Tóm tắt kiến thức Toán ôn thi THPT Quốc gia – Hoàng Xuân Nhàn

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Tóm tắt kiến thức Toán ôn thi THPT Quốc gia – Hoàng Xuân Nhàn.

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất miễn phí nhé.

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Toán 12 tại đây

I. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC sin  cos  1. Hệ thức Cơ bản: cos   cot   sin   sin 2  cos2  1  tan   1 2  1  tan   cos 2  1  1  cot 2   sin 2  Đối:  ;  Bù:  ;    k    sin(  k 2 )  sin  cos(  k 2 )  cos    tan .cot  1 k     tan(  k )  tan  cot(  k )  cot   2. Cung Liên kết:  Khác pi:  ;    Phụ:  ;   2   sin      cos  2    cos      sin  2  sin( )   sin  sin(   )  sin  cos( )  cos  cos(   )   cos  tan( )   tan  tan(   )   tan    tan      cot  2  tan(   )  tan  cot( )   cot  cot(   )   cot    cot      tan  2  cot(   )  cot  Sin bù Phụ chéo Cos đối sin(   )   sin  cos(   )   cos  Khác Pi: tang, cotang Pi  : ;   2 2   sin      cos  2    cos       sin  2    tan       cot  2    cot       tan  2  Khác Khác pi/2: sin bạn cos, cos thù sin 3. Công thức Cộng:  sin(a  b)  sin a.cos b  cos a.sin b  sin(a  b)  sin a.cos b  cos a.sin b tan(a  b)  1 tan a  tan b 1  tan a.tan b  cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b  cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b tan(a  b)  tan a  tan b 1  tan a.tan b Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected] 4. Công thức Nhân đôi, Nhân ba: cos 2  cos 2   sin 2   2 cos 2   1  1  2sin 2  sin 2  2sin .cos  cos3  4cos3   3cos  sin 3  3sin   4sin3  sin 2   tan 3  5. Công thức Hạ bậc: 1  cos 2 cos 2   1  cos 2 2 2 tan  1  tan 2  tan 2  3tan   tan 3  1  3tan 2  tan 2   2 1  cos 2 1  cos 2 6. Biến đổi Tổng thành Tích: ab a b .cos 2 2 ab a b sin a  sin b  2sin .cos 2 2 sin(a  b) tan a  tan b  cos a.cos b     sin   cos   2.sin      2.cos     4 4   ab a b .sin 2 2 ab a b sin a  sin b  2 cos .sin 2 2 sin(a  b) tan a  tan b  cos a.cos b cos a  cos b   2sin cos a  cos b  2 cos     sin   cos   2 sin       2 cos      4  4 7. Công thức biến đổi tích thành tổng cos a.cos b  1 2 cos(a  b)  cos(a  b) sin a.sin b  1 2 cos(a  b)  cos(a  b) sin a.cos b  1 2 sin(a  b)  sin(a  b)  II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC u  v  k 2 sin u  sin v   (k  ) u    v  k 2  u  v  k 2 cos u  cos v   u  v  k 2  Nếu sin u  m   1;1 và  3 2 1  m  1;  ; ;  ;0 thì: 2 2 2    3 2 1  ; ;  ;0 thì: Nếu cos u  m   1;1 và m  1;  2 2 2   u  arcsin m  k 2 sin u  m   (k  ) u    arcsin m  k 2 Nếu sin u  m   1;1 thì: sin u  m  u  sin u  1  u  Đặc biệt:  2 sin u  0  u  k   2  k 2 tan u  tan v  u  v  k  3  ;0  thì: Nếu tan u  m   3; 1;  3   2 cos u  m  u   arccos m  k 2 (k  ) Nếu cos u  m   1;1 thì: cosu  m  u   k 2 sin u  1  u   k   k   Đặc biệt: cos u  1  u  k 2 cos u  1  u    k 2 cos u  0  u  k     2 k    k cot u  cot v  u  v  k k   3   ;0  thì: Nếu cot u  m   3; 1;  3   Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected] tan u  m  u  arctan m  k k   cot u  m  u  arc cot m  k k   Lưu ý: Điều kiện để hàm tanu có nghĩa là Lưu ý: Điều kiện để hàm cot u có nghĩa là  u   k , k  . Tuy vậy, phương trình tan u  m u  k , k  . Tuy vậy, phương trình cot u  m luôn có 2 nghiệm, vì vậy không cần đặt điều kiện cho nó. luôn có nghiệm, vì vậy không cần đặt điều kiện. Kỹ thuật 1: Làm mất dấu TRỪ Ví dụ:  sin   sin( )  cos   cos(   )  tan   tan( )  cot   cot( ) sin x x x 4 4 4 sin x x sin x 0 sin x 4 k2 x x k2 (voâ nghieäm) sin x 8 k (k 4 sin( x) ). Kỹ thuật 2: Biến đổi CHÉO   sin   cos     2    cos   sin     2    tan   cot     2    cot   tan     2  Ví dụ:   k 2   2 x   x  k 2 x    2 6 3    (k  ). sin 2 x  cos x  sin 2 x  sin   x    2   2 x       x   k 2  x    k 2     2 2  Phương trình a sin x  b cos x  c (với a 2  b2  c 2 ) a sin x  b cos x  c a b c  sin x  cos x  2 2 2 2 2 a b a b a  b2 c  sin x.cos   cos x.sin   2 a  b2 a b , sin   (với cos   ) 2 2 2 a b a  b2  sin( x   )  sin   ……… với sin   Phương trình a sin2 x  b sin x cos x  c cos2 x  d  Trường hợp 1: Xét cos x  0  sin 2 x  1 . Ta có hệ sin 2 x  1 sin 2 x  1   ………….(1) sau:  2 a sin x  d a  d  Trường hợp 2: Xét cos x  0 , chia hai vế phương trình cho cos2 x , ta có: c a  b2 2 a tan 2 x  b tan x  c  d (1  tan 2 x)  ……… (2)  Hợp nghiệm của (1), (2) ta có tập nghiệm của phương trình đã cho.  Lưu ý: Phương trình a sin x  b cos x  c chỉ có nghiệm khi và chỉ khi a 2  b2  c 2 . [ III. TỔ HỢP – XÁC SUẤT QUY TẮC CỘNG QUY TẮC NHÂN Nếu phép đếm được chia ra nhiều trường hợp, ta Nếu phép đếm được chia ra làm nhiều giai đoạn bắt buộc, ta sẽ cộng các kết quả lại. 3 sẽ nhân các kết quả của mỗi giai đoạn ấy. Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected] HOÁN VỊ TỔ HỢP  Sắp xếp (đổi chỗ) của n phần tử khác nhau, ta có số cách xếp là Pn  n ! với n .  n !  1.2…..  n  1 n .  Chọn k phần tử từ n phần tử  Chọn k phần tử từ n phần tử (có sắp (không sắp xếp thứ tự), ta có số cách xếp thứ tự), ta được số cách chọn là chọn là Cnk . k  , n  n! C  với   n  k  !k ! 0  k  n  Một số tính chất:  Công thức: P( X )  SUẤT Ank . k n  Quy ước sốc: 0!  1. XÁC Khai triển dạng liệt kê: (với n  * ) Khai triển tổng quát: (với n  *  k  , n  n! A  với   n  k ! 0  k  n * .  * k n Cnk  Cnnk Cnk  Cnk 1  Cnk11 n( X ) n()  Tính chất: 0  P( X )  1 . Trong đó: n( X ) : số phần tử của tập biến cố X ; n() : số phần tử không gian mẫu; P( X ) là xác suất để biến cố X xảy ra với X   .  Nếu A, B là hai biến cố xung khắc với nhau thì P  A  B   P  A   P  B  .  CHỈNH HỢP . Ank  k !Cnk P()  0; P()  1 . P( X )  1  P( X ) với X là biến cố đối của X .  Nếu A và B là hai biến cố độc lập với nhau thì P  A.B   P  A  .P  B  . IV. KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTƠN n  a  b   Cn0 a n  Cn1a n1b  Cn2 a n2b 2  ………  Cnn1ab n1  Cnnb n . n Đặc biệt: 1  x   Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  ………  Cnn 1 x n 1  Cnn x n (*).  Hệ quả 1: Cn0  Cn1  Cn2  ………  Cnn1  Cnn  2n (tức là thay x  1 vào (*)).  Hệ quả 2: Với n chẵn, chỉ cần thay x  1 vào (*), ta có: Cn0  Cn1  Cn2  ………  Cnn1  Cnn  0  Cn0  Cn2  Cn4 ……  Cnn  Cn1  Cn3  ……Cnn1 n  a  b    Cnk a nk bk . Số hạng tổng quát: Tk 1  Cnk a nk bk n  Khai triển: k 0  Phân biệt hệ số và số hạng: Cnk ( 1)k an kbk . x . Số hạng không chứa x ứng với   0. ) HEÄ SOÁ SOÁ HAÏNG CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN V. CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN 1. Định nghĩa: 1. Định nghĩa:  Dãy số  un  được gọi là cấp số cộng khi và  Dãy số  un  được gọi là cấp số nhân khi và chỉ khi chỉ khi un 1  un  d với n  * , d là hằng số.  Cấp số cộng như trên có số hạng đầu u1 , công sai d . 2. Số hạng tổng quát:  un  u1  (n  1)d với n *. 3. Tính chất các số hạng: 4 un 1  un .q với n  * , q là hằng số.  Cấp số nhân như trên có số hạng đầu u1 , công bội q . 2. Số hạng tổng quát:  un  u1.q n 1 với n * . 3. Tính chất các số hạng:  uk 1.uk 1  uk2 với k  và k  2. 4. Tổng n số hạng đầu tiên: Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected]  uk 1  uk 1  2uk với k  * và k  2. u1 (1  q n )  Sn  u1  u2  …  un  với q  1. 1 q 4. Tổng n số hạng đầu tiên: (u  u )n  Sn  u1  u2  …  un  1 n . 2 VI. GIỚI HẠN DÃY SỐ – HÀM SỐ 1.1. Dãy số có giới hạn 0: 1 1 1 ▪ lim  0 ▪ lim ▪ lim 3  0 0 n n n n ▪ lim q  0 với q  1 . 1.2. Dãy số có giới hạn hữu hạn: Cho lim un  a . Ta có: ▪ lim 1 0 n ▪ lim un  a với a  0. ▪ lim un  a và lim 3 u  3 a Cho lim un  a , lim vn  b . Ta có: ▪ lim  un  vn   a  b ▪ lim ▪ lim  un .vn   a.b un a  với b  0 vn b ▪ lim  k .un   k .a 1.3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: S  u1  u1q  u1q 2  …  u1 . 1 q 1.4. Dãy số có giới hạn vô cùng: Quy tắc 1: Cho lim un  , lim vn  . Tính lim  un vn  . 1. Giới hạn dãy số lim un   lim vn lim  un vn        lim un Dấu của a lim  un vn    + – + –      Quy tắc 2: Cho lim un  , lim vn  a  0. Tính lim  un vn  .      