Tóm tắt kiến thức và phương pháp giải toán 10 – Nguyễn Thanh Nhàn
Giới thiệu Tóm tắt kiến thức và phương pháp giải toán 10 – Nguyễn Thanh Nhàn
Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Tóm tắt kiến thức và phương pháp giải toán 10 – Nguyễn Thanh Nhàn.
Tài liệu môn Toán 10 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất miễn phí nhé.
Tài liệu Tóm tắt kiến thức và phương pháp giải toán 10 – Nguyễn Thanh Nhàn
Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Toán 10 tại đây
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
1
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
2
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
Chương I: MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP
MỆNH ĐỀ & MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN
1. Mệnh đề:
Mệnh đề là một khẳng định đúng hoặc sai. Mệnh đề không thể vừa
đúng vừa sai.
Ví dụ:
i) 2 + 3 = 5 là mệnh đề đúng.
ii) “
2
là số hữu tỉ” là mệnh đề sai.
iii) “Mệt quá !” không phải là mệnh đề
2. Mệnh đề chứa biến:
Ví dụ: Cho mệnh đề 2 + n = 5. với mỗi giá trị của n thì ta được một đề đúng hoặc sai.
Mệnh đề như trên được gọi là mệnh đề chứa biến.
3. Phủ định của mệnh đề:
Phủ định của mệnh đề P kí hiệu là P . Nếu mệnh đề P đúng thì P sai,
P sai thì P đúng.
Ví dụ:
P: “3 là số nguyên tố”
P : “3 không là số nguyên tố”
4. Mệnh đề kéo theo:
Mệnh đề “nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo. Kí hiệu
P Q.
Mệnh đề P Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.
Ví dụ: Mệnh đề “ 3 2 (3)2 (2)2 ” sai
3 2 3 4 ” đúng
Trong mệnh đề P Q thì:
Mệnh đề “
P: giả thiết (điều kiện đủ để có Q)
Q: kết luận (điều kiện cần để có P)
Ví dụ: Cho hai mệnh đề:
P: “Tam giác ABC có hai góc bằng 600”
Q: “Tam giác ABC là tam giác đều”.
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
3
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
Hãy phát biểu mệnh đề
PQ
dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ.
i) Điều kiện cần: “Để tam giác ABC có hai góc bằng 600 thì điều kiện cần là tam giác
ABC là tam giác đều”
ii) Điều kiện đủ: “Để tam giác ABC là tam giác đều thì điều kiện đủ là tam giác ABC có
hai góc bằng 600”
5. Mệnh đề đảo – Hai mệnh đề tương đương.
Mệnh đề đảo của mệnh đề P Q là mệnh đề Q P .
Chú ý: Mệnh đề P Q đúng nhưng mệnh đề đảo Q P chưa chắc đúng.
Nếu hai mệnh đề P Q và Q P đều đúng thì ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương
nhau. Kí hiệu P Q
6. Kí hiệu , :
: Đọc là với mọi (tất cả)
: Đọc là tồn tại (có một hay có ít nhất một)
7. Phủ đỉnh của và :
* Mệnh đề phủ định của mệnh đề “ x X , P x ” là “ x X , P x ”
* Mệnh đề phủ định của mệnh đề “ x X , P x ” là “ x X , P x ”
Ghi nhớ:
– Phủ định của là .
– Phủ định của là .
– Phủ định của = là .
– Phủ định của > là .
– Phủ định của < là .
Ví dụ: P: “ n Z : n 0 ”
P : ” n Z : n 0″
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
4
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TOÁN HỌC
1. Định lí và chứng minh định lí:
– Trong toán học, định lí là một mệnh đề đúng. Nhiều định lí được phát biểu
Trong đó P x , Q x là những mệnh đề chứa biến, X là một tập hợp
dưới dạng x X , P x Q x (1)
nào đó.
– Chứng minh định lí dạng (1) là dùng suy luận và những kiến thức đúng đã
biết để khẳng định rằng mệnh đề (1) là đúng, tức là cần chứng tỏ rằng với mọi
x thuộc X mà P(x) đúng thì Q(x) đúng.
Có thể chứng minh định lí dạng (1) một cách trực tiếp hoặc gián tiếp.
* Phép chứng minh trực tiếp gồm các bước:
– Lấy x thùy ý thuộc X mà P(x) đúng;
– Dùng suy luận và những kiến thức toán học đúng đã biết để chỉ ra rằng Q(x) đúng.
* Phép chứng minh phản chứng gồm các bước:
– Giả sử tồn tại
x 0 X sao cho P x0 đúng và Q x0 sai, tức là mệnh đề (1) là một mệnh
đề sai.
– Dùng suy luận và những kiến thức toán học đúng đã biết để chỉ ra điều mâu thuẫn.
2. Điều kiện cần, điều kiện đủ:
Cho định lí dạng: ” x X , P x Q x ” (1).
– P(x) gọi là giả thiết và Q(x) gọi là kết luận của định lí.
– Định lí (1) còn được phát biểu dưới dạng:
+ P(x) là điều kiện đủ để có Q(x), hoặc
+ Q(x) là điều kiện cần để có P(x).
3. Định lí đảo, điều kiện cần và đủ:
Xét mệnh đề đảo của định lí dạng (1) là x X , Q x P x (2).
Mệnh đề (2) có thể đúng, có thể sai. Nếu mệnh đề (2) đúng thì nó được
gọi là định lí đảo của định lí (1), lúc đó (1) gọi là định lí thuận.
Định lí thuận và đảo có thể viết gộp lại thành một định lí dạng:
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
5
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
x X , P x Q x (3).
Khi đó ta nói: P(x) là điều kiện cần và đủ để có Q(x) (hoặc ngược lại).
Ngoài ra ta cũng có thể nói “P(x) khi và chỉ khi (nếu và chỉ nếu) Q(x)”
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
6
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
TẬP HỢP
I. TẬP HỢP:
– Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học.
– Cho tập hợp A. Phần tử a thuộc tập A ta viết a A . Phần tử a không thuộc
tập A ta viết a A .
1. Cách xác định tập hợp:
a) Cách liệt kê: Là ta liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp.
Ví dụ: A 1,2,3,4,5
b) Cách nêu tính chất đặc trưng: Chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần
tử của tập đó.
Ví dụ: A x R : 2 x 2 5x 3 0
Ta thường minh hoạ tập hợp bằng một đường cong khép kín gọi là
biểu đồ Ven.
2. Tập hợp rỗng: Là tập hợp không chứa phần tử nào. Kí hiệu .
A x : x A
3. Tập con: A B x ( x A x B )
Vậy:
B
A
Chú ý: i) A A, A
ii) A, A
iii) A B, B C A C
4. Hai tập hợp bằng nhau: A B x ( x A x B )
II. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP
1. Phép giao: A B x / x A vaø x B
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
7
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
x A
Ngược lại: x A B
x B
B
A
2. Phép hợp: A B x / x A hoaëc x B
x A
Ngược lại: x A B
x B
3. Hiệu của hai tập hợp: A B x / x A vaøx B
x A
Ngược lại: x A B
x B
4. Phần bù: Khi A E thì EA gọi là phần bù của A trong E. Kí hiệu: C A B .
Vậy: CE A = EA khi A E .
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
8
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
III. CÁC TẬP HỢP SỐ:
Tập số nguyên: Z …., 2, 1,0,1,2,…
*
Tập số tự nhiên: N 0,1,2,3,4,… ; N 1,2,3,4,…
Tập các số hữu tỉ: Q x
m
/ m, n Z , n 0
n
Tập số thực: kí hiệu R, gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ. Tập số thực
được biểu diễn bằng trục số.
Quan hệ giữa các tập số: .
-
0
+ Các tập con thường dùng của R:
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
9
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
Chú ý: Cách biểu diễn phép hợp, giao, hiệu của 2 tập hợp trên trục số:
Vẽ trục số, biểu diễn các số là biên của tất cả các tập hợp lên trục số theo thứ tự từ nhỏ
đến lớn. Sau đó biểu diễn lần lượt từng tập hợp theo qui tắc sau:
Phép hợp: Muốn lấy hợp của hai tập hợp A và B. Tô đậm bên trong của hai tập hợp,
phần tô đậm đó chính là hợp của hai tập hợp.
Phép giao: Muốn lấy giao của hai tập hợp A và B. Gạch bỏ phần bên ngoài của tập A, rồi
tiếp tục gạch bỏ bên ngoài của tập B. phần không gạch bỏ đó chính là giao của hai tập
hợp A và B.
Cách tìm hiệu (a;b) (c;d): Tô đậm tập (a;b) và gạch bỏ tập (c;d). Phần tô đậm không
bị gạch bỏ là kết quả cần tìm.
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
10
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ
1. Số gần đúng:
Trong đo đạc, tính toán ta thường không biết được giá trị đúng của các
đại lượng ta đang quan tâm mà chỉ biết được giá trị gần đúng của nó.
2. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối:
a) Sai số tuyệt đối:
Giả sử a là giá trị đúng của một đại lượng và a là giá trị gần đúng của
a . Giá trị a a phản ánh mức độ sai lệch giữa a và a. Ta gọi a a là sai số
tuyệt đối của số gần đúng a và kí hiệu là a , tức là: a a a
Trên thực tế nhiều khi ta không biết a nên không thể tính được chính
xác a . Tuy nhiên, ta có thể đánh giá được a không vượt quá một số dương
nào đó.
* Nếu a d thì: a a d d a a d a d a a d
Khi đó ta qui ước viết: a a d
Như vậy khi viết: a a d ta hiểu số đúng a nằm trong đoạn
a d ; a d
Vì vậy, d càng nhỏ thì độ sai lệch càng ít đi.
b) Sai số tương đối:
Sai số tương đối của số gần đúng a, kí hiệu là a , là tỉ số
a
a
. Tức là:
a
a
.
a
Nếu a a d thì a d do đó: a
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
11
d
a
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
Nếu
d
càng nhỏ thì chất lượng của phép đo đạc hay tính toán càng
a
cao.
Người ta thường viết sai số tương đối dưới dạng phần trăm.
3. Số qui tròn:
Nguyên tắc qui tròn số:
* Nếu chữ số ngay sau hàng qui tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay thế chữ số đó và các chữ số
bên phải nó bởi số 0.
* Nếu chữ số ngay sau hàng qui tròn lớn hơn hay bằng 5 thì ta thay thế chữ số đó và các chữ số
bên phải nó bởi 0 và cộng thêm 1 đơn vị vào chữ số ở hàng được qui tròn
Chú ý:
1. Khi qui tròn số đúng
a đến một hàng nào thì ta nói số gần đúng a nhận được là chính xác đến
hàng đó.
2. Nếu kết quả cuối cùng của bài toán yêu cầu chính xác đến hàng
10 n
thì trong quá trình tính
toán, ở kết quả của các phép tính trung gian ta cần lấy chính xác ít nhất đến hàng
3. Cho số gần đúng a có độ chính xác d (tức là
10
n 1
.
a a d ). Khi được yêu cầu qui tròn số a mà
không nói rõ qui tròn đến hàng nào thì ta qui tròn số a đến hàng cao nhất mà d nhỏ hơn 1 đơn vị
của hàng đó.
4. Chữ số chắc và cách viết chuẩn của số gần đúng:
a) Chữ số chắc:
Cho số gần đúng a của số a với độ chính xác d. trong số a, một chữ số
được gọi là chữ số chắc (hay đáng tin) nếu d không vượt quá nữa đơn vị của
hàng có chữ số đó.
* Nhận xét: Tất cả các chữ số đứng bên trái chữ số chắc là chữ số chắc. tất cả các chữ số đứng
bên phải chữ số không chắc đều là chữ số không chắc.
b) Dạng chuẩn của số gần đúng:
Trong cách viết a a d , ta biết ngay độ chính xác d của số gần đúng a.
Ngoài cách viết trên, người ta còn qui ước dạng viết chuẩn của số gần đúng và
khi cho một số gần đúng dưới dạng chuẩn, ta cũng biết được độ chính xác của
nó.
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
12
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
* Nếu số gần đúng là số thập phân không nguyên thì dạng chuẩn là dạng mà
mọi chữ số của nó đều là chữ số chắc.
* Nếu số gần đúng là số nguyên thì dạng chuẩn của nó là A.10k , trong đó A là
số nguyên, k là hàng thấp nhất có chữ số chắc k N
Chú ý: Với qui ước về dạng chuẩn của số gần đúng thì hai số gần đúng 0,14 và 0,140 viết dưới
dạng chuẩn có ý nghĩa khác nhau. Số gần đúng 0,14 có sai số tuyệt đối không vượt quá 0,005 còn
số 0,140 có sai số tuyệt đối không vượt quá 0,0005.
5. Kí hiệu khoa học của một số:
Mỗi số thập phân khác 0 đều viết được dưới dạng .10n , trong đó:
1 10,n Z . Dạng như thế được gọi là kí hiệu khoa học của số đó.
Người ta thường dùng kí hiệu khoa học để ghi số rất lớn hoặc số rất bé.
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
13
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
Chương II. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI.
ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ
1. Khái niệm về hàm số:
a) Hàm số:
Cho một tập hợp khác rỗng D .
Hàm số f xác định trên D là một qui tắc đặt tương ứng mỗi số x thuộc
D với một và chỉ một số, kí hiệu là f(x); số f(x) đó gọi là giá trị của hàm số f tại
x.
Tập D còn gọi là tập xác định (hay miền xác định), x gọi là biến số hay
đối số của hàm số f.
Để chỉ rõ kí hiệu biến số, hàm số f còn được viết là y f x
b) Hàm số cho bằng biểu thức: Cho hàm số y f x , khi đó ta nói hàm số
được cho bằng biểu thức f(x).
* Tập xác định của hàm số:
Ta qui ước rằng: Khi cho hàm số bằng biểu thức y = f(x), nếu không
nói gì thêm thì tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các giá trị của
x để biểu thức y = f(x) có nghĩa (hay là giá trị của biểu thức f(x) được xác
định). Kí hiệu là: D
Vậy: Tập xác định D x R / y f ( x ) coù nghóa
* Tập xác định của các hàm số thường gặp:
y
P( x )
có nghĩa Q( x ) 0
Q( x )
y P( x ) có nghĩa P( x ) 0
y
P( x )
Q( x )
có nghĩa Q( x ) 0
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
14
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
P( x ) 0
y P( x ) Q( x ) có nghĩa
Q( x ) 0
2
Các hàm đa thức như: y = ax + bx + c, y = ax + b,… có tập xác định
là .
c) Đồ thị của hàm số: Cho hàm số y=f(x) có TXĐ là D.
trên mặt
phẳng tọa độ Oxy với x D . Vậy C M x , f x y f x , x D
Đồ thị (C) của hàm số là tập hợp các điểm M x , f x
Lưu ý khi giải toán:
Điểm thuộc đồ thị
tọa độ của điểm phải thỏa mãn phương
trình của đồ thị.
2. Sự biến thiên của hàm số:
Ta kí hiệu K là một khoảng, nửa khoảng hay đoạn. Ta có:
* Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến (hay tăng) trên K nếu:
x1 , x2 K : x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
* Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến (hay giảm) trên K nếu:
x1 , x2 K : x1 x2 f ( x1 ) f ( x 2 ) .
Nhận xét:
– Nếu một hàm số đồng biến trên K thì trên đó đồ thị của nó đi lên từ trái sang phải.
– Nếu một hàm số nghịch biến trên K thì trên đó đồ thị của nó đi xuống từ trái sang phải.
* Phương pháp khảo sát sự biến thiên của hàm số
B1: Lấy x1 , x2 K , x1 x2 .
B2: Lập tỉ số: T
f ( x 2 ) f ( x1 )
x2 x1
B3: Nếu tỉ số T > 0 thì hàm số tăng trên K.
Nếu tỉ số T < 0 thì hàm số giảm trên K.
3. Tính chẵn lẻ của hàm số:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên D.
x D x D
f ( x ) f ( x )
* Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
15
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
x D x D
f ( x ) f ( x )
* Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu
* Phương pháp chứng minh hàm số chẵn, hàm số lẻ.
B1: Tìm tập xác định D của hàm số.
B2: Chứng minh tập D là tập đối xứng (cần c/m: x D x D )
B3:Tính f(-x).
Nếu f(-x) = f(x) thì hàm số là hàm số chẵn.
Nếu f(-x) = – f(x) thì hàm số là hàm số lẻ.
* Lưu ý: Hàm số có thể không chẵn không lẻ.
4. Đồ thị của hàm số chẵn và hàm số lẻ:
* Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung.
* Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc toạ độ.
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
16
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
HÀM SỐ y = ax + b
1. Hàm số bậc nhất: y ax b a 0
a. Tập xác định D = .
b. Sự biến thiên:
– Nếu a > 0 hàm số đồng biến trên
– Nếu a < 0 hàm số nghịch biến trên
c. Đồ thị: Đồ thị là đường thẳng không song song, không trùng với hai
b
a
trục toạ độ và cắt trục Ox tại A ; 0 , Oy tại B(0; b).
* Chú ý:
– a được gọi là hệ số góc của đường thẳng.
– Nếu gọi là góc tạo bởi đường thẳng y=ax+b và chiều dương của trục Ox thì
a tan .
– Nếu a>0 thì đường thẳng y=ax+b nghiêng về bên phải.
– Nếu a< 0 thì đường thẳng y=ax+b nghiêng về bên trái.
– Cho hai đường thẳng
d : y ax b, d ‘ : y a ‘ x b ‘ . Ta có:
a a ‘
+ d / / d’
b b ‘
a a ‘
+ d d’
b b ‘
d cắt d ‘ a a ‘
+ d d ‘ a.a ‘ 1
+
2. Hàm số y = b
– Tập xác định D =
– Hàm số hằng là hàm số chẵn.
