tiêu điểm F(; 0)

+ Phương trình đường chuẩn Δ : x = –

+ Gốc tọa độ O được gọi đỉnh của parabol

+ Ox là trục đối xứng.

Tải xuống

Xem thêm tổng hợp công thức các môn học lớp 10 hay, chi tiết khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 6 tại khoahoc.vietjack.com

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k10: fb.com/groups/hoctap2k10/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài 500 Công thức, Định Lí, Định nghĩa Toán, Vật Lí, Hóa học, Sinh học được biên soạn bám sát nội dung chương trình học các cấp.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.