u Quy tắc 3: Cho lim un  a  0, lim vn  0. Tính lim n . vn 5 Dấu của a (tử) Dấu của vn (mẫu) + + – – + – + – lim un vn     Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected] 2.1. Giới hạn tại vô cực: Cho k dương, ta có: 1 0 xk 2.2. Giới hạn hữu hạn: ▪ lim x k   ▪ lim , k chaün , k leû ▪ lim xk x  x  x Cho lim f  x   a, lim g  x   b . Ta có: x  x0 ▪ lim f  x   a x  x0 ▪ lim 3 f  x   3 a x  x0 ▪ lim x  x0 x  x0 f  x   a với a  0 ▪ lim  f  x  .g  x   a.b x  x0 ▪ lim  f  x   g  x   a  b x  x0 ▪ lim k. f  x   k.a với k là hằng số x  x0 ▪ lim x  x0 f  x a  với b khác 0 g  x b 2.3. Quy tắc tìm giới hạn vô cực: Quy tắc 1: Cho lim f  x   , lim g  x   a  0 . Tính lim  f  x  .g  x  . x  x0 x  x0 x  x0 lim f  x    x  x0  + – + –   2. Giới hạn hàm số: lim  f  x  g  x  . Dấu của a x  x0    Quy tắc 2: Cho lim f  x   a  0, lim g  x   0 . Tính lim x  x0 x  x0 x  x0 Dấu của g  x  Dấu của a f  x . g  x lim x  x0 f  x . g  x + +  + –  – +  – –  2.4. Bổ trợ các công thức để khử dạng vô định: ax 2  bx  c  a  x  x1  x  x2  với x n  1   x  1  x n 1  x n  2  …  1 x1 , x2 là nghiệm của tam thức bậc hai. a b  a b  3 6 a2  b a b a b  a3  b a2  a 3 b  a n  b n   a  b   a n 1  a n  2b  …  b n 1    3 b a b  3 2 a2  b a b a3  b a2  a 3 b   b 3 2 Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected] 3.1. Điều kiện tồn tại giới hạn: Giới hạn bên phải lim f  x  Ký hiệu lim f  x  x  x0 lim f  x   lim f  x  x  x0  x   x0   x  x0 Nghĩa là Điều kiện để hàm số có giới hạn tại x0 . Giới hạn bên trái x  x0 x  x0 Khi đó: lim f  x   lim f  x   x   x0   x  x0 x  x0 x  x0  lim f  x  x  x0 3. Điều kiện giới hạn và điều kiện liên tục: 3.2. Điều kiện liên tục của hàm số:  Hàm số f  x  liên tục tại x0  f  x0   lim f  x   lim f  x   f  x0   lim f  x  x x0 x x0 x  x0  Mọi hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác đều liên tục trên tập xác định của chúng.  Hàm số f  x  liên tục trên khoảng  a; b  nếu nó liên tục với mọi x  x0   a; b  . f ( x) lieân tuïc treân (a; b) lim f ( x) f (a); lim f ( x)  Hàm số f  x  liên tục trên a; b x a x b f (b) . 3.3. Điều kiện có nghiệm của phương trình: Nếu hàm số f  x  liên tục trên  a; b  và f  a  . f  b   0 thì phương trình f  x   0 có ít nhất một nghiệm trên  a; b  . VII. ĐẠO HÀM f   x0   lim 1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm: x  x0 f  x   f  x0  . x  x0 2. Bảng đạo hàm cơ bản và mở rộng:  ( x )   x   k  0 (với k là hằng số)  e   e   e   e . u  x  MR  x u u  sin x   cos x  tan x    1 MR  (u )   u 1. u  a   a ln a   a   a .ln a. u  x  MR x u 7 u MR    sin u   u cos u 1  1  tan 2 x cos 2 x u MR   tan u   2  u 1  tan 2 u  cos u     1  x  2 x MR    u   2uu  ln x   1 x u MR   ln u   u   cos x    sin x  1   x     1 x2 u  1  MR      2 u u 1   log a x   x ln a u MR   log a u   u ln a MR    cos u    u sin u 1   1  cot 2 x  sin 2 x u MR   cot u    2   u 1  cot 2 u  sin u   cot x    Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected] 3. Quy tắc tìm đạo hàm: ▪  u  v   u  v ▪ (k.u)  k.u  u  uv  uv ▪   v2 v ▪ f x  fu.ux với f   x    f   x   ; f   x    f   x   f fx laø ñaïo haøm cuûa f theo bieán x fu laø ñaïo haøm cuûa f theo bieán u . ux laø ñaïo haøm cuûa u theo bieán x 4. Đạo hàm cấp cao và vi phân: Đạo hàm cấp cao  4 ▪ (u.v)  uv  uv  x    f   x  ;…; f  n  x    f  n1  x  df  x   f   x  .dx Vi phân dy  y.dx du  u.dx VIII.KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU  Bước 1: Tìm tập xác định D .  Bước 2: Tính y  f ( x) ; cho y  0 Tìm nghieäm x1 , x2 … Tìm thêm các giá trị x mà y không xác định.  Bước 3: Lập bảng biến thiên. (Nên chọn giá trị x đại diện cho từng khoảng thay vào y để tìm dấu của y trên khoảng đó).  Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số. ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ  Hàm số có điểm cực trị là  y( x0 )  0 ( x0 ; y0 )   .  y ( x0 )  y0 (giả thiết là hàm số liên tục tại x0 ).  f ( x0 )  0  Nếu  thì hàm  f ( x0 )  0 số f ( x) đạt cực đại tại x  x0 . 8 HÀM BẬC BA 3 y  ax  bx 2  cx  d (a  0)  Đạo hàm y  3ax2  2bx  c .  Hàm số đồng biến trên tập xác định  y  0, x  a  0  .   0  Hàm số nghịch biến trên tập xác định  y  0, x  a  0  .   0  Lưu ý: Nếu a chứa tham số m thì ta xét a  0 , tìm m. Thay m tìm được để kiểm tra dấu y , xem y có đơn điệu trên không? CỰC TRỊ HÀM BẬC BA y  ax 3  bx 2  cx  d (a  0)  Đạo hàm y  3ax2  2bx  c .  Hàm số có hai cực trị (tức là có a  0 (*) . CĐ-CT)    y  0  Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu  x1x2  0  ac  0 .  Hàm số có hai điểm cực trị cùng a  0,  y  0 dấu   . ac  0 HÀM NHẤT BIẾN ax  b y (ad  bc  0, c  0) cx  d ad  bc . (cx  d ) 2  Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định  ad  bc  0.  Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định  ad  bc  0.  Đạo hàm y   Lưu ý: Nếu đề cho đồng biến (nghịch biến) trên ( ;  ) thì ta xét điều d kiện:   ( ;  ) . c CỰC TRỊ HÀM BẬC BỐN y  ax4  bx 2  c (a  0)  Đạo hàm y  4ax3  2bx .  Điều kiện cực trị Ba cực trị ab  0 ab  0 Một cực trị  2 2 a  b  0 Có cực trị a 2  b2  0  Cho A, B, C là ba điểm cực trị, ta có: cos BAC  b3  8a b3  8a Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected]  Phương trình đường thẳng đi qua b5 hai điểm cực trị: . SABC  3  32 a f ( x). f ( x) y  f ( x)  . 18a Lưu ý: Nếu tọa độ hai cực trị đã rõ ràng ta nên gọi đường thẳng y  ax  b rồi thay tọa độ hai điểm đó vào   Giải hệ tìm a, b. TÌM MAX-MIN TRÊN ĐOẠN TÌM MAX-MIN TRÊN KHOẢNG Tìm Max-Min của f ( x) trên khoảng (a; b) Tìm Max-Min của f ( x) trên đoạn  a; b   f ( x0 )  0  Nếu  thì hàm  f ( x0 )  0 số f ( x) đạt cực tiểu tại x  x0 .  Bước 1: Tính y  f ( x) . Tìm các nghiệm xi  (a; b) khi cho f ( x)  0 . Tìm x j  (a; b) mà y không xác định.  Bước 2: Tính các giá trị f (a), f (b) và f ( xi ), f ( x j ) (nếu có).  Bước 3: So sánh tất cả giá trị trong bước 2 để kết luận về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.  Bước 1: Tính y  f ( x) . Tìm các nghiệm xi  (a; b) khi cho f ( x)  0 . Tìm x j  (a; b) mà y không xác định.  Bước 2: Cần tính lim y, lim y . (Nếu thay (a; b) bằng x a x b (; ) thì ta tính thêm lim y ). x   Bước 3: Lập bảng biến thiên và suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên khoảng.  Nếu hàm f ( x) đồng biến trên [a; b] thì  Nếu hàm f ( x) nghịch biến trên [a; b] thì  max f ( x)  f (b)  max f ( x)  f (a )  x[a ;b ]  x[a ;b ]   f ( x)  f (a ) f ( x)  f (b)  xmin  xmin [a ;b ] [a ;b ] ĐẶC BIỆT TIỆM CẬN ĐỨNG  x   x0  Định nghĩa:  (x hữu hạn, y vô    y  hạn), ta có tiệm cận đứng x  x0 . Lưu ý:  x0 có thể được thay bằng điều kiện x  x   x0 (giới hạn bên trái) hoặc x   x0 (giới hạn bên phải).  Cách tìm TCĐ: Nếu x  x0 là một nghiệm của mẫu số mà không phải là nghiệm của tử số thì x  x0 chính là một TCĐ của đồ thị. (với tập xác định có dạng D  K  x0 ; x1 ;… ).  Đồ thị hàm số y  9 TIỆM CẬN NGANG  x     Định nghĩa:  (x vô hạn, y hữu hạn), ta có tiệm  y0  y  cận ngang y  y0 .  Cách tìm TCN: Đơn giản nhất là dùng CASIO Bước 1: Nhập hàm số vào máy. NEXT NEXT  X  10 ^10   Bước 2: CALC  NEXT NEXT CALC   X  10 ^10   Bước 3: Nếu kết quả thu được là hữu hạn (tức là y0 ) thì ta kết luận TCN: y  y0 . ax  b d a với (c  0, ad  bc  0) có một TCĐ: x   , một TCN: y  . cx  d c c  Nên nhớ, mỗi đồ thị chỉ có tối đa là 2 tiệm cận ngang. Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected] SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ Xét hai đồ thị (C1 ) : y  f ( x ) và (C2 ) : y  g( x) . Phương pháp chung tìm giao điểm hai đồ thị  Bước 1 : Lập phương trình hoành độ giao  Bước 2 : Giải phương trình (*) để tìm các nghiệm x1 , x2 ,… điểm của (C1 ) &(C2 ) : f ( x)  g ( x) . (*) (nếu có), suy ra y , y … 1  Điều kiện để (C1 ) và (C2 ) có n điểm chung là phương trình (*) có n nghiệm khác nhau. 2  Điều kiện để (C1 ) tiếp xúc (C2 ) là phương trình (*) có nghiệm kép hoặc  f ( x)  g ( x) hệ sau có nghiệm :  .  f ( x)  g ( x) ax  b   (C ) : y  Tìm tham số để  cx  d cắt nhau tại hai điểm phân biệt d : y   x    Bước 1 : Viết phương trình hoành độ giao   ax  b   x   , đưa phương trình về điểm :  A  0 cx  d Tìm  m?  