– Đồ thị là đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại
điểm (0; b).
3. Hàm số y x
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
17
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
– Tập xác định D = .
– Hàm số y x là hàm số chẵn. Đồ thị đối xứng qua trục tung.
– Hàm số đồng biến trên khoảng 0; và nghịch biến trên khoảng
;0
Bảng biến thiên:
x
y
0
0
Đồ thị:
y
1
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
18
x
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
HÀM SỐ BẬC HAI
1. Định nghĩa:
Hàm số bậc hai là hàm số cho bằng biểu thức có dạng
y ax 2 bx c , trong đó a, b, c là những số thực và a 0 .
2. Đồ thị của hàm số bậc hai:
– Tập xác định D =
b
; , nhận đường thẳng
2a 4a
– Đồ thị là đường parabol có đỉnh I
x
b
làm trục đối xứng, có bề lõm quay lên khi a > 0, quay xuống khi a <
2a
0.
3. Sự biến thiên của hàm số:
Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến trên khoảng ;
b
và đồng
2a
b
;
2a
biến trên khoảng
Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến trên khoảng ;
b
và nghịch biến trên
2a
b
;
2a
Bảng biến thiên:
khoảng
x
a>0
b
2a
y
4a
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
19
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
x
a<0
b
2a
y
4a
-
-
4. Dạng toán:
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số bậc hai:
– Các bước vẽ đồ thị của hàm số bậc hai:
b
;
2a 4a
+ Xác định đỉnh của parabol: I
+ Xác định trục đối xứng và hướng bề lõm của parabol.
+ Xác định một số điểm cụ thể của parabol, chẳng hạn: giao điểm của parabol
với hai trục tọa độ và các điểm đối xứng với chung qua trục đối xứng.
+ Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để “nối” các điểm đó
lại.
Dạng 2: Lập phương trình parabol (P) thỏa điều kiện K:
Bước 1: Giả sử parabol (P) có phương trình (P): y ax 2 bx c a 0
Bước 2: Dựa vào điều kiện K để xác định a, b, c.
Trong bước này ta thường có các điều kiện thường gặp sau:
* Điểm A x0 ; y0 P y0 ax02 bx0 c
b
x0 2a
* (P) có đỉnh I x0 ; y0
y f x
0
0
4a
* (P) có giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) bằng y0
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
20
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
a 0
a 0
hoặc
y0 4a
y0 4a
* (P) đạt giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) tại điểm có hoành độ bằng x0
a 0
b hoặc
x
0
2a
a 0
b
x0 2 a
* (P) nhận đường thẳng x x 0 làm trục đối xứng x0
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
21
b
2a
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
Chương III. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH
ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH
I. Khái niệm phương trình.
1. Phương trình ẩn x là mệnh đề có dạng f(x) = g(x) (1)
Nếu hai hàm số y f x , y g x
lần lượt có tập xác định là
D f , Dg , thì D D f Dg gọi là tập xác định của phương trình (1).
Nếu có số x0 D sao cho f(x0) = g(x0) thì x0 được gọi là một nghiệm
của phương trình f(x) = g(x).
Giải phương trình là ta tìm tất cả các nghiệm của nó.
Phương trình không có nghiệm ta nói phương trình vô nghiệm.
Chú ý: Các nghiệm của phương trình (1) chính là hoành độ các giao điểm của đồ thị các hàm số
y f x & y g x . Phương trình (1) cũng gọi là phương trình hoành độ giao điểm
của đồ thị các hàm số
y f x&y gx .
2. Điều kiện của phương trình: Là điều kiện của ẩn x để hai vế của
phương trình có nghĩa.
* Chú ý: Khi giải phương trình, việc tìm tập xác định của phương trình đôi khi còn khó
hơn việc giải phương trình đó, nên khi giải ta chỉ cần ghi điều kiện của phương trình là
đủ. Khi giải xong ta chỉ việc thay nghiệm vào điều kiện để loại nghiệm ngoại lai đi.
3. Phương trình chứa tham số: Là phương trình ngoài ẩn x còn có các chữ
số khác xem như là hằng số và được gọi là tham số.
Ví dụ: x2 + 2x – m = 0. Với m là tham số.
4. Phương trình tương đương: Hai phương trình được gọi là tương đương
nếu chúng có cùng tập nghiệm (kể cả tập rỗng)
Kí hiệu: “ f1 x g1 x f2 x g2 x ”
Chú ý: Khi muốn nhấn mạnh hai phương trình có cùng tập xác định D và tương đương với nhau,
ta nói “Hai phương trình tương đương trong điều kiện D”
5. Phép biến đổi tương đương:
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
22
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
Các phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình
được gọi là các phép biến đổi tương đương
* Phép cộng (trừ): f(x) =g(x) f(x) h(x) = g(x) h(x)
Cộng hoặc trừ vào hai vế của phương trình với biểu thức h(x) mà
không làm thay đổi điều kiện của phương trình thì ta được phương trình mới
tương đương.
* Phép nhân (chia): f(x) =g(x) f(x).h(x) = g(x).h(x)
f(x) =g(x)
f x
h x
gx
h x
với h(x) 0
Nhân hoặc chia vào hai vế của phương trình với biểu thức h(x) 0
mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình thì ta được phương trình
mới tương đương.
Chú ý: Phép chuyển vế: f x h x g x f x g x – h x .
6. Phương trình hệ quả:
Cho hai phương trình: f(x) = g(x) (1)
f1(x) = g1(x) (2)
Phương trình (2) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình (1)
nếu tập nghiệm của phương trình (2) chứa tập nghiệm của phương trình (1). Kí
hiệu: (1) (2)
* Lưu ý: i) Khi bình phương hai vế của phương trình thì ta được phương trình hệ quả của phương
trình đã cho.
ii) Khi giải phương trình mà dẫn đến phương trình hệ quả thì phải thử lại nghiệm vào
phương trình ban đầu để loại nghiệm ngoại lai.
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
23
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN
1. Giải và biện luận phương trình: ax + b = 0 (1)
ax b 0 (1)
Hệ số
Kết luận
a0
a=0
(1) có nghiệm duy nhất x
b0
b0
b
a
(1) vô nghiệm
(1) nghiệm đúng với mọi x
2. Giải và biện luận phương trình: ax2 + bx + c = 0 (2)
* Trường hợp 1: Với a=0, ta có phương trình bx c 0 , đây là phương trình có
hệ số cụ thể nên có thể kết luận được nghiệm của phương trình (2)
* Trường hợp 2: Với a 0 , ta tính biệt thức: b2 4ac
+ Nếu 0 : phương trình (2) vô nghiệm.
b
+ Nếu 0 : phương trình (2) có nghiệm kép x0
2a
+ Nếu 0 : phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x1,2
b
2a
Kết luận: (tùy theo giá trị của m ta kết luận tập nghiệm của phương trình)
Chú ý: Ta có thể dùng ’
ax 2 bx c 0(a 0)(2)
‘ b ‘2 ac
’ 0
’ 0
Kết luận
(1) có 2 nghiệm phân biệt x1,2
(2) có nghiệm kép x
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
b ‘ ‘
a
b’
a
24
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
’ 0
(2) vô nghiệm
Chú ý: Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0 ( a 0 ) có thể đưa về
phương trình bậc hai bằng cách đặt t = x2 ( t 0 )
3. Định lí Viet:
– Cho phương trình bậc hai có hai ax2 + bx + c = 0 ( a 0 ) có hai nghiệm x1,
b
x1 x2 a
x2. Khi đó:
x x c
1 2 a
– Ngược lại nếu có hai số u và v mà có tổng u + v = S, tích u.v = P thì u và v là
các nghiệm của phương trình: t 2 St P 0 (3)
* Chú ý:
+ Nếu phương trình (3) có hai nghiệm t1 , t2 thì
+ Nếu đa thức
u t1
v t2
u t2
v t1
hoặc
f x ax 2 bx c có 2 nghiệm x1 , x2 thì f(x) có thể phân tích thành
f x a x x1 x x2
4. Dạng toán:
Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phương trình bậc hai:
Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax 2 bx c 0 . Ta có
một số biểu thức thường gặp như sau:
x
* x12 x22 x1 x2
* x13 x23
1
x2
2
x1 x2 S 2 2P
3
3×1 x 2 x1 x2 S 3 3PS
1 1 x 2 x2 S
*
x1 x2
x1 x2
P
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
2
2
1
1 x1 x 2 S 2 2 P
* 2 2 2 2
x1 x2
x1 x2
P2
25
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
Dạng 2: Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số (giả sử là
m):
Bước 1: Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2
a 0
0
x1 x2 f m
x1 x2 g m
Bước 2: Áp dụng định lí Viét ta được
Bước 3: Khử m từ hệ trên ta được hệ thức cần tìm.
Dạng 3: Sử dụng định lí Viét xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:
ax 2 bx c 0 a 0
* Nếu P
c
0 phương trình có hai nghiệm trái dấu x1 0 x2
a
0
* Nếu
P 0
phương trình có hai nghiệm cùng dấu.