Bước 2 : Giải hệ  g  0 d   2  dạng g ( x)  Ax  Bx  C  0  x    . c g   d   0      c  (C ) : y  ax 3  bx 2  cx  d Tìm tham số để  cắt nhau tại ba điểm phân biệt d : y   x   (Ta chỉ áp dụng cho trường hợp phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm đẹp)  Bước 1 : Viết phương trình hoành độ giao A  0  điểm : ax3  bx2  cx  d   x   , đưa Tìm  Bước 2 : Giải hệ điều kiện :  g  0  m? phương trình về dạng   g ( x0 )  0  2  ( x  x0 )  Ax  Bx  C   0 .    Lưu ý : Để tìm nghiệm đẹp x  x0 , ta nhập vào máy chức g ( x)   năng giải phương trình bậc ba với m  100 . (có vận dụng kỹ năng chia Hoocner) PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN DẠNG 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) : y  f ( x) tại điểm M ( x0 ; y0 )  (C)  Bước 1: Tính đạo hàm y , từ đó có hệ số góc k  y( x0 ).  Bước 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị dạng y  k ( x  x0 )  y0 . DẠNG 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) : y  f ( x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k.  Bước 1: Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm và tính đạo hàm y .  Bước 2: Cho y( x0 )  k , tìm được tiếp điểm ( x0 ; y0 ).  Bước 3: Phương trình tiếp tuyến : y  k ( x  x0 )  y0 . DẠNG 3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) : y  f ( x) biết tiếp tuyến đi qua A( xA ; yA ) .  Bước 1: Tiếp tuyến có dạng : y  y( x0 )( x  x0 )  y0 (*) với y0  f ( x0 ).  Bước 2: Thay tọa độ điểm A vào (*) để tìm được x0 .  Bước 3: Thay x0 vào (*) để viết phương trình tiếp tuyến.  Đặc biệt : Nếu tiếp tuyến song song đường thẳng y  ax  b thì nó có hệ số góc k  a, nếu tiếp tuyến vuông góc đường 10 Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected] 1 (a  0) ; nếu tiếp tuyến tạo với Ox góc  thì nó có hệ số góc k   tan  . a ĐIỂM ĐẶC BIỆT THUỘC ĐỒ THỊ Tâm đối xứng (hay điểm uốn) của đồ thị bậc ba y  ax 3  bx 2  cx  d (a  0) thẳng y  ax  b thì nó có hệ số góc k    y  3ax 2  2bx  c  Bước 1: Tính  .  y  6ax  2b  Bước 2: Cho y 0 Tìm nghieäm b 3a x0 y0 . Ta có tâm đối xứng (tức điểm uốn): I ( x0 ; y0 ).  Cần nhớ: Tâm đối xứng của đồ thị bậc ba cũng là trung điểm của hai điểm cực trị (nếu có). Tâm đối xứng của đồ thị hàm nhất biến y   Tìm tiệm cận đứng x   ax  b (c  0, ad  bc  0) cx  d d và tiệm cận c a , suy ra được tâm đối xứng của c  d a đồ thị là: I   ;  (là giao điểm 2 tiệm cận  c c tìm được). ngang y  ax  b (c  0, ad  bc  0) cx  d Cách 2: Trắc nghiệm Thực hiện trên máy tính bỏ túi như sau: aX  b MODE   7   F(X )    START :  19 cX  d Điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm nhất biến y  Cách 1: Tự luận  Bước 1: Chia đa thức cho đa thức, ta viết lại hàm số y     . cx  d  Bước 2: Yêu cầu bài toán  cx  d là ước số nguyên của Tìm ñöôïc x x , suy …….   END :  1   STEP : 1 . Ta dò tìm những hàng có F ( X ) nguyên thì nhận làm điểm cần tìm. Làm tương tự khi cho START : 0   END : 18   STEP : 1 , ta sẽ bổ sung thêm các điểm nguyên còn lại. Lưu ý: Học sinh muốn đạt được tính chính xác ra các giá trị y tương ứng. Từ đây tìm cao hơn thì có thể dò trên nhiều khoảng, mỗi khoảng có START và được các điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ END cách nhau 19 đơn vị. (Máy tính đời mới sẽ có bộ nhớ lớn hơn). thị. NHẬN DIỆN ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. 3 2 Hàm số bậc ba y  ax  bx  cx  d  a  0   y  3a x 2  2b x  c A Hệ số a d 11 Dấu hiệu đồ thị Nhánh phải đồ thị đi lên Nhánh phải đồ thị đi xuống Giao điểm với Oy nằm trên điểm O B a0 a0 d 0 C Kết luận Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected] Giao điểm với Oy nằm dưới điểm O Giao điểm với Oy trùng với điểm O d 0 d 0 Đồ thị không có điểm cực trị nào y   B   AC  b 2  3ac  0 Đồ thị có hai điểm cực trị y   B   AC  b 2  3ac  0 2 2 B 2b 0  0  ab  0 A 3a B 2b b, c   0    0  ab  0. Tâm đối xứng nằm bên trái Oy A 3a C c x1 x2  0   0   0  ac  0 Hai điểm cực trị nằm cùng phía Ox A 3a C c x1 x2  0   0   0  ac  0 Hai điểm cực trị nằm khác phía Ox A 3a  Chú ý: Đôi khi, ta thấy đồ thị đi qua điểm  x0 ; y0  cho trước, ta thay tọa độ này vào hàm số để có 1 phương trình. Điều này đúng cho mọi hàm số. 4 2 2. Hàm số bậc bốn trùng phương y  ax  bx  c  a  0   Tâm đối xứng nằm bên phải Oy   y  4ax 3  2bx  2 x  2ax 2  b  Hệ số a c b Dấu hiệu đồ thị Nhánh phải đồ thị đi lên Nhánh phải đồ thị đi xuống Giao điểm với Oy nằm trên điểm O Giao điểm với Oy nằm dưới điểm O Giao điểm với Oy trùng với điểm O Đồ thị hàm số có ba cực trị a0 a0 c0 c0 c0 ab  0 ab  0,  a  0  Đồ thị hàm số có một cực trị 3. ax  b  c  0, ad  bc  0 cx  d ad  bc Hàm số nhất biến y    y  Hệ số  cx  d  2 Dấu hiệu đồ thị Tiệm cận đứng nằm bên phải Oy c và d Tiệm cận đứng nằm bên trái Oy Tiệm cận ngang nằm phía trên Ox a và c Tiệm cận ngang nằm phía dưới Ox Giao điểm của đồ thị với Ox nằm bên phải gốc O a và b Giao điểm của đồ thị với Ox nằm bên trái gốc O 12 Kết luận Kết luận d  0  cd  0 c d   0  cd  0 c a  0  ac  0 c a  0  ac  0 c b   0  ab  0 a b   0  ab  0 a  Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected] b0 Đồ thị đi qua gốc O(0;0) b Mỗi nhánh đồ thị đi lên (từ trái sang phải) b  0  bd  0 d b  0  bd  0 d ad  bc  0 Mỗi nhánh đồ thị đi xuống (từ trái sang phải) ad  bc  0 Giao điểm của đồ thị với Oy nằm trên gốc O b và d Giao điểm của đồ thị với Oy nằm dưới gốc O a, b, c, d PHÉP SUY ĐỒ THỊ TỪ ĐỒ THỊ CÓ SẴN 1. Phép tịnh tiến và đối xứng đồ thị Cho hàm y  f ( x) có đồ thị (C) Đồ thị cần tìm Cách biến đổi (C1 ) : y  f ( x)  a Tịnh tiến đồ thị (C ) theo phương Oy lên phía trên a đơn vị. (C2 ) : y  f ( x)  a Tịnh tiến đồ thị (C ) theo phương Oy xuống phía dưới a đơn vị. (C3 ) : y  f ( x  a) Tịnh tiến đồ thị (C ) theo phương Ox qua trái a đơn vị. (C4 ) : y  f ( x  a) Tịnh tiến đồ thị (C ) theo phương Ox qua phải a đơn vị. 13 Minh họa Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected] (C5 ) : y   f ( x) Lấy đối xứng (C ) qua Ox . (C6 ) : y  f ( x) Lấy đối xứng (C ) qua Oy . 2. Đồ thị hàm chứa giá trị tuyệt đối a) Từ đồ thị (C ) : y  f ( x) ta suy ra đồ thị (C1 ) : y  f ( x ) . Ta có y f ( x) f ( x) neáu f ( x) f ( x) neáu f ( x) 0 . 0 Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị (C ) nằm phía trên Ox , ta được (C ) . Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị (C ) phía dưới Ox qua Ox , ta được (C) . Kết luận: Đồ thị (C1 ) : y  f ( x) là hợp của (C ) với (C). Xem ví dụ minh họa sau: b) Từ đồ thị hàm số (C ) : y  f ( x) ta suy ra đồ thị (C2 ) : y  f  x  . Ta có y f ( x) f ( x) neáu x f ( x) neáu x 0 . 0 Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị (C ) nằm bên phải trục Oy , ta được (C). Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị (C ) qua trục Oy , ta được (C) . (Đây là tính chất đối xứng của đồ thị hàm số chẵn) Kết luận: Đồ thị (C2 ) : y  f  x  là hợp của (C ) với (C). Xem ví dụ minh họa sau: 14 Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected] CÔNG THỨC BỔ TRỢ CHO QUÁ TRÌNH GIẢI TOÁN HÀM SỐ Bổ trợ về tam thức bậc hai Cho phương trình ax2  bx  c  0 (*) a  0  (*) có hai nghiệm phân biệt     0 b   S  x1  x2  a AÙp duïng  Định lí Vi-ét :  P  x x  c 1 2  a  (*) có hai nghiệm trái dấu  a.c  0 . x12  x22  S 2  2P; x13  x23  S 3  3SP; ( x1  x2 )2  S 2  4P; x1  x2  ( x1  x2 )2  S 2  4P . Trong trắc nghiệm, ta nên dùng công thức : x1  x2   (*) có hai nghiệm dương phân biệt a  0,   0  .  S  0, P  0  . a  (*) có hai nghiệm âm phân biệt a  0,   0  .  S  0, P  0 Bổ trợ hình học giải tích phẳng  Khoảng cách từ điểm M ( xM ; yM ) đến  AB  (b1; b2 ) 1  Nếu ABC có  thì SABC  b1c2  b2c1 2 ax  byM  c  AC  (c1; c2 ) .  : ax  by  c  0 là d  M ;    M 2 2 a  b  ABC  tại A  AB. AC  0  b1c1  b2c2  0 .  Đặc biệt: d  M ; Ox   yM , d  M ; Oy   xM .  AB  ( xB  xA )2  ( yB  y A )2 . IX. LŨY THỪA – MŨ VÀ LOGARIT 1. Công thức lũy thừa Cho các số dương a, b và m, n   a0  1 an a.a………..a với n * n thöøa soá  (am )n  amn  (an )m  am .an  amn . Ta có: 1 an  an   am  a mn n a 1  anbn  (ab)n 15 a a   n b b n  n  m an  a n m  a  a2  3 a a 1 3 (m, n  * ) Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected] 2. Công thức logarit: Cho các số a, b  0, a  1 và m, n . Ta có:  log a b    a  b  lg b  log b  log10 b  ln b  loge b  log a 1  0  loga a  1  log a a n  n  log a bn  n log a b  log am b n   log am b  1 log a b m  loga (bc)  loga b  loga c b  log a    log a b  log a c c  loga b.logb c  loga c ,  b  1  log a c  log b c ,  b  1 log a b n log a b m log b  a a  b   log c b  c logb a  a 1  log a b  ,  b  1 log b a BÀI TOÁN NGÂN HÀNG Nếu ta gởi tiền vào ngân hàng theo hình thức tiền lãi chỉ được tính dựa vào tiền gốc ban đầu (tức là 1. Công tiền lãi của kỳ hạn trước không gộp vào vốn để tính lãi cho kỳ hạn kế tiếp), đây gọi là hình thức lãi thức tính đơn. Ta có: T  A(1  nr ) với A: tiền gởi ban đầu; r: lãi suất; n: kỳ hạn gởi; T: tổng số tiền nhận sau lãi đơn kỳ hạn n. Lưu ý: r và n phải khớp đơn vị; T bao gồm cả A, muốn tính số tiền lời ta lấy T – A. 2. Công thức lãi kép Nếu ta gởi tiền vào ngân hàng theo hình thức: hàng tháng tiền lãi phát sinh sẽ được cộng vào tiền gốc cũ để tạo ra tiền gốc mới và cứ tính tiếp như thế, đây gọi là hình thức lãi kép. Ta có: T  A(1  r )n với A: tiền gởi ban đầu; r: lãi suất; n: kỳ hạn gởi; T: tổng số tiền nhận sau kỳ hạn n. Lưu ý: r và n phải khớp đơn vị; T bao gồm cả A, muốn tính số tiền lời ta lấy T – A. 3. Mỗi tháng gởi Nếu đầu mỗi tháng khách hàng luôn gởi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r % /tháng đúng số tiền giống A n nhau theo hình thì số tiền họ nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng là: T  1  r   1 1  r  .   r thức lãi kép Nếu khách hàng gởi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r % /tháng. Vào ngày ngân 4. Gởi tiền vào ngân hàng tính lãi mỗi tháng thì rút ra X đồng. Số tiền thu được sau n tháng là: hàng rồi rút ra hàng n 1  r  1  n tháng số tiền cố định T  A 1  r   X r Nếu khách hàng vay ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r%/tháng. Sau đúng một tháng kể từ ngày vay bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi lần hoàn 5. Vay vốn và trả góp nợ đúng số tiền X đồng. Số tiền khách hàng còn nợ sau n tháng là: n (tương tự bài toán 4) 1  r  1  n T  A 1  r   X r 3. Hàm số lũy thừa, mũ và logarit: HÀM LŨY THỪA  Dạng: y  x y  u thức đại số. 16 với u là đa HÀM SỐ MŨ  Dạng: y  ax ya u a  0 . với  a  1  Tập xác định: D  .  Đạo hàm: HÀM SỐ LOGARIT y  log a x a  0 .  Dạng: với  y  log a u a  1  Đặc biệt: a  e   y  ln x ; a  10   y  log x  lg x .  Điều kiện xác định: u  0 . Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected]  Tập xác định: u ÑK Nếu u ÑK Nếu 0 y  au   y  a u ln a. u . Đặc biệt: 0. e ÑK Nếu  Đạo hàm: y  a x   y  a x ln a u 0. (e x )  e x (eu )  eu . u . 1 x ln a . u y  log a u   y  u ln a y  log a x   y  với 2,71828… Đặc biệt:  Sự biến thiên: y  a . x Nếu a  1 thì hàm đồng biến  Đạo hàm: . Nếu 0  a  1 thì hàm y  x   y   x 1 trên y  u   y   u 1. u nghịch biến trên . 1 x . u (ln u )  u (ln x)   Sự biến thiên: y  loga x . Nếu a  1 : hàm đồng biến trên (0; ) . Nếu 0  a  1 : hàm nghịch biến trên (0; ). 4. Đồ thị hàm số mũ và logarit: ĐỒ THỊ HÀM SỐ MŨ ĐỒ THỊ HÀM SỐ LOGARIT  Ta thấy: a x  0  a  1; b x  0  b  1.  Ta thấy: log a x  0  a  1; logb x  0  b  1 .  Ta thấy: c x  c  1; d x  d  1.  So sánh a với b: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ trái sang phải, trúng a x trước nên a  b .  So sánh c với d: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ trái sang phải, trúng c x trước nên c  d.  Vậy 0  b  a  1  d  c.  Ta thấy: logc x  c  1; log d x  d  1.  So sánh a với b: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng logb x trước: b  a.  So sánh c với d: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng log d x trước: d  c.  Vậy 0  a  b  1  c  d . 5. Phương trình mũ và logarit: Phương trình mũ 1. Dạng cơ bản: a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x) 2. Dạng logarit hóa: a f ( x )  b  f ( x)  log a b a f ( x )  b g ( x )  f ( x)  g ( x).log a b 17 (a, b  0, a  1) Phương trình Logarit 1. Dạng cơ bản: loga f ( x)  logag( x)  f ( x)  g ( x)  0 2. Dạng mũ hóa: log a f ( x)  b  f ( x)  ab (không cần điều kiện) Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected] 3. Dạng đặt ẩn phụ:  Đặt t  a f ( x )  0  Đưa phương trình đã cho về bậc n theo t   giải tìm t .  Với t có được, thay vào t  a f ( x ) để tìm x . a) Phương trình m.a2 f ( x )  n.a f ( x )  p  0 • Đặt t  a f ( x )  0 . • PT: mt 2  nt  p  0 . 3. Dạng đặt ẩn phụ:  Đặt t  loga f ( x)  Đưa pt đã cho về bậc n theo t   giải tìm t .  Có t , thay vào t  loga f ( x) để tìm x . a) Phương trình m log a 2 f ( x)  n log a f ( x)  p  0 • Đặt t  loga f ( x)  n.b  p.c  0 2 f ( x) • Nhận dạng: ma  n(a.b) f ( x)  p.b2 f ( x)  0 • Chia hai vế PT cho b2 f ( x )  0 , ta được b) Phương trình m.a a m  b 2 f ( x) g ( x) a  n  b g ( x) f ( x)  p0 g ( x) • PT: mt 2  nt  p  0 b) Phương trình m.log a f ( x)  n.log f ( x ) a  p  0 • ĐK: f ( x)  0, f ( x)  1 1 • Đặt t  log a f ( x)   log f ( x ) a t n • PT: mt   p  0  mt 2  pt  n  0 t log a f ( x) c) Phương trình đơn giản chứa log b g ( x) . (Xem a)) Chú ý: Ta có thể chia PT cho bất kỳ hàm mũ nào trong ba hàm a g ( x ) ; b g ( x ) ; c g ( x )  , kết quả không thay đổi. c) Phương trình m.(a  b ) f ( x )  n(a  b ) f ( x )  p • Nhận dạng: (a  b )(a  b )  a 2  b  1 • Đặt t  log a f ( x)  f ( x)  at 1 • Thay trở lại phương trình, ta có một phương • Đặt t  (a  b ) f ( x ) , t  0   (a  b ) f ( x ) t trình mới đơn giản hơn (chứa ít logarit hơn). n 2 • PT: mt   p  mt  pt  n  0 t 6. Bất phương trình mũ và logarit: Bất Phương trình mũ Bất Phương trình Logarit  Dạng cơ bản: a 1 f ( x) g ( x) a 1 a  a  f ( x)  g ( x)  log a f ( x)  log a g ( x)  f ( x)  g ( x)  0  Dạng cơ bản: 0 a 1 0 a 1  a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x)  log a f ( x)  log a g ( x)  0  f ( x)  g ( x) Lưu ý: Cách nhận dạng bất phương trình mũ-logarit cũng giống với cách nhận dạng phương trình mũlogarit. Học sinh tham khảo kỹ mục 5 để có phương pháp giải bất phương trình một cách hiệu quả. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN X. 1. Công thức nguyên hàm:    k . f ( x)dx  k  f ( x)dx 1)  kdx  kx  C 2)  x dx     f ( x)  g ( x)dx    x 1 C  1   1 1 (ax  b) MR    (ax  b) dx  . a  1 18 f ( x)dx  F ( x)  C  F ( x)  f ( x) C  f ( x)dx   g ( x)dx  2dx  2 x  C  x4 x dx  C 4  3 (1  2 x)10 dx      f ( x)dx  f ( x)  C (3)dx  3x  C 3   xdx   1 2 x2 2 3 x dx  C  x C 3/ 2 3 1 (1  2 x)11 (1  2 x)11 . C  C 2 11 22 Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected] 3)  1 1 1 MR dx  ln x  C  dx  ln ax  b  C  x ax  b a 4)  1 1 1 1 1 MR dx    C   dx  . C 2 2 x x (ax  b) a ax  b x3 1  2 1 1  x    10 dx   ln x   10 x  C   x x2  3 x 1 ax b MR x x ax b C 5)  e dx  e  C   e dx  e a   6) ax C ln a 1 abx c abx c dx  . C b ln a a x dx  MR     e 7)  x 1   cos xdx  sin x  C   3sin x  2cos x  dx  3cos x  2sin x  C 1   1  tan  ax  b   dx  tan  ax  b   C a 2 1 2  sin 2 x dx   1  cot x  dx   cot x  C 1 1 MR   dx   cot  ax  b   C 2 sin  ax  b  a 10) 1 MR 2   1  cot  ax  b  dx   a cot  ax  b   C    1 dx   1  tan 2 x  dx  tan x  C 9)  cos 2 x 1 1 MR   dx  tan  ax  b   C 2 cos  ax  b  a   5x C ln 5 1  2  e x dx    e2 x 1  2e x  dx  e2 x 1  2e x  C 2 MR  x5  1 1 x5  dx    x 4   dx   ln x  C x x 5  1 e x dx  e x  C  e x  C 1 1 32 x 5 32 x 5 32 x 5 dx  . C  C 2 ln 3 2ln 3              9x C ln 9  1    sin  4 x   dx   cos  4 x    C 2 4 2     2 1       cos   x  dx  sin   x   C   sin   x   C 1  3 3   3  a 1; b    32 x dx   9 x dx  1 1 6x 2 x.3x 1 dx   2 x.3x. dx   6 x dx  C 3 3 3ln 6 a  4; b   1 MR   cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C   1 1 1 1 dx  . C   C 2 (2 x  3) 2 2x  3 4x  6  sin xdx   cos x  C    1 1 dx  ln 1  3x  C 1  3x 3 5x dx  1 MR  sin( ax  b ) dx   cos(ax  b)  C  a 8)    3 1 1 1 1  cos 2 x  dx   x  sin 2 x   C 2 2 2  sin 2 xdx   1  2cos 2 x  1  dx     2  dx  tan x  2 x  C 2 2 cos x  cos x  1 1 dx  tan 3x  C 2 cos 3x 3   1  tan 2   2 x   dx  1 tan   2 x   C   2 a   2; b     x sin 2 x  1 1  x2  dx  x  dx   cot x  C   sin 2 x  sin 2 x 2 1 1 dx   cot 8 x  C 2 