0
* Nếu P 0 phương trình có hai nghiệm dương 0 x1 x2
S 0
0
* Nếu P 0 phương trình có hai nghiệm âm x1 x2 0
S 0
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
26
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:
Các dạng cơ bản: i) A B , ii) A B
Cách giải 1: Dùng định nghĩa trị tuyệt đối để bỏ trị tuyệt đối:
A neáu A 0
A
A neáu A 0
Cách giải 2: Bình phương hai vế dẫn đến phương trình hệ quả. Khi giải xong
phải thử lại nghiệm để loại nghiệm ngoại lai.
Cách giải 3: Dùng công thức:
A B
A B
A B
B 0
A B A B
A B
II. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn:
Các dạng cơ bản: i) A B , ii) A B
Cách giải 1: Bình phương hai vế dẫn đến phương trình hệ quả. Khi giải xong
phải thử lại nghiệm để loại nghiệm ngoại lai.
Cách giải 2: Dùng công thức:
A 0 (hoaëc B 0)
A B
A B
B 0
AB
2
A B
III. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn:
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
27
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by + c = 0 (2). Trong đó a, b, c là
các hệ số, a và b không đồng thời bằng 0.
Cặp (x0;y0) được gọi là nghiệm của phương trình (2) nếu chúng
nghiệm đúng phương trình (2).
a1 x b1y c1
.
a2 x b2 y c2
2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
Cách giải: Có 3 cách:
1. Dùng phương pháp cộng đại số.
2. Dùng phương pháp thế.
3. Dùng định thức:
Đặt D
a1
a2
b1
c
, Dx 1
b2
c2
b1
a
, Dy 1
b2
a2
c1
c2
* Nếu D Dx Dy 0 thì hệ có vô số nghiệm
* Nếu D 0, Dx 0 hoaëc Dy 0 thì hệ vô nghiệm.
Dx
x
D
* Nếu D 0 thì hệ có 1 nghiệm
D
y y
D
a1 x b1y c1z d1
3. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn: a2 x b2 y c2 z d2
a x b y c z d
3
3
3
3
Cách giải:Khử dần từng ẩn số để đưa hệ phương trình trình về dạng tam giác:
a1 x d1
(pp Gausse)
a2 x b2 y d2
a x b y c z d
3
3
3
3
4. Hệ phương trình gồm một bậc nhất và một bậc hai đối với 2 ẩn:
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
28
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
x 2 3x y y 2 4
2 x y 4
Ví dụ:
Cách giải:
– Từ phương trình bậc nhất ta rút một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình bậc hai
ta được phương trình bậc hai một ẩn.
– Giải phương trình bậc hai ta tìm được nghiệm, thay nghiệm vừa tìm vào phương trình
bậc nhất ta tìm được nghiệm của ẩn còn lại.
5. Hệ phương trình đối xứng loại 1:
Dạng: Là hệ phương trình mà khi thay x bởi y và y bởi x thì mỗi phương trình
của hệ không thay đổi.
2
2
x x y y 8
Ví dụ:
xy x y 6
Cách giải:
– Đặt
S x y
, thay vào hệ phương trình ta được hệ phương trình mới theo ẩn S,
P
xy
P. Giải hệ này ta tìm được S,P.
– x,y khi đó là hai nghiệm của phương trình
X 2 SX P 0
(nếu có)
* Chú ý: Nếu (x;y) là một nghiệm thì (y;x) cũng là một nghiệm.
6. Hệ phương trình đối xứng loại 2:
Dạng: Là hệ phương trình mà khi thay x bởi y và y bởi x thì phương trình này
của hệ sẽ trở thành phương trình kia của hệ, và ngược lại.
2
x 2 y 3
Ví dụ: 2
y 2 x 3
Cách giải:
– Trừ từng vế hai phương trình ta được phương trình mới.
x y
– Phân tích phương trình mới thành dạng
x y . f x; y 0 f x; y 0 .
– Kết hợp với 1 trong 2 phương trình của hệ ta được một hệ mới đơn giản hơn rồi giải.
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
29
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
Chương IV: BẤT ĐẲNG THỨC & BẤT PHƯƠNG TRÌNH.
I. Bất Đẳng Thức:
1. Bất đẳng thức có dạng: A > B, A < B, A B , A B .
2. Bất đẳng thức hệ quả: Nếu mệnh đề A B C D đúng thì ta nói
BĐT C < D là BĐT hệ quả của BĐT A < B.
3. Bất đẳng thức tương đương: Nếu BĐT A < B là hệ quả của BĐT C < D
và ngược lại thì ta nói hai BĐT tương đương nhau. Kí hiệu: A B C D .
4. Các tính chất:
Điều kiện
Tính chất
Nội dung
Tên gọi
a b vaø b c a c
Bắc cầu
a b ac bc
Cộng hai vế bất đẳng thức
với một số
Nhân hai vế bất đẳng thức
với một số.
a b ac bc
a b ac bc
a b vaøc d a c b d Cộng hai bất đẳng thức
c>0
c<0
a > 0, c> 0
a b vaø c d ac bd
n nguyên dương
a b a 2 n1 b2 n1
0 a b a 2 n b2 n
A>0
cùng chiều
Nhân hai bất đẳng thức
cùng chiều
Nâng hai vế của bất đẳng
lên một lũy thừa.
Khai căn hai vế của một bất
đẳng thức.
ab a b
ab 3 a 3 b
5. Bất đẳng thức Côsi: Cho hai số a và b không âm:
Ta có: a b 2 ab . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
6. Các hệ quả:
i) a
1
2, a 0
a
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
30
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
ii) Cho hai số x > 0, y > 0. Nếu x + y không đổi thì x.y lớn nhất khi và chỉ khi
x = y.
iii) Cho hai số x > 0, y > 0. Nếu x.y không đổi thì x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi
x = y.
7. Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối:
i ) x 0, x x , x x
ii ) x a a x a, a 0
iii ) x a x a hoaëc x a, a 0
iv) a b a b a b
8. Các phương pháp chứng minh BĐT:
i) Dùng định nghĩa: Muốn chứng minh A > B thì ta cần chứng minh: A –
B > 0.
ii) Phương pháp chứng minh tương đương:
A B A1 B1 A2 B2 …… An Bn .
Trong đó: A > B là bđt cần chứng minh
An > Bn là bđt đúng đã biết.
iii) Dùng các bất đẳng thức đã biết: BĐT Côsi, BĐT chứa giá trị tuyệt
đối…
II. Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn:
1. Khái niệm bất phương trình một ẩn:
Bất
phương
trình
ẩn
x
có
dạng:
f(x)
<
g(x),
f ( x ) g( x ), f ( x ) g( x ), f ( x ) g( x ) . Trong đó f(x) và g(x) là những biểu
thức chứa x.
2. Điều kiện của bất phương trình: là điều kiện của ẩn x để hai vế f(x) và
g(x) đều có nghĩa.
TXĐ: D = x R / f ( x ), g( x ) coù nghóa
3. Hệ bất phương trình một ẩn: Là hệ gồm một số bất phương trình ẩn x
mà ta phải tìm nghiệm chung của chúng.
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
31
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình
của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Phương pháp giải hệ bất phương trình: Giải từng bất phương trình
rồi lấy giao của các tập nghiệm.
4. Bất phương trình tương đương: Hai bất phương trình (hệ bpt) được gọi
là tương đương nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm. Kí hiệu:
5. Các phép biến đổi tương đương: Cho bất phương trình P(x) < Q(x) có
TXĐ D.
a) Phép cộng (trừ): Nếu f(x) xác định trên D thì:
P(x) < Q(x) P(x) + f(x) < Q(x) + f(x)
b) Phép nhân (chia):
i) Nếu f(x) > 0, x D thì: P(x) < Q(x) P(x).f(x) < Q(x).f(x)
ii) Nếu f(x) < 0, x D thì:P(x) < Q(x) P(x).f(x) > Q(x).f(x)
c) Phép bình phương: Nếu P(x) 0 , Q(x) 0, x D thì:
P(x) < Q(x) P2(x) < Q2(x)
6. Các chú ý khi giải bất phương trình:
i) Khi biến đổi hai vế của bất phương trình thì có thể làm thay đổi điều kiện của bất
phương trình. Vì vậy, để tìm nghiệm của bất phương trình ta phải tìm các giá trị của x thoả mãn
điều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trình mới.
VD: Giải bpt:
5x 2 3 x
x 43 3 x
1
4
4
6
.
ii) Khi nhân (chia) hai vế của bất phương trình với biểu thức f(x) ta cần lưu ý về dấu của
f(x). Nếu f(x) nhận cả giá trị dương lẫn âm thì ta phải lần lượt xét cả hai trường hợp. Mỗi trường
hợp dẫn đến một hệ bất phương trình.
iii) Khi giải bất phương trình có ẩn ở mẫu ta quy đồng mẫu nhưng không được bỏ mẫu
và phải xét dấu biểu thức để tìm tập nghiệm
VD: Giải bpt:
1
1
x 1
iv) Khi giải bất phương trình P(x) < Q(x) mà phải bình phương hai vế thì phải xét hai
trường hợp:
TH1: P(x) và Q(x) đều không âm thì ta bình phương hai vế của bất phương trình.