sin 8 x 8 1 1  cot 2 3x dx   cot 3x  C 3        1 sin 2 x  cos 2 x 1   1 dx  dx     2  dx  tan x  cot x  C 2 2 2 2 2  sin x cos x sin x cos x  cos x sin x  19 Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected] 2. Tích phân: b  f  x  dx  F  x  a  F b   F  a  b a) Định nghĩa: a với F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên  a; b  . b) Tính chất:  f  x  dx  0  f  x  dx   f  x  dx a a  b a kf  x  dx  k  f  x  dx (k là hằng số)  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx c a a b Nếu f  x   0, x   a; b  thì b a a b a b  b c b a  f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx a a b b  f  x  dx   f t  dt   f u  du b b b a a a  f  x  dx  0. b a Nếu f  x   g  x  , x   a; b  thì  f  x  dx   g  x  dx. b b a a  Đặc biệt:  Nếu hàm y  f  x  là hàm số lẻ trên   a; a  thì  Nếu hàm y  f  x  là hàm số chẵn trên   a; a  thì  f  x  dx  0. a a  f  x  dx  2 f  x  dx . a a a 0 3. Phương pháp tính tích phân: a) Phương pháp tích phân từng phần: b b b a a a Quy tắc chung: I   u.dv  uv   vdu . Ta xét các dạng phổ biến sau:  Dạng  P  x  .Q  x  .dx với b a P  x  là đa thức đại số, Q  x  Minh họa:   mũ. u  P  x    dv  Q  x  dx du  P  x  dx   . v  Q x dx     du 2dx v sin xdx cos x . choïn C 0 b b b a a a Ta có: I   u.dv  uv   vdu PP quả có dạng R  x   C , ta chủ 0 u  2 x  1 Đặt  dv  sin xdx là hàm lượng giác hoặc hàm Lưu ý: v   Q  x  dx nên kết I   2  2 x  1 sin xdx .    2 x  1 cos x  2    2 2 cos xdx  …… 0 0  J   1  x  e2 x dx . 1 0 Đặt u dv 1 x e2 x dx du dx v e2 x dx 1 2x . e 2 choïn C 0 20 Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected] động chọn 1 giá trị C có lợi cho J tính toán sau này.  Dạng  P  x  .Q  x  .dx với b 11 1 1 1  x  e2 x  0 e2 x dx  …… 0 2 2 Minh họa: a  P  x  là đa thức đại số hoặc phân thức, Q  x  là hàm logarit.  u  Q  x  PP    dv  P  x  dx du  Q  x  dx   . v   P  x  dx  I   x 2 ln xdx . e 1 1  du  dx  u  ln x  x  Đặt  . 2 3 dv  x dx v  x 2 dx  x   3 3 3 3 e x e x 1 e 1 e I  ln x   . dx    x 2 dx  …… 1 3 x 1 3 3 3 1 e ln x . J  2 1 x  1   u Đặt dv du ln x 1 (x 1) 2 dx v 1 dx x 1 x 1 1 x x . 1 choïn C 1 J e x e e x 1 e ln x   . dx   ln x  1  … 1 x 1 x 1 1 x 1 e 1 b) Phương pháp tích phân đổi biến:  Đổi biến loại 1: Xét tích phân dạng I   f u  x   .u  x  dx . a b PP   Đặt t  u  x   dt  u   x  dx . Đổi cận: x  a  t1  u  a  , x  b  t2  u  b  . Khi đó tích phân cần tính là: I   f  t  dt . Ta xét các dạng phổ biến sau: t2 t1 1) Dạng I   f ( x n ) x n1dx . b a PP  t   xn   (hoặc t  xn ) I     2) Dạng I   f b a  u  . u.dx . n PP  t  n u  t n  u . 21 1 0 1 Đặt t  x3  1  dt  3 x 2 dx  x 2 dx  dt . 3 Đổi cận: x  0  t  1, x  1  t  2 . 21 1 Ta có: I   . dt  …… 1 t 3 I  0  1 x 2 dx x 1 3 7 3 x 2  1. xdx Đặt t  3 x 2  1  t 3  x 2  1  3t 2 dt  2 xdx 3  xdx  t 2 dt . Đổi cận: 2 x  0  t  1, x  7  t  2 . Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected] 2 3 3 2 I   t. t 2 dt   t 3dt  …… 1 2 2 1 4 1 1 I   1  . 2 dx 1 x x 1 1 1  Đặt t  1   t 2  1   2tdt  2 dx . x x x  b 1 1 3) Dạng I   f   . 2 .dx . a  x x 1 PP   t   .   hay x 1 1 t  ; t  n    v.v… x x 4) Dạng I   f b a   x . 1 .dx . x PP   t   x   hay t  x …  b a    I   b a 1 .dx . x PP  t   ln x   hay t  ln x . I   7) Dạng I   f (sin x ). cos xdx b a PP  t   sin x   hay t  sin x . b a t   cos x   hay t  cos x PP  x 1 2 1 dx x . 1 2 x dx  2dt  1 dx . x 1 .2dt  …… . 2 t2 2x x 1 e 1 e  x I   x e x dx . dx  0 e 1 0 e 1 x  e 1 t  1 dt  e dx dt . Đặt t  e x  1   x . Khi đó: I   2 t e  t  1   e 1  1 I   1   dt  …… 2  t 2 e 2 ln x  1 e2 1   I    2 ln x  1 . dx . dx  1 1 x x 1 Đặt t  ln x  dt  dx . x Ta có: I   3 Khi đó I    2t  1 dt   t 2  t   ……  0   1 Đặt t  x  1  dt  I 2  8) Dạng I   f (cos x ). sin xdx . 4 1 PP  t   ex   hay t  e x . 6) Dạng I   f  ln x  . 0 I   5) Dạng I   f e x . e x .dx . 3 Ta có: I  2 2 t 2 .dt  …… 2 2 0 0 cos x dx 1  2sin x 1 Đặt t  1  2sin x  dt  2cos xdx  dt  cos xdx . 2 1 dt 3 3 1 Khi đó I   2  ln t  …… . 1 1 t 2  I   2  cos 2 x  cos x  1 sin xdx 0    I   2  2cos2 x  cos x  sin xdx . 0 22  Đặt t  cos x  dt   sin xdx  dt  sin xdx .  Khi đó: I   2t 2  t (dt )   2t 2  t dt  …… 0 1   1 0   Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected] 9) Dạng I   f (tan x ) b a  1 dx . cos 2 x I  3 0 PP  t   tan x   hay t  tan x . 10) Dạng I   f (cot x ) b a 1 dx . sin 2 x Đặt t  tan x  dt   Khi đó: I   t 3 dt  …… a 3 0  cot x  1 cot 2 x  1 1 3   I  dx 2 4 cot x . sin 2 x dx . 4 cot x.sin x 1 1 Đặt t  cot x  dt   2 dx  dt  dx . sin x sin 2 x 1 2 t 1 I  3  dt   …… 1 t 2 I  3   b 1 dx . cos 2 x   PP  t   cot x   hay t  cot x . 11) Dạng I   tan 3 x dx cos 2 x   sin 2 x    f  cos 2 x  sin 2 x .dx .  cos 2 x    I   4  sin 2 x  3 sin 2 xdx 0   t  sin 2 x dt  sin 2 x.dx PP 2  t  cos x  dt   sin 2 x.dx t  cos 2 x dt  2sin 2 x.dx Đặt t  sin 2 x  dt  2sin x(sin x)dx  sin 2xdx . 1 2 0 Ta có: I    t  3 dt  ……  Đổi biến loại 2: Xét tích phân dạng I   f  x  dx trong đó f  x  phức tạp và không thể tính nguyên hàm b a trực tiếp. Đổi biến loại 2 là ta đặt: x  u  t   dx  u   t  dt . Ta xét 4 dạng phổ biến sau: 1) Dạng I   x2 x1 f ( a 2  x 2 )dx . I  0 PP   x  a sin t (hay x  a cos t ). 1 2 4  x2 dx  Đặt x  2sin t  dx  2cos tdt . Đổi cận: x  0  t  0, x  2  t   2 . Ta có: 4  x 2  4  4sin 2 t  4cos2 t  2cos t 0   do t  0;  .  2   Ta có: I   2 0 2) Dạng I   x2 x1 f ( a 2  x 2 )dx  1  f 2 dx . 2  a x  PP   x  a tan t . hay 23  x2 x1  2cos tdt    2 dt  . 0 2cos t 2 1 dx 0 x 9  Đặt x  3tan t  dx  3(1  tan 2 t )dt . I  3 2  Đổi cận: x  0  t  0, x  3  t   . 4  Khi đó: x2  9  9 tan 2 t  9  9(tan 2 t  1) . Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected]  Vậy I  3) Dạng I   PP  x  x2 x1 f ( x 2  a 2 )dx a a hay x  cos t sin t   4 0 3(1  tan 2 t )dt 1 4    dt  . 2 9(tan t  1) 3 0 12 x2  4 I  dx 2 x 2 2sin t  dx  dt .  Đặt x  cos t cos 2 t 4  Đổi cận: x  2  t  0, x  4  t   3 0  Khi đó: I    2  a x  f   dx x1  a x  PP   x  a cos 2t . x2 3 . 4 4  2sin t cos 2 t . 2 dt  2 3 tan 2 t.dt 0 2 cos t cos t   3 0 4) Dạng I    2  1   1 .dt  2  tan t  t  3  2 3  .  2 3  cos t  0 2 x dx 2 x  Đặt x  2cos 2t  dx  4sin 2t.dt  8sin t.cos t.dt   Đổi cận: x  0  t  , x  2  t  0. 4 2 x 2  2cos 2t 1  cos 2t sin t Ta có:    . 2 x 2  2cos 2t 1  cos 2t cos t   sin t sin t.cos tdt  8 4 sin 2 tdt  ……  I  8 4 0 cos t 0 I  2 0 4. Ứng dụng tích phân để tính diện tích – thể tích:  Hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x) , trục  Hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x) , y  g ( x) , x  a, x  b thì có diện tích: Ox , x  a, x  b thì có diện tích: S   f ( x) dx b a S   f ( x)  g ( x) dx  y  f ( x)  Khi xoay hình phẳng  quanh Ox , ta  x  a, x  b được khối trụ tròn có thể tích  y  f ( x)   Khi xoay hình phẳng  y  g ( x) quanh Ox , được  x  a, x  b  V    f 2 ( x)dx b a 24 b a khối trụ tròn có thể tích V    b a f 2 ( x)  g 2 ( x) dx . Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected]  Xét hình khối được giới hạn bởi hai mặt phẳng x  a, x  b . Khi cắt khối này ta được thiết diện có diện tích S ( x) (là hàm liên tục trên [a;b]). Thể tích khối này trên  a; b  là: V  a S ( x)dx . b 5. Công thức chuyển động: Xét hàm quảng đường S (t ), hàm vận tốc v(t ) và hàm gia tốc a (t ) . Ba hàm này sẽ biến thiên theo t .  S (t )   v(t )dt  v(t )  S (t )  v(t )   a(t )dt  a(t )  v(t ) [ XI. SỐ PHỨC VÀ CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN a, b  Số phức có dạng: z  a  bi với  2 (i: là đơn vị ảo). Ký hiệu tập số phức: i   1  Thành phần Hình học Minh họa  Phần thực: a. Nếu a  0 thì z  bi được gọi là số thuần ảo.  Phần ảo: b. Nếu b  0 thì z  a là số thực.  Khi a  b  0 thì z  0 vừa là số thuần ảo vừa là số thực. Số phức liên hợp – Hai số phức bằng nhau Cho z  a  bi và z  a  bi Khi đó:  Số phức liên hợp của z là z  a  bi .  a  a  z  z   . b  b a  0  z0 . b  0 .  Điểm M (a; b) biểu diễn cho z trên hệ trục Oxy.  Mô-đun: z  OM  a 2  b2 . Căn bậc hai Phương trình bậc hai  Căn bậc hai của a  0 là  a .  Căn bậc hai của a  0 là i a .  Căn bậc hai của số phức z  a  bi là hai số phức dạng  x2  y 2  a w  x  yi với  . 2 xy  b  Phương trình z 2  a  0 có hai nghiệm phức z   a .  Phương trình z 2  a  0 có hai nghiệm phức z  i a .  Phương trình az 2  bz  c  0 (a  0) với   0 sẽ có hai nghiệm phức là: b  i  z1,2  . 2a Cho hai số phức z1 , z2 , có: Công thức bổ trợ ▪ z1 z2  z1 . z2 . ▪ z z1  1 với z2  0. z2 z2 ▪ z1  z2  MN với M, N theo thứ tự là hai điểm biểu diễn cho z1 , z2 . Dấu hiệu cơ bản nhận biết tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z  ax  by  c  0  Tập hợp điểm M một là đường thẳng. KL  x  a 2   y  b 2  R 2 2 2 KL    Tập hợp điểm M là đường tròn có tâm I  a; b  , bán kính R  a  b  c . 2 2  x  y  2ax  2by  c  0  x  a 2   y  b 2  R 2 2 2 KL    Tập hợp điểm M là hình tròn tâm I  a; b  , bán kính R  a  b  c . 2 2  x  y  2ax  2by  c  0 25 Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected]  y  ax 2  bx  c KL   Tập hợp điểm M là đường parabol. 2  x  ay  by  c x2 y 2 KL  2  2  1   Tập hợp điểm M là đường elip. a b Đặc biệt: Nhận biết ngay không cần biến đổi. KL  z   a  bi   m  0   Tập hợp điểm M là đường tròn có tâm I  a; b  , bán kính R  m . KL  z   a1  b1i   z   a2  b2i   MA  MB   Tập hợp điểm M là đường trung trực đoạn thẳng AB. A a1 ;b1 , B a2 ;b2  KL  z   a1  b1i   z   a2  b2i   2a  MF1  MF2  2a   Tập hợp điểm M là đường elip với hai tiêu điểm F1 , F2 . 0 0 F1  a1 ;b1 , F2  a2 ;b2  F1F2  2 a XII. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG A – MỘT SỐ HÌNH PHẲNG CƠ BẢN: 1. Tam giác vuông: Pitago A B C H ▪ sin B  AC (đối/huyền) BC ▪ cos B  2. Tam giác đều: ▪ AH 2  BH .CH ▪ 1 1 1    AH  2 2 AH AB AC 2 AB (kề/huyền) BC ▪ tan B  K ▪ AG  G H C a 3. Tam giác thường: ▪ Diện tích: SABC  26 ▪ AC 2  CH .BC ▪ Đường cao: AH a B ▪ AB2  BH .BC 2 SABC  1 AB. AC 2 1  AH .BC 2 AB. AC AB 2  AC 2 AC (đối/kề) AB ▪ cot B  AB (kề/đối) AC Giả sử tam giác ABC đều có cạnh a; trọng tâm G; các đường cao (trùng với trung tuyến) gồm AH , BK . A a ▪ AB  AC  BC 2 2 BK (caïnh) 2 3 a 3 . 2 2 2 a 3 a 3 1 1 a 3 a 3 AH  .  ; GH  AH  .  . 3 3 2 3 3 3 2 6 ▪ Diện tích: S ABC (caïnh)2 4 3 a2 3 . 4 Giả sử tam giác ABC có a  BC, b  AC, c  AB ; các đường cao ha , hb , hc lần lượt ứng với cạnh a, b, c. Ký hiệu R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp ∆. a b c    2R . ▪ Định lí Sin: sin A sin B sin C ▪ Định lí Cô-sin: a2  b2  c2  2bc.cos A ; b2  a2  c2  2ac.cos B; c2  a2  b2  2ab.cos C. 1 1 1 1 1 1 ha .a  hb .b  hc .c ; SABC  ab.sin C  ac.sin B  bc.sin A ; 2 2 2 2 2 2 Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected] SABC  abc  pr ; S 4R ABC p( p a)( p b)( p b) vôùi p a Coâng thöùc Heâ Roâng b 2 c (nửa chu vi). Cho hình vuông ABCD có cạnh a; hai điểm M , N lần lượt là trung điểm của CD, AD; I là tâm hình vuông. 4. Hình vuông: ▪ Đường chéo: AC BD AC BD (caïnh) 2 a 2 . a 2 nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông. 2 ▪ Diện tích: SABCD (caïnh)2 a2 ; chu vi: p  4a. ▪ Vì ABN  ADM , ta chứng minh được: AM  BN. I IA  IB  IC  ID  Cho hình chữ nhật ABCD tâm I có AB  a, AD  b. 5. Hình chữ nhật: 2 2 ▪ Đường chéo: AC  BD  a  b . 1 2 IA  IB  IC  ID  a  b 2 nên I là tâm đường tròn đi qua bốn điểm 2 A, B, C, D. ▪ Diện tích: S ABCD  a.b ; chu vi: p  2(a  b). Cho hình thoi ABCD có tâm I , cạnh bằng a. 6. Hình thoi: ▪ Đường chéo: AC  BD; AC  2 AI  2 AB.sin ABI  2a.sin ABI . 1 ▪ Diện tích: S ABCD  AC.BD ; S ABCD  2SABC  2SACD  2SABD . 2 Đặc biệt: Nếu hình thoi có góc B  D  600 ( A  C  1200 ) thì ta chia hình thoi ra làm hai tam giác đều: ABC  ACD; AC  a và S ABC  S ACD  a2 3 a2 3 ; S ABCD  2 S ABC  . 4 2 B – THỂ TÍCH KHỐI CHÓP: 7.1. Hình chóp tam giác đều 7. Hình chóp: S h ▪ Tất cả cạnh bên bằng nhau. ▪ Đáy là tam giác đều cạnh a. ▪ SH  ( ABC) với H là trọng tâm (cũng là trực tam) ∆ ABC. D ▪ A H Sñ SH Sđ a2 3 4 h Theå tích V 1 a2 3 h. 3 4 C B V 1 h.Sñ 3 7.2. Tứ diện đều: 27 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: Góc giữa mặt bên và mặt đáy:  SA,( ABC)  SAH  (SAB),( ABC)  SMH   ( SBC ), ( ABC )   SNH .   SC ,( ABC )   SCH Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected] ▪ Đây cũng là hình chóp tam giác đều, đặc biệt là cạnh bên bằng cạnh đáy. Thể tích: V ▪ Tất cả cạnh bên bằng nhau. ▪ Đáy là hình vuông cạnh a. ▪ SO  ( ABCD) với O là tâm hình vuông ABCD. 7.3. Hình chóp tứ giác đều: a3 2 . 12 ▪ Góc giữa cạnh bên và mặt     SB,( ABCD)  SBO . 7.4. Hình chóp có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. h SA Sñ S ABC h Theå tích V 1 SA.S 3 Theå tích V 1 h.a2 . 3  (SAB),( ABCD)  SMO   ( SBC ),( ABCD)   SNO . Đáy là tứ giác đặc biệt ABC ▪ h SA Sñ SABCD Theå tích V 1 SA.SABCD . 3 ▪ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:  SB, ( ABC )  SBA  .   SC , ( ABC )  SCA  Đáy là tam giác ▪ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:  SB, ( ABCD)  SBA  .   SC , ( ABCD)  SCA  Đáy là tứ giác đặc biệt ▪ Đường cao h  SH cũng là đường cao của ∆SAB. ▪ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:  SA, ( ABC )  SAH  .   SC , ( ABC )  SCH  ▪ Đường cao h  SH cũng là đường cao của ∆SAB. ▪ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:  SA, ( ABCD)  SAH  .   SC , ( ABCD)  SCH      28 SO Đáy là tam giác ▪ 7.5. Hình chóp có mặt bên (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. a2 Góc giữa mặt bên và mặt đáy: đáy: SA,( ABCD)  SAO  Sñ             Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected] C – TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Đặc biệt: M  A Đặc biệt M  A, N  B VS . ANP SN SP  . VS . ABC SB SC VS . ABP SP  VS . ABC SC Cho hình chóp có đáy là tam giác ABC. Các điểm M, N, P nằm trên cạnh SA, SB, SC. Ta có: VS .MNP SM SN SP .  . . VS . ABC SA SB SC Hình chóp có đáy là hình bình hành với SM SN  y,  x, SB SA SQ SP  z, t . SC SD Khi đó: VS .MNPQ VS . ABCD xyz  xyt  xzt  yzt 1 1 1 1  và    . 4 x z y t Hình chóp có đáy là đa giác bất kỳ. Chẳng hạn: (MNPQR) (ABCDE) SM SN  và tỉ số: x  SB SA  SP SQ SR   SC SD SE Khi đó: VS .MNPQR  x3 VS . ABCDE D – THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: 1. Hình lăng trụ thường:  Hai đáy là hai hình giống nhau và nằm trong hai mặt phẳng song song.  Các cạnh bên song song và bằng nhau. Các mặt bên là các hình bình hành.  Thể tích: V h.Sñ . 2. Hình lăng trụ đứng:  Các cạnh bên cùng vuông góc với hai mặt đáy nên mỗi cạnh bên cũng là đường cao của lăng trụ.  Lăng trụ tam giác đều: Là lăng trụ đứng và có hai đáy là hai tam giác đều bằng nhau. Đáy là tam giác Đáy là tứ giác V  AH .S ABC  AH .S ABC  V  AH .S ABCD  AH .S ABC D Đáy là tam giác Đáy là tứ giác  Thể tích: V h.Sñ với h  AA  BB  CC . 29  Thể tích: V h.Sñ với h  AA  BB  CC  DD . Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected] 3. Hình hộp: 3.1 Hình hộp chữ nhật:  Là lăng trụ có tất cả các mặt là hình bình hành.  Thể tích: V h.Sñ .  Là lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật. V  abc với a, b, c là ba kích thước của hình hộp chữ nhật. 3.2. Hình lập phương:  Là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau. V  a 3 với a là cạnh của hình lập phương. 4. Tỉ số thể tích đối với lăng trụ: Lăng trụ có đáy tam giác AM BN CP x , y , z AA BB CC  Ta có: VABC .MNP x  y  z  VABC . ABC  3 Lăng trụ đáy là hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông (Lăng trụ này chính là hình hộp thường hoặc hình hộp chữ nhật, hình lập phương) AM BN CP DQ x , y , z ,t AA BB CC  DD Ta có: VABCD.MNPQ VABCD. ABC D  x y z t và x  z  y  t 4 E – BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH 2. Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy là hình vuông, hình chữ nhật 1. Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy là tam giác  d  A,  SBC    AH  30 SA. AK SA2  AK 2 .  d  A,  SBC    AH   d  A,  SCD    AK  SA. AB SA2  AB 2 SA. AD SA2  AD 2  d  D,  SBC   .  d  B,  SCD   . Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected]  d  B,  SAC    BM ; d  C ,  SAB    CN .  d  SA, BC   AK .     d  A,  SBD    AF   d  C ,  SBD   . SA2  AE 2 d  AD, SB   AH ; d  AB, SD   AK . d  AD, SC   d  AD,  SBC    d  A,  SBC    AH . d  AB, SC   d  AB,  SCD    d  A,  SCD    AK . 