TH2: P(x) và Q(x) đều âm thì ta viết P(x) < Q(x) – Q(x) < – P(x) rồi bình phương
hai vế của bất phương trình mới.
VD: Giải bpt:
x2
17
1
x
4
2
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
32
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
III. Dấu của nhị thức bậc nhất:
1. Nhị thức bậc nhất: Là biểu thức có dạng: f(x) = ax + b. trong đó a, b là
các hằng số ( a 0 ).
2. Dấu của nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b:
Bảng Xét Dấu:
x
f(x) = ax + b
a>0
a<0
+
b
a
0
0
+
–
Quy tắc: Phải cùng – Trái trái.
3. Phương pháp lập bảng xét dấu của nhị thức:
B1: Tìm nghiệm của nhị thức.
B2: Lập bảng xét dấu.
B3: Kết luận về dấu của nhị thức.
4. Dấu của một tích, một thương các nhị thức bậc nhất:
Phương pháp xét dấu: Tìm nghiệm từng nhị thức có mặt trong biểu thức. Lập
bảng xét dấu chung cho tất cả các nhị thức có mặt trong biểu thức. Từ đó ta suy
ra được dấu của biểu thức.
VD: Xét dấu biểu thức: f ( x )
(4 x 1)( x 2)
3x 5
5. Áp dụng vào việc giải bất phương trình:
a) Bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu:
Phương pháp giải:
B1: Đưa bất phương trình về dạng f(x) > 0 hoặc f(x) < 0.
B2: Lập bảng xét dấu của biểu thức f(x).
B3: Dựa vào bảng xét dấu kết luận nghiệm của bất phương trình.
VD: Giải bất phương trình:
a)
(4 x 1)( x 2)
0
3 x 5
b)
1
1
1 x
* Chú ý: Ở đây ta cũng còn có một phương pháp xét dấu riêng đơn giản mà hiệu quả hơn
6. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
33
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
Chú ý:
A neáu A 0
i) A
A neáu A 0
2
ii ) A A2 , A
iii ) x a a x a, a 0
iv) x a x a
hoaëc
x a, a 0
Phương pháp giải:
Phương pháp: Dùng định nghĩa để khử trị tuyệt đối.
B1: Lập bảng xét dấu của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối.
B2: Dựa vào bảng xét dấu khử dấu giá trị tuyệt đối và giải bất phương trình
trên từng miền xác định của bất phương trình.
B3: Nghiệm của bất phương trình là hợp các tập nghiệm trên từng miền xác
định.
f ( x ) a a f ( x ) a, a 0
f ( x ) a
f (x) a
f (x) a
a 0
A B A2 B 2
B 0
A B 2
2
A B
B 0
A B B 0
2
2
A B
Phương pháp: Dùng công thức.
7. Bất phương trình chứa ẩn trong căn bậc hai:
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
34
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
*
B 0
A 0
A B
B 0
A B 2
*
B 0
A B A 0
A B2
*
A 0
A B
A B
IV. Dấu của tam thức bậc hai:
1. Tam thức bậc hai đối với x có dạng: f(x) = ax2 + bx + c ( a 0 ).
2. Dấu của tam thức: Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c ( a 0 ) có
b2 4ac
TH1: Nếu 0 :
Bảng xét dấu:
x
f(x)
TH2: Nếu 0
Bảng xét dấu:
x
Cùng dấu với a với mọi x R
f(x)
TH3: Nếu
Cùng dấu với a
b
2a
0
Cùng dấu với a
0
Bảng xét dấu:
x
x1
f(x)
Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a
x2
0 Cùng dấu với a
Phương pháp xét dấu tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c ( a 0 ).
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
35
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
B1: Tính v tìm nghiệm của tam thức (nếu cĩ)
B2: Lập bảng xét dấu của biểu f(x)
B3: Kết luận dấu của tam thức.
VD: Xét
dấu các tam thức sau:
a. f(x) = -x2 + 3x – 5
b. f(x) = 2×2 – 5x + 2
c. f(x) = 9×2 – 24x + 16
d. f(x) = (2x -5)(3 – 4x)
e. f(x) =
2 x2 x 1
x2 4
f. f(x) = (x2 + 3x – 4)(-3x – 5)
* Chú ý: Khi xét dấu một thương cần xác định điều kiện để phân số có nghĩa.
3. Bất phương trình bậc hai một ẩn:
Dạng: f(x) > 0, f(x) < 0, f ( x ) 0; f ( x ) 0 với f(x) = ax2 + bx + c (a 0)
@ Cách giải:
B1:
Đưa
f(x) < 0,
bất
phương
trình
về
một
trong
các
dạng
f(x)
>
0,
f ( x ) 0; f ( x ) 0 .
B2: Lập bảng xét dấu biểu thức f(x).
B3: Nhận nghiệm ứng với dấu của bất phương trình.
VD: Giải các bất phương trình sau:
a. 2×2 – 5x + 2 > 0
c. x2 + x +2
2
b. 9×2 – 24x + 16 > 0
0
e. x + 12x + 36
d. x2 + 12x + 36
0
g. (x2 + 3x – 4)(-3x – 5)
0
f. (2x -5)(3 – 4x) > 0
0
h.
2 x2 x 1
0
x2 4
4. Các ứng dụng của tam thức bậc hai:
Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a 0) có b2 4ac
o
o
o
Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm 0
Phương trình f(x) = 0 có nghiệm kép 0
Phương trình f(x) = 0 vô nghiệm 0
o
Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm trái dấu
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
a 0
P 0
36
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
a 0
o
Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm cùng dấu
o
a 0
0
Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm âm
S 0
P 0
o
a 0
0
Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm dương
S 0
P 0
o
f(x) > 0 x
o
f(x) < 0 x
o
f(x) > 0 vô nghiệm f(x) 0x
o
f(x) 0 vô nghiệm f(x) 0x
o
f(x) < 0 vô nghiệm f(x) 0x
o
f(x) 0 vô nghiệm f(x) 0x
P 0
a 0
0
a 0
0
a 0
f(x) 0 x
0
a 0
f(x) 0 x
0
a 0
0
a 0
0
a 0
0
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
a 0
0
37
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
Chương V: THỐNG KÊ
I. BẢNG PHÂN BỐ TẦN SỐ & TẦN SUẤT.
1. Giả sử dãy n số liệu thống kê đã cho có k giá trị khác nhau ( k n ). Gọi xi là
một giá trị bất kì trong k giá trị đó. Ta có:
Số lần xuất hiện giá trị xi trong dãy số liệu đã cho được gọi là tần số
của giá trị đó, kí hiệu là ni.
Số fi
ni
được gọi là tần suất của giá trị xi.
n
2. Giả sử dãy n số liệu thống kê đã cho được phân bố vào k lớp (k 0, ngược hướng với a nếu k
< 0 và có độ dài bằng k a .
2. Các tính chất. a, b; h, k , ta có:
k a b ka kb ;
h k a ha ka ;
h ka hk a ;
1.a a; 1 a a
0.a 0, a ;
k 0 0, k
1. Hai vecto a, b vôùi b 0 cùng phương khi và chỉ khi có số k để
a kb . Cho hai vecto a vaø b cùng phương, b 0 . Tìm số k để
a kb và khi đó số k tìm được là duy nhất.
2. Áp dụng:
Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng AB k AC với số k xác
định.
I là trung điểm của đoạn thẳng AB MA MB 2 MI , M .
G là trọng tâm tam giác ABC MA MB MC 3MG, M
Các dạng toán và phương pháp giải
Dạng 1: Xác định vecto ka .
@ Phương pháp: Dựa vào định nghĩa vecto ka
* ka k a .
– Nếu k > 0, ka vaø a cuøng höôùng .
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
52
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
– Nếu k < 0, ka vaø a ngöôïc höôùng .
* k 0 0, k
0.a 0, a
* 1.a a; 1 a a
Dạng 2: Phân tích (biểu thị) một vecto theo hai vecto không cùng phương.
@ Phương pháp:
a/ Để phân tích vecto x OC theo hai vecto không cùng phương
a OA vaø b OB ta làm như sau:
Vẽ hình bình hành OA’CB’ có hai đỉnh O, C và hai cạnh OA’ và OB’
lần lượt nằm trên hai giá của OA, OB . Ta có: x OA ‘ OB ‘
Xác định số h để OA ‘ hOA . Xác định số k để OB ‘ hOB . Khi đó
x ha kb .
b/ Có thể sử dụng linh hoạt các công thức sau:
* AB OB OA , với ba điểm O, A, B bất kì.
* AC AB AD nếu tứ giác ABCD là hình bình hành.
Dạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song.
@ Phương pháp: Dựa vào các khẳng định sau:
Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng AB vaø AC cùng
phương AB k AC .
Nếu AB kCD và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB //
CD.
Dạng 4: Chứng minh các đẳng thức vecto có chứa tích của vecto với một số.
@ Phương pháp:
Sử dụng tính chất tích của vecto với một số.
Sử dụng các tính chất của: ba điểm thẳng hàng, trung điểm của một
đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác.
Dạng 5: Xác định vị trí của một điểm nhờ đẳng thức vecto.
@ Phương pháp: Sử dụng các khẳng định và các công thức sau:
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
53
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
AB 0 A B ;
Cho điểm A và cho a . Có duy nhất điểm M sao cho AM a
AB AC B C , A1B AB A1 A
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
54
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
1. Trục và độ dài đại số trên trục:
Cho điểm A và B trên trục O; e . Khi đó có duy nhất số a sao cho
AB ae . Ta gọi a đó là độ dài đại số của vecto AB đối với trục đã
cho và kí hiệu: a AB .
Nếu AB cùng hướng với e thì AB AB , còn nếu AB ngược hướng
với e thì AB AB .
Nếu hai điểm A và B trên trục O; e có tọa độ lần lượt là a và b thì
AB b a
2. Tọa độ của một vecto, của một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy:
* u x; y u xi y j
* M(x;y) OM xi y j với O là gốc tọa độ.
* Cho hai điểm A x A ; y A vaø B x B ; y B , ta có:
AB xB x A ; yB yA
3. Tọa độ của các vecto u v , u v , ku
Cho u u1; u2 , v v1; v2 . Khi đó:
u v (u1 v1; u2 v2 )
u v (u1 v1; u2 v2 )
ku (ku1; ku2 ), k
u c.phöông v u1v2 u2 v1 0
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
55
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
4. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Toạ độ trọng tâm của tam giác:
a) Cho A x A ; y A , B x B ; yB và I x I ; y I
là trung điểm của đoạn thẳng AB.
x A xB
x I
2
Ta có:
y y A yB
I
2
b) Cho tam giác ABC có A x A ; y A , B x B ; yB , C xC ; yC , Ta có toạ độ
trọng tâm G xG ; yG
của tam giác ABC được tính theo công thức:
x A x B xC
xG
3
y y A yB yC
G
3
Các dạng toán và phương pháp giải
Dạng 1: Tìm tọa độ của điểm và độ dài đại số của một vecto trên trục O; e .
@ Phương pháp: Căn cứ vào định nghĩa tọa độ của điểm và độ dài đại số của
vecto.
Điểm M có tọa độ a OM ae với O là điểm gốc.
Vecto AB có độ dài đại số là m AB AB me .
Nếu M và N có tọa độ lần lượt là a và b thì MN b a
Dạng 2: Xác định tọa độ của vecto và của điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
@ Phương pháp: Căn cứ vào định nghĩa tọa độ của moat vecto và tọa độ của
một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
Để tìm tọa độ của vecto a ta làm như sau: Vẽ vecto OM a Gọi hai
điểm M1 vaøM2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên Ox và
Oy. Khi đó a a1; a2 trong đó a1 OM1 , a2 OM2 .
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
56
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
Để tìm tọa độ của điểm A ta tìm tọa độ của vecto OA . Như vậy A có
tọa độ là (x;y) trong đó x OA1 , y OA2 ; A1 và A2 tương ứng là
chân đường vuông góc hạ từ A xuống Ox và Oy.
Nếu biết tọa độ của hai điểm A, B ta tính được tọa độ của vecto AB
theo công thức: AB x B x A ; yB y A .
Dạng 3: Tìm tọa độ của các vecto u v; u v; k . u
@ Phương pháp:
Tính theo các công thức tọa độ của u v; u v; k . u
Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song bằng tọa
độ.
@ Phương pháp: Sử dụng các điều kiện can và đủ sau:
Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng AB k AC .
Hai vecto a, b 0 cùng phương coù soá k ñeå a k .b
Dạng 5: Tính tọa độ trung điểm của một đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm của tam
giác.
@ Phương pháp: Sử dụng các công thức sau:
Tọa độ trung điểm của một đoạn thẳng bằng trung bình cộng các tọa
độ tương ứng của hai đầu mút.
Tọa độ của trọng tâm tam giác bằng trung bình cộng các tọa độ tương
ứng của ba đỉnh.
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
57
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
Chương II: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO
VÀ ỨNG DỤNG
1. Định nghĩa.
Với mỗi góc ( 00 180 0 ) ta xác định một điểm M trên nữa
và giả sử điểm M có toạ độ M ( x ; y ) .
đường tròn đơn vị sao cho xOM
0
0
Khi đó ta định nghĩa:
* sin của góc là y0, ký hiệu sin y0 ;
* côsin của góc là x0, ký hiệu cos x 0 ;
* tang của góc là
y0
y
( x0 0) , ký hiệu tan 0 ;
x0
x0
* côtang của góc là
x0
x
( y0 0) , ký hiệu cot 0 ;
y0
y0
Các số sin, cos, tan, cot được gọi là các giá trị lượng giác của góc .
Chú ý: + Nếu là góc tù thì cos<0, tan<0, cot<0.
+ tan chỉ xác định khi
900 ,
cot chỉ xác định khi
00
và
1800
2. Các hệ thức lượng giác.
sin a sin(180 0 a)
cos a cos(180 0 a)
tan a tan(1800 a)
cot a cot(180 0 a)
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
58
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt.
0
(00)
Giá trị
lượng giác
6
4
3
2
(300)
(450)
(600)
(900)
(1800)
sin
0
1
2
2
2
3
2
1
0
cos
1
3
2
2
2
1
2
0
-1
tan
0
cot
1
1
3
0
1
1
3
3
0
3
4. Góc giữa hai vecto.
Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0 . Từ một điểm O bất kỳ ta vẽ
OA a và OB b . Góc
AOB với số đo từ 00 đến 1800 được gọi là góc giữa
hai vectơ a và b . Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ a và b là a, b . Nếu
a, b =900 thì ta nói rằng a và b vuông góc với nhau, kí hiệu là a b hoặc
b a.
5. Tích vô hướng của hai vecto:
a/ Định nghĩa:
Cho hai vectơ a và b khác vectơ 0 . Tích vô hướng của a là
một số, kí hiệu là a.b , được xác định bởi công thức sau: a.b a b cos a, b
Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ a và b bằng vectơ 0 ta quy ước :
( ab 0 )
Chú ý:
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
59
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
b khác vectơ 0 ta có: a.b 0 a b
2
* Khi a b tích vô hướng a.a được kí hiệu là a và số này được gọi
hướng của vectơ a
b/ Các tính chất của tích vô hướng:
Với ba vectơ a , b , c bất kì và mọi số k ta có:
* a.b b.a (tính chất giao hoán)
* a b c a.b a.c (tính chất phân phối)
* ka .b k . a.b a. kb
* Với a
và
là bình phương vô
2
* a.a a 0 a 0
c/ Biểu thức toạ dộ của tích vô hướng:
O; i, j cho hai vectơ a (a1; a2 ) ,
b (b1; b2 ) . Khi đó tích vô hướng a.b là a.b a1b1 a2 b2
* Nhận xét: Hai vectơ a (a1; a2 ) , b (b1; b2 ) khác vectơ – không vuông góc với
Trong mặt phẳng toạ độ
a1b1 a2 b2 0
a b a1b1 a2 b2 0
d/ Độ dài của vectơ: Cho a (a1; a2 ) , khi đó: a a12 a22
nhau khi và chỉ khi
e/ Góc giữa hai vectơ:
Cho a (a1; a2 ) , b (b1; b2 ) đều khác vectơ – không, khi đó:
a1b1 a2 b2
a.b
cos a, b
a.b
a12 a22 . b12 b22
f/ Khoảng cách giữc hai điểm:
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
60
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
Khoảng cách giữa hai điểm A( x A ; y A ) và B( x B ; yB ) được tính theo
2
2
công thức: AB ( x B x A ) ( yB y A )
6. Các hệ thức lượng trong tam giác:
a/ Định lí cô sin:
Trong tam giác ABC bất kì với BC=a, CA=b, AB=c, ta có:
a2 b2 c2 2b.c cos A
b2 a2 c2 2a.c cos B
c2 a2 b 2 2a.b cos C
Hệ quả:
b2 c2 a2
a 2 c 2 b2
a2 b2 c 2
; cos B
; cos C
2bc
2ac
2ab
@ Áp dụng: Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác.
cos A
Cho tam giác ABC có các cạnh BC=a, CA=b, AB=c. Gọi ma , mb , mc lần
lượt là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B, C của tam
giác. Ta có:
2(b2 c2 ) a2
4
2
2(a c2 ) b2
2
mb
4
2
2(a b 2 ) c2
mc2
4
ma2
b/ Định lí sin: Trong tam giác ABC bất kì với BC=a, CA=b, AB=c và R là bán
kính đường tròn ngoại tiếp, ta có:
a
b
c
2R
sin A sin B sin C
c/ Công thức tính diện tích tam giác:
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
61
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
1
1
1
a.ha b.hb c.hc
2
2
2
1
1
1
S ab sin C bc sin A ca sin B
2
2
2
abc
S
4R
S pr
S
S
p( p a)( p b)( p c)
Các dạng toán và phương pháp giải
Dạng 1: Tính giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.
@ Phương pháp:
Dựa vào định nghĩa, tìm tung độ y0 và hoành độ x0 của điểm M trên nửa
đường tròn đơn vị với góc xOM và từ đó ta có các giá trị lượng giác:
sin y0 ; cos x0 ; tan
y0
x
; cot 0
x0
y0
.
Dựa vào tình chất: Hai góc bù nhau có sin bằng nhau và có côsin, tang,
côtang đối nhau.
Dạng 2: Chứng minh các hệ thức về giá trị lượng giác.
@ Phương pháp:
00 180 0
Dựa vào định nghĩa giá trị lượng giác của một góc
Dựa vào tính chất của tổng ba góc của moat tam giác bằng 1800.
Sử dụng các hệ thức:
.
sin
1
; tan
cos
cot
Dạng 3: Cho biết một giá trị lượng giác của góc , tìm các giá trị lượng giác
còn lại của .
@ Phương pháp:
sin2 cos2 1; tan
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
62
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của góc và các hệ thức cơ bản liên hệ
giữa các giá trị đó như:
sin
cos
; cot
cos
sin
1
1
1 tan 2
; 1 cot 2 2
2
cos
sin
sin 2 cos2 1; tan
Dạng 4: Tính tích vô hướng của hai vecto.
@ Phương pháp:
a.b a b cos a, b
a b c a.b a.c .
Áp dụng công thức của định nghĩa:
Dùng tính chất phân phối:
.
Dạng 5: Chứng minh các đẳng thức về vecto có liên quan đến tích vô hướng.
@ Phương pháp:
Sử dụng tính chất phân phối của tích vô hướng đối với phép cộng các vecto.
Dùng quy tắc ba điểm đối với phép cộng hoặc trừ vecto.
Dạng 6: Chứng minh sự vuông góc của hai vecto.
Dạng 7: Biểu thức tọa độ của tích vô hướng và các ứng dụng: tính độ dài của
một vecto, tính khoảng cách giữa hai điểm, tính góc giữa hai vecto.
@ Phương pháp:
Cho hai vecto
a a1; a2 vaø b b1; b2
. Ta có:
a.b a1b1 a2 b2 .
a
a12 a22
Độ dài vecto: a (a1; a2 ) , khi đó:
Góc giữa hai vecto a (a1; a2 ) , b (b1; b2 ) là:
a1b1 a2 b2
a.b
cos a, b
.
a.b
a12 a22 . b12 b22
.
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
63
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
Khoảng cách giữa hai điểm
thức:
A( x A ; y A )
và
B ( x B ; yB )
được tính theo công
AB ( x B x A )2 ( yB y A )2
Dạng 8: Tính một số yếu tố trong tam giác theo một yếu tố cho trước (trong đó
có ít nhất là một cạnh).
@ Phương pháp:
Sử dụng trực tiếp định lí côsin và định lí sin.
Chọn các hệ thức lượng thích hợp đối với tam giác để tính một số yếu tố trung
gian cần thiết để việc giả toán thuận lợi.
Dạng 9: Giải tam giác.
@ Phương pháp: Một tam giác thường được xác định khi biết ba yếu tố. Trong các bài
toán giải tam giác, người ta thường cho tam giác với ba yếu tố như sau:
Biết một cạnh và hai góc kề cạnh đó (g, c, g).
Biết một góc và hai cạnh kề góc đó (c, g, c).
Biết ba cạnh (c, c, c).
Để tìm các yếu tố còn lại của tam giác người ta thường sử dụng các định lí cô sin, định
lí sin, định lí tổng ba góc của một tam giác bằng 1800 và đặc biệt có thể sử dụng các
hệ thức lượng trong tam giác vuông.
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
64
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
Chương III:PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG MẶT PHẲNG
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Phương trình tham số.
đi qua điểm
M0 x0 ; y0 và có vecto chỉ phương u u1; u2 là:
Phương trình tham số của đường thẳng
x x0 tu1
y y0 tu2
góc k là: y y0 k x x0
Nếu
đi qua điểm M0 x0 ; y0 và có hệ số
có vecto chỉ phương u u1; u2
của là k
Phương trình đường thẳng
với u1 0 thì hệ số góc
u2
u1
Nếu có hệ số góc k thì có vecto chỉ phương là u 1; k
2. Phương trình tổng quát.
Phương trình tổng quát của đường thẳng
M0 x0 ; y0 và có vecto pháp tuyến n a; b là:
đi qua điểm
a x x0 b y y0 0
Hay ax + by + c = 0 với c ax 0 by0
Đường thẳng
cắt Ox và Oy lần lượt tại A(a;0) và B(0;b) có
phương trình theo đoạn chắn là:
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
x y
1 a, b 0
a b
65
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
là 1 VTPT
* Chú ý: Mối liên hệ giữa VTCP và VTPT của cùng một đường thẳng: Nếu n a; b
thì VTCP là
u b; a
hoặc
u b; a
3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Xét 2 đường thẳng 1 : a1 x b1 y c1 0 ; 2 : a2 x b2 y c2 0 . Toạ độ
a1 x b1 y c1 0
a2 x b2 y c2 0
giao điểm của 1 , 2 là nghiệm của hệ phương trình :
(I). Ta có các trường hợp sau :
a) Hệ (I) có một nghiệm (x0;y0), khi đó 1 cắt 2 tại M0(x0 ;y0)
b) Hệ (I) có vô số nghiệm, khi đó 1 trùng 2
c) Hệ (I) vô nghiệm, khi đó 1 // 2 .
Chú ý : Nếu a2 , b2 , c2 0
thì :
*
1 caét 2
*
1 / / 2
*
1 2
a1 b1
a2 b2
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a1 b1 c1
a2 b2 c2
4. Góc giữa hai đường thẳng :
Cho 2 đường thẳng : 1 : a1 x b1 y c1 0 có vecto pháp tuyến n1 và
2 : a2 x b2 y c2 0 có vecto pháp tuyến n2 .
Đặt
, 2 khi đó: cos cos n1 , n2
1
a1a2 b1b2
a12 b12 a22 b22
Chú ý :
+
1 2 n1 n2 a1a2 b1b2 0
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
66
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
+ Nếu
1 và 2 có phương trình y=k1x+m1 và y= k2x+m2 thì 1 2 k1k2 1 .
5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng có phương trình ax+by+c=0 và
điểm M0(x0;y0). Khoảng cách từ điểm M0 đến đường thẳng , kí hiệu là d(M0,
), được tính bởi công thức:
ax0 by0 c
d M0 ,
a2 b 2
Các dạng toán và phương pháp giải
Dạng 1: Viết phương trình tham số (PTTS) của đường thẳng.
@ Phương pháp: Để viết PTTS của đường thẳng ta thực hiện các bước sau:
Tìm VTCP u u1 ; u2 của đường thẳng .
M x 0 ; y0
Tìm một điểm
Phương trình tham số của
thuộc
là:
Chú ý:
Nếu
có hệ số góc k thì
Nếu
có VTPT là
.
x x0 tu1
y y0 tu2
u 1; k .
có VTCP u b; a hoaëc u b; a
có VTCP
n a; b thì
Dạng 2: Viết phương trình tổng quát (PTTQ) của đường thẳng.
@ Phương pháp: Để viết PTTQ của đường thẳng ta thực hiện các bước sau:
Tìm VTPT n a; b của đường thẳng .
M x 0 ; y0
Tìm một điểm
Viết phương trình
Biến đổi về dạng: ax + by + c = 0
thuộc
.
theo công thức:
a x x0 b y y0 0
Chú ý:
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
67
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
Nếu đường thẳng
ax+by+c’=0.
cùng phương với đường thẳng d: ax+by+c=0 thì
Nếu đường thẳng
bx+ay+c”=0.
vuông góc với đường thẳng d: ax+by+c=0 thì
Dạng 3: Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
@ Phương pháp:
Để xét vị trí tương
1 : a1 x b1 y c1 0 ; 2 : a2 x b2 y c2 0
*
1 caét 2
*
1 / / 2
*
1 2
Toạ độ giao điểm của
1 , 2
đối
của
hai
có PTTQ:
có PTTQ: –
đường
thẳng
ta xét các trường hợp sau :
a1 b1
a2 b2
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a1 b1 c1
a2 b2 c2
là nghiệm của hệ phương trình :
a1 x b1 y c1 0
a2 x b2 y c2 0
Góc giữa hai đường thẳng
1
và
2
được tính bởi công thức :
cos 1 ,2
a1a2 b1b2
a12 b12 a22 b22
Dạng 4: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
@ Phương pháp:
Để
tính
khoảng
ax by c 0
cách
từ
điểm
ta dùng công thức:
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
M0(x0;y0)
đến
d M0 ,
68
đường
thẳng
ax0 by0 c
a2 b 2
:
.
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
1. Phương trình đường tròn:
Phương trình đường tròn tâm I(a;b), bán kính R là :
2
x a y b
2
R2
Nếu a2 b 2 c 0 thì phương trình x 2 y 2 2 ax 2by c 0 là
phương trình của đường tròn tâm I(a;b), bán kính R a 2 b2 c .
Nếu a2 b 2 c 0 thì chỉ có một điểm I(a;b) thỏa mãn phương trình
x 2 y 2 2ax 2by c 0
Nếu a2 b 2 c 0 thì không có điểm M(x;y) nào thỏa mãn phương
trình x 2 y 2 2 ax 2by c 0
2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:
– Cho điểm M0(x0;y0) nằm trên đường tròn (C) tâm I(a;b). Gọi là tiếp tuyến
với (C) tại M0 có phương trình:
x
0
a x a y0 b y b 0
Các dạng toán và phương pháp giải
Dạng 1: Nhận dạng một phương trình bậc hai là phương trình đường tròn. Tìm
tâm và bán kính đường tròn.
@ Phương pháp:
Cách 1:
– Đưa về phương trình vế dạng:
2
x 2 y 2 2ax 2by c 0 . (1)
2
– Xét dấu biểu thức: m a b c .
– Nếu m > 0 thì (1) là phương trình đường tròn tâm I(a;b), bán kính:
R a 2 b2 c .
Cách 2:
– Đưa phương trình về dạng:
2
x a y b
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
2
69
m.
(2)
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
– Nếu m > 0 thì (2) là phương trình đường tròn tâm I(a ;b), bán kính
R m.
Dạng 2: Lập phương trình đường tròn.
@ Phương pháp:
Cách 1:
Tìm tọa độ tâm I(a ;b) của đường tròn (C).
Tìm bán kính R của (C).
Viết phương trình (C) theo dạng :
2
x a y b
2
R2
(1)
Chú ý :
IA 2 IB 2 R 2 .
(C) đi qua A, B
(C) đi qua A và tiếp xúc với đ.thẳng
(C) tiếp xúc với hai đ.thẳng
1
và
tại A
IA d I , .
2
d I , 1 d I , 2 R .
Cách 2 :
Gọi phhương trình của đường tròn (C) là
x 2 y 2 2ax 2by c 0 . (2)
Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ba ẩn số là: a, b, c.
Giải hệ phương trình tìm a, b, c thế vào (2) ta được phương trình đường tròn
(C).
Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn.
@ Phương pháp:
Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm M0(x0;y0) thuộc đường tròn (C).
Tìm tọa độ tâm I(a;b) của (C).
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M0(x0;y0) có dạng:
x
0
a x a y0 b y b 0 .
Loại 2: Lập phương trình tiếp tuyến của với (C) khi chưa biết tiếp điểm: Dùng điều
kiện tiếp xúc để xác định : tiếp xúc với đường tròn (C) tâm I, bán kính R
d I, R
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
70
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP
1. Định nghĩa.
Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F1, F2 và một độ dài không đổi 2a lớn hơn
F1F2. Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho: F1M+F2M=2a
Các điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của elip. Độ dài F1F2=2c gọi là tiêu cự
của elip.
2. Phương trình chính tắc của elip (E).
* Cho elip (E) có các tiêu điểm F 1(-c,0), F2(c;0). Điểm M thuộc elip khi và chỉ
x 2 y2
khi MF1+MF2=2a. M ( x; y ) ( E ) 2 2 1 (1), trong đó b2=a2-c2.
a
b
Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip.
3. Các thành phần của elip (E) là:
–
Bốn đỉnh: A a;0 , A a;0 , B b; 0 , B b;0 .
–
Độ dài trục lớn: A1 A2 2 a .
–
Độ dài trục nhỏ: B1B2 2 b .
–
Tiêu cự: F1F2 2c
–
Hai tiêu điểm: F1 c;0 , F2 c; 0 .
1
2
1
2
Các dạng toán và phương pháp giải
Dạng 1: Lập phương trình chính tắc của một elip khi biết các thành phần đủ để
xác định elip đó.
@ Phương pháp:
Từ các thành phần đã biết, áp dụng công thức liên quan ta tìm được phương
trình chính tắc của elip.
Lập
phương
trình
chính
tắc
của
elip
theo
công
thức:
(E)
–
x2 y2
1
a2 b2
Ta có các hệ thức:
0 < b < a.
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
71
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
–
c2=a2-b2.
–
Độ dài trục lớn:
A1 A2 2a .
–
Độ dài trục nhỏ:
B1B2 2 b .
–
Tiêu cự:
F1F2 2c
MF1+MF2=2a.
Ta có tọa độ các điểm đặc biệt của elip (E).
–
Hai tiêu điểm:
–
Bốn đỉnh:
F1 c;0 , F2 c; 0 .
A1 a;0 , A2 a;0 , B1 b; 0 , B2 b;0 .
Dạng 2: Xác định các thành phần của một elip khi biết phương trình chính tắc
của elip đó.
@ Phương pháp:
–
Độ dài trục lớn nằm trên Ox:
x2 y2
1
a 2 b2
A1 A2 2a .
–
Độ dài trục nhỏ nằm trên Oy:
B1B2 2 b .
–
Hai tiêu điểm:
–
Tiêu cự:
–
Bốn đỉnh:
–
Tỉ số
–
Phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là:
Các thành phần của elip ( E ) :
F1 c;0 , F2 c; 0
với
c a2 b2
F1F2 2c
A1 a;0 , A2 a;0 , B1 b; 0 , B2 b;0 .
c
1
a
(tâm sai của (E))
x a; y b .
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
72
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG HYPEBOL
1. Định nghĩa.
Định nghĩa:
Cho hai điểm cố định F1, F2 có khoảng cách F1F2=2c. Hypebol (H) là
tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho: | F1M F2 M | 2a , trong đó a
là số dương nhỏ hơn c.
Các điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của hypebol. Độ dài F1F2=2c
gọi là tiêu cự của hypebol.
2. Phương trình chính tắc của hypebol (H).
* Cho hypebol (H) có các tiêu điểm F1(-c,0), F2(c;0). Điểm M thuộc hypebol
khi và chỉ khi |MF1-MF2|=2a. M ( x; y ) ( E )
x 2 y2
1 (1) (a>0, b>0),
a 2 b2
trong đó b2 c 2 a2
Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của hypebol.
3. Các thành phần của hypebol (H) là:
–
Bốn đỉnh: A a;0 , A a;0 , B b; 0 , B b;0 .
–
Độ dài trục thực: A1 A2 2 a .
–
Độ dài trục ảo: B1B2 2 b .
–
Tiêu cự: F1F2 2c
–
Hai tiêu điểm: F1 c;0 , F2 c; 0 .
1
2
1
2
Các dạng toán và phương pháp giải
Dạng 1: Lập phương trình chính tắc của một hypebol khi biết các thành phần đủ
để xác định hypebol đó.
@ Phương pháp:
Từ các thành phần đã biết, áp dụng công thức liên quan ta tìm được phương
trình chính tắc của hypebol.
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
73
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
Lập
phương
2
(H )
trình
tắc
của
hypebol
theo
công
thức:
x
y
2 1
2
a b
–
Ta có các hệ thức:
a,b>0.
c2=a2+b2.
–
Độ dài trục thực:
–
Độ dài trục ảo:
–
Tiêu cự:
chính
2
A1 A2 2a .
B1B2 2 b .
F1F2 2c
|MF1-MF2|=2a.
Ta có tọa độ các điểm đặc biệt của hypebol (H).
–
Hai tiêu điểm:
–
Bốn đỉnh:
F1 c;0 , F2 c; 0 .
A1 a;0 , A2 a;0 , B1 b; 0 , B2 b;0 .
Dạng 2: Xác định các thành phần của một hypebol khi biết phương trình chính
tắc của hypebol đó.
@ Phương pháp:
x 2 y2
1
a2 b 2
A1 A2 2a .
Các thành phần của hypebol ( H ) :
–
Độ dài trục thực nằm trên Ox:
–
Độ dài trục ảo nằm trên Oy:
–
Hai tiêu điểm:
–
Tiêu cự:
–
Bốn đỉnh:
–
Tỉ số
–
Phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là:
B1B2 2 b .
F1 c;0 , F2 c; 0
với
c a2 b2
F1F2 2c
e
A1 a;0 , A2 a;0 , B1 b; 0 , B2 b;0 .
c
1
a
(tâm sai của (H))
x a; y b .
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
74
: 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10
–
Phương trình các đường tiệm cận là:
GV: NGUYỄN THANH NHÀN
b
y x
a
75
: 0987. 503.911