3. Hình chóp tam giác đều 4. Hình chóp tứ giác đều  d  O,  SBC    OH   d  O,  SCD    OH  SO.OK d  A,  SBC    3d  O,  SBC    3OH  d  B,  SAC    d  C ,  SAB   .  SO 2  OK 2 d  A,  SCD    2d  O,  SCD    2OH  d  A,  SBC    d  B,  SAD    d  B,  SCD    … d  AB, SC   d  AB,  SCD    d  A,  SCD    2OH d  SA, BC   IK  d  SB, AC   d  SC , AB  .  SO.OK  d  O,  SAB    d  O,  SBC    d  O,  SAD   . SO 2  OK 2  d  O,  SAB    d  O,  SAC   .   SA. AE  d  AB, SD   d  AD, SB   d  AD, SC   … F – MẶT TRỤ, MẶT NÓN – MẶT CẦU MẶT NÓN Các yếu tố mặt nón:  Đường cao: h  SO . ( SO cũng được gọi là trục của hình nón).  Bán kính đáy: S l h l A r  OA  OB  OM . l  Đường sinh: l  SA  SB  SM . r O B M Hình thành: Quay  vuông SOM quanh trục SO , ta được mặt nón như hình bên với: h  SO .  r  OM 31  Góc ở đỉnh: ASB .  Thiết diện qua trục: SAB cân tại S.  Góc giữa đường sinh và mặt Một số công thức:  Chu vi đáy: p  2 r .  Diện tích đáy: Sđ   r 2 . 1 1  Thể tích: V  h.Sđ  h. r 2 . 3 3 (liên tưởng đến thể tích khối chóp).  Diện tích xung quanh: S xq   rl .  Diện tích toàn phần: Stp  S xq  Sđ   rl   r 2 . đáy: SAO  SBO  SMO . Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected] MẶT TRỤ Các yếu tố mặt trụ:  Đường cao: h  OO .  Đường sinh: l  AD  BC . Ta r  OA  OB  OC  OD . MẶT CẦU  Chu vi đáy: p  2 r .  Diện tích đáy: Sđ   r 2 . có: l  h .  Bán kính đáy: Hình thành: Quay hình chữ nhật ABCD quanh đường trung bình OO , ta có mặt trụ như hình bên. Một số công thức:  Trục (∆) là đường thẳng đi qua hai điểm O, O.  Thiết diện qua trục: Là hình chữ nhật ABCD. Một số công thức:  Thể tích khối trụ: V  h.Sđ  h. r 2 .  Diện tích xung quanh: S xq  2 r.h .  Diện tích toàn phần: Stp Sxq 2Sđ 2 r.h 2 r2 . Mặt cầu ngoại tiếp đa diện Mặt cầu nội tiếp đa diện  Tâm I , bán kính R  IA  IB  IM .  Đường kính AB  2R .  Thiết diện qua tâm mặt cầu: Là đường tròn tâm I , bán kính R . 2 Mặt cầu ngoại tiếp Mặt cầu nội tiếp Hình thành: Quay đường tròn  Diện tích mặt cầu: S  4 R . đa diện là mặt cầu đa diện là mặt cầu 3 AB 4  R đi qua tất cả đỉnh tiếp xúc với tất cả tâm I , bán kính R  quanh  Thể tích khối cầu: V  . 2 của đa diện đó. các mặt của đa 3 trục AB , ta có mặt cầu như hình diện đó. vẽ. CÁCH TÌM BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP THƯỜNG GẶP 1. Hình chóp có các đỉnh nhìn một cạnh dưới một 2. Hình chóp đều. góc vuông.  Xét hình chóp có SA  ( ABC) và ABC  900 .  Ta có SAC  SBC  900 nên mặt cầu ngoại tiếp 32  Xét hình chóp có SA  ( ABCD) và ABCD là hình chữ nhật hoặc hình vuông.  Ta có: SAC  SBC  SDC  900  Xét hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng b và đường cao SH  h .  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên là  Xét hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng b và chiều cao SO  h .  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên là R  Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected] b2 . 2h hình chóp có tâm I là trung điểm SC , bán SC . kính R  2 Suy ra mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm I là trung điểm SC , bán kính SC R . 2 3. Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy.  Khi đó mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có bán kính R h 2 b2 R . 2h 4. Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy. 2 rñ 2 .  Nếu đáy là tam giác đều a 3 . 3  Nếu đáy là hình vuông cạnh a thì rñ a 2  Xét hình chóp có SA cạnh a thì rñ . (đáy) và SA h ; bán 2 kính đường tròn ngoại tiếp  Nếu đáy là hình chữ nhật cạnh a, b thì của đáy là rñ . rñ a2 b2 2  Xét hình chóp có mặt bên (SAB) (đáy), bán kính ngoại tiếp SAB là rb , d AB (SAB) (đáy). (đoạn giao tuyến)  Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là đáy là rñ , bán kính ngoại tiếp . R rñ 2 rb2 d2 . 4 XIII. HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN 1. Hệ trục tọa độ Oxyz:  Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc nhau.  Trục Ox : trục hoành, có vectơ đơn vị i  (1;0;0) .  Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vị j  (0;1;0) .  Trục Oz : trục cao, có vectơ đơn vị k  (0;0;1).  Điểm O(0;0;0) là gốc tọa độ. 2. Tọa độ vectơ: Vectơ u  xi  y j  zk  u  ( x; y; z ) . Cho a  (a1 ; a2 ; a3 ), b  (b1 ; b2 ; b3 ) . Ta có:  a  b  (a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3 )  a cùng phương b  a  kb (k  R) a1  kb1 a a a   a2  kb2  1  2  3 , (b1 , b2 , b3  0). b1 b2 b3 a  kb 3 3   ka  (ka1; ka2 ; ka3 ) a1  b1   a  b  a2  b2 a  b  3 3  a.b  a1.b1  a2 .b2  a3 .b3 33  a  a12  a22  a22 2 2 2 2 2  a  a  a1  a2  a3 Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected]  cos(a, b )   a  b  a.b  0  a1b1  a2b2  a3b3  0 a.b  a .b a1b1  a2b2  a3b3 a12  a22  a32 . b12  b22  b32 3. Tọa độ điểm: M ( x; y; z)  OM  ( x; y; z) . Cho A( xA ; yA ; z A ) , B( xB ; yB ; zB ) , C( xC ; yC ; zC ) , ta có:  AB  ( xB  x A ; yB  y A ; z B  z A )  AB   Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:  x  x y  yB z A  z B  M A B; A ; .  2 2 2   Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: Chiếu điểm trên trục tọa độ ( xB  xA )2  ( yB  yA )2  ( zB  z A )2  x  x  x y  yB  yC z A  z B  zC G A B C ; A ; 3 3 3   .  QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT Chiếu điểm trên mặt phẳng tọa độ  Điểm M ( xM ; yM ; zM ) Chieáu vaøo Ox ( Giöõ nguyeân x) M1 ( xM ;0;0)  Điểm M ( xM ; yM ; zM ) Chieáu vaøo Oxy ( Giöõ nguyeân x, y) M1 ( xM ; yM ;0)  Điểm M ( xM ; yM ; zM ) Chieáu vaøo Oy ( Giöõ nguyeân y) M2 (0; yM ;0)  Điểm M ( xM ; yM ; zM ) Chieáu vaøo Oyz ( Giöõ nguyeân y, z) M2 (0; yM ; zM )  Điểm M ( xM ; yM ; zM ) Chieáu vaøo Oz ( Giöõ nguyeân z) M3 (0;0; zM )  Điểm M ( xM ; yM ; zM ) Chieáu vaøo Oxz ( Giöõ nguyeân x, z) M3 ( xM ;0; zM ) Đối xứng điểm qua trục tọa độ Đối xứng điểm qua mặt phẳng tọa độ  M ( xM ; yM ; zM ) Ñoái xöùng qua Ox ( Giöõ nguyeân x; ñoåi daáu y, z) M1 ( xM ; yM ; zM )  M ( xM ; yM ; zM ) Ñoái xöùng qua Oxy ( Giöõ nguyeân x, y; ñoåi daáu z) M1 ( xM ; yM ; zM )  M ( xM ; yM ; zM ) Ñoái xöùng qua Oy ( Giöõ nguyeân y; ñoåi daáu x, z) M2 ( xM ; yM ; zM )  M ( xM ; yM ; zM ) Ñoái xöùng qua Oxz ( Giöõ nguyeân x, z; ñoåi daáu y) M2 ( xM ; yM ; zM )  M ( xM ; yM ; zM ) Ñoái xöùng qua Oz ( Giöõ nguyeân z; ñoåi daáu x, y) M3 ( xM ; yM ; zM )  M ( xM ; yM ; zM ) Ñoái xöùng qua Oyz ( Giöõ nguyeân y, z; ñoåi daáu x) M3 ( xM ; yM ; zM ) 4. Tích có hướng của hai vectơ:  Định nghĩa: Cho a  (a1 , a2 , a3 ) , b  (b1 , b2 , b3 ) , tích có hướng của a và b là: a  a , b    2  b2 a3 a3 ; b3 b3 [a, b]  a . b .sin  a , b  [a, b]  b [a, b]  a  Tính chất: a1 a1 a2  ;    a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  . b1 b1 b2   Điều kiện cùng phương của hai vectơ a & b là  Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ a, b và c là  a, b   0 với 0  (0;0;0).   [a, b].c  0.  Diện tích hình bình hành ABCD: S ABCD   AB, AD  .  Thể tích khối hộp: VABCD. A ‘ B ‘C ‘ D ‘  [ AB, AD]. AA ‘ .  Diện tích tam giác ABC: SABC   Thể tích tứ diện: VABCD  1  AB, AC  . 2 1  AB, AC  . AD .  6 5. Phương trình mặt cầu: Dạng 1: (S ) : ( x  a)  ( y  b)  ( z  c)  R 2 Maët caàu ( S) coù 2 2 2 Dạng 2: (S ) : x  y  z  2ax  2by  2cz  d  0 taâm I (a;b; c) R 2 Maët caàu ( S) coù 2 taâm I (a;b; c) R R2 2 a2 b2 c2 d  Phương trình x  y  z  2ax  2by  2cz  d  0 là phương trình mặt cầu  a 2  b2  c 2  d  0 . 2 2 2 Bài toán 5.1. Viết phương trình mặt cầu tâm I và đi qua 34 Bài toán 5.2. Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB. Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected]  Bước 1: Tìm tâm I là trung điểm AB. Bán kính điểm M.  Bước 1: Tính bán kính R  IM .  Bước 2: Viết phương trình mặt cầu dạng 1. R AB  IA  IB . 2  Bước 2: Viết phương trình mặt cầu dạng 1. 6. Phương trình mặt phẳng: qua M ( x0 ; y0 ; z0 )  Mặt phẳng ( P) VTPT n  (a; b; c) thì phương trình ( P) : a( x  x0 )  b( y  y0 )  c( z  z0 )  0 (*)  Lưu ý: Vectơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng là  Ngược lại, một mặt phẳng bất kỳ đều có phương trình dạng vectơ khác 0 nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đó.  Đặc biệt: ax  by  cz  d  0 , mặt phẳng này có VTPT n  (a; b; c) vôùi a2 b2 c2 0. VTPT VTPT VTPT Mp(Oyz ) : x  0   n(Oyz )  (1;0;0), mp(Oxz ) : y  0   n(Oxz )  (0;1;0), mp(Oxy) : z  0   n(Oxy )  (0;0;1) Bài toán 6.1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và song song với mặt phẳng (Q) cho trước. Bài toán 6.2. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với với đường thẳng d cho trước.  Mặt phẳng (P) qua M, có VTPT là n( P )  n(Q ) nên  Mặt phẳng (P) qua M , có VTPT n( P )  ud nên phương trình phương trình được viết theo (*). Bài toán 6.3. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. được viết theo (*). Bài toán 6.4. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.  Bước 1: Tìm trung điểm I của đoạn AB và tính AB .  Bước 1: Tính tọa độ AB, AC và suy ra  AB, AC  .  Bước 2: Phương trình mp( P) qua I VTPT n  AB . qua A  Bước 2: Phương trình mp( P) Bài toán 6.5. Viết phương trình mặt phẳng qua M và chứa đường thẳng d với M  d .  Bước 1: Chọn điểm A  d và một VTCP ud . Tính  AM , ud  . 35 VTPT n   AB, AC  . Bài toán 6.6. Viết phương trình mặt phẳng cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a;0;0), B(0; b;0), C (0;0; c ) với a.b.c  0 .  Phương trình mặt phẳng được viết theo đoạn chắn ( P) : x y z    1. a b c Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected] qua M  Bước 2: Phương trình mp( P) VTPT n   AM , ud  Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ( P) : ax  by  cz  d1  0 . (Q) : ax  by  cz  d 2  0  M ( x0 ; y0 ; z0 ) . mp( P) : ax  by  cz  d  0  Cho   Khi đó: d  M , ( P)    Cho hai mặt phẳng  ax0  by0  cz0  d . a 2  b2  c 2 Góc giữa hai mặt phẳng  Cho hai mặt phẳng (P), (Q) có phương trình: ( P) : a1 x  b1 y  c1 z  d1  0 .  (Q) : a2 x  b2 y  c2 z  d 2  0  Góc giữa ( P) & (Q) được tính: cos  ( P), (Q)    nP .nQ  nP . nQ  a1a2  b1b2  c1c2 a12  b12  c12 . a22  b22  c22  Chú ý: 0  ( P), (Q)  90 . 0 0 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song  Khi đó: d  ( P), (Q)   d1  d 2 a 2  b2  c 2 với d1  d2 . Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (P), (Q) có phương trình: ( P) : a1 x  b1 y  c1 z  d1  0 . Ta có:  (Q) : a2 x  b2 y  c2 z  d 2  0 a b c d  ( P ) (Q)  1  1  1  1 . a2 b2 c2 d 2 a b c d  ( P)  (Q)  1  1  1  1 . a2 b2 c2 d 2  ( P) & (Q) cắt nhau  a1 : b1 : c1  a2 : b2 : c2 .  ( P)  (Q)  a1a2  b1b2  c1c2  0 .  Lưu ý: Các tỉ số trên có nghĩa khi mẫu khác 0. Ví trị tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu Cho mặt phẳng ( P) : ax  by  cz  d  0 và mặt cầu ( S ) có tâm I và bán kính R.  Trường hợp 1: d  I , ( P)   R  ( P) và ( S ) không có điểm chung.  Trường hợp 2: d  I , ( P)   R  ( P) và ( S ) có một  Trường hợp 3: d  I , ( P)   R  ( P) cắt ( S ) theo giao tuyến là một đường tròn. điểm chung. Khi đó ta nói ( P) tiếp xúc ( S ) hoặc ( P) là tiếp diện của (S ). Đường tròn giao tuyến có tâm H (là trung điểm AB), bán kính r  R 2  IH 2 với IH  d  I , ( P)  . Ta có: IM  ( P) với M là tiếp điểm. 7. Phương trình đường thẳng:  Đường thẳng d qua A( xA ; y A ; z A ) VTCP u  (u1; u2 ; u3 )  Vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng d là vectơ khác 36  x  xA  u1t   Phương trình tham số d :  y  y A  u2t với t là tham số. z  z  u t A 3  Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected] 0 , có giá trùng với d hoặc song song với d.  Phương trình chính tắc d : x  xA y  y A z  z A   u1 u2 u3 với u1.u2 .u3  0 . a  d  Lưu ý: Nếu có cặp vectơ khác 0 không cùng phương sao cho  b  d thì d có VTCP là: ud   a, b  .   7.1. Ví trị tương đối giữa hai đường thẳng: qua M Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 , d2 với d1 Bước I  u1 , u2 0 0 VTCP u2 Bước II Hai đường thẳng d1 , d2 song song hoặc trùng nhau.  u1 , u2 VTCP u1 qua N , d2 Hai đường thẳng d1 , d2 cắt nhau hoặc chéo nhau. Kết luận  u1 , MN   0 d1  u1 , MN   0 d1  .  d2 d2  u1 , u2 .MN 0 d1 cắt d2  u1 , u2 .MN 0 d1 & d2 chéo nhau 7.2. Ví trị tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng: x x0 u1 t Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d : y y0 u2 t và mặt phẳng (P) : ax z z0 u3t Bước I:  Thay phương trình tham số d vào phương trình ( P ) , ta được PT (*): a(x0 u1t) b( y0 u2t) c(z0 u3t) d 0 by cz d 0. Bước II:Giải PT (*), ta gặp 1 trong 3 trường hợp sau  PT (*) vô nghiệm d ( P)  PT (*) có 1 nghiệm t  t0 d cắt ( P ) tại một điểm  PT (*) có vô số nghiệm t. d Kết luận ( P) 7.3. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:  Bước 1: Chọn điểm A  d và một VTCP ud .  Cho điểm M và đường thẳng d (có phương trình tham số hoặc chính tắc).  Bước 2: d  M , d   ud , AM    . ud 7.4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng: Trường hợp 1: Hai đường thẳng song song Trường hợp 2: Hai đường thẳng chéo nhau d1 , d 2 . d1 , d 2 .  Bước 1: Chọn điểm M (đẹp) thuộc d1.  Bước 2: d  d1 , d 2   d  M , d 2  . (xem 7.3)  Bước 1: Ghi rõ d1 qua A … VTCP u1  …  Bước 2: Tính: d  d1 , d 2   37 , d2 qua B … VTCP u2  … u1 , u2  . AB   . u1 , u2    Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected] . 7.5. Góc giữa hai đường thẳng:     Ta có: cos d1 , d 2   Cho hai đường thẳng d1 , d2 lần lượt có VTCP là u1 , u2 . u1.u2 . u1 . u2 7.6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:  Cho đường thẳng d có VTCP u và măt phẳng ( P) có VTPT n . 8.2. Tìm điểm A đối xứng với A qua (P ) .  Gọi d là đường thẳng u.n . u.n qua A  ( P) Viết pt tham số của d với VTCP của d cũng là VTPT của (P).  Gọi H  d  ( P) . Thay pt tham số của d vào pt mp (P) ta tìm được tọa độ H.  xA  2 xH  x A   Ta có H là trung điểm AA   y A  2 yH  y A . z  2z  z H A  A  Gọi H (theo t ) (dựa vào pt tham số của d). Cách 1 8.3. Tìm hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d.  8. Hình chiếu và điểm đối xứng: Phương pháp Bài toán 8.1. Tìm hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (P ) .    Ta có: sin d , ( P)   AH  d  AH .ud  0   Tìm được t …….   Tọa độ H. qua A Viết pt mp( P) . ( P)  d  Gọi H  d  ( P) . Thay pt tham số của d vào  Gọi ( P) Cách 2 pt mp (P) ta tìm được tọa độ H. 8.4. Tìm điểm A đối xứng với A qua đường thẳng d. 8.5. Viết phương trình đường thẳng d  là hình chiếu của đường thẳng d trên mp ( P) .  xA  2 xH  x A   Ta có H là trung điểm AA   y A  2 yH  y A . z  2z  z H A  A Trường hợp 1: d song song mp (P). Trường hợp 2: d cắt mp (P) tại một điểm.  Lập phương trình mp(Q) biết (Q) chứa d và (Q)  ( P) : (Q) qua điểm A  d . (Q) có VTPT nQ  ud , nP  .  Lập phương trình d  là giao tuyến hai mp (P) và (Q): Chọn hai điểm M, N thuộc d  bằng cách thay Tìm x  0   y, z và thay Tìm y  0   x, z (đối với hệ hai pt (P), (Q)). Viết pt d qua M, N. [ 38 Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected] XIV. GẮN TỌA ĐỘ VÀO HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1. Gắn tọa độ đối với hình chóp 1.1.Hình chóp có cạnh bên (SA) vuông góc với mặt đáy: Đáy là tam giác đều Đáy là tam giác cân tại A Đáy là tam giác cân tại B  Gọi O là trung điểm BC. Chọn hệ trục như hình vẽ, AB  a  1 .  Tọa độ các điểm là:  3   1  O(0;0;0), A  0; ;0  , B   ;0;0  ,   2   2  3 1   C  ;0;0  , S  0; ; OH  . 2   2  SA  Đáy là tam giác vuông tại B  Chọn hệ trục như hình vẽ, a  1 .  Tọa độ các điểm: B  O  0;0;0  , A  0; AB;0  , C  BC , 0;0  ,   S  0; AB; BH  .  SA   Đáy là hình vuông, hình chữ nhật  Gọi O là trung điểm BC. Chọn hệ trục như hình vẽ, a  1 .  Tọa độ các điểm là: O(0;0;0), A  0; OA;0  , B  OB;0;0  ,   C  OC ;0;0  , S  0; OA; OH  .  SA   Đáy là tam giác vuông tại A  Chọn hệ trục như hình vẽ, a  1 .  Tọa độ các điểm: A  O  0;0;0  , B  0; OB;0  , C  AC;0;0  , S  0;0; SA  . Đáy là hình thoi  Gọi O là trung điểm AC. Chọn hệ trục như hình vẽ, a  1 .  Tọa độ các điểm: O  0;0;0  , A  OA;0;0  , B  0, OB;0  ,   C  OC ;0;0  , S  OA;0; OH  .  SA   Đáy là tam giác thường  Dựng đường cao BO của ABC. Chọn hệ trục như hình vẽ, a  1 .  Tọa độ các điểm: O  0;0;0  , A  OA;0;0  , B  0, OB;0  ,   C  OC ;0;0  , S  OA;0; OH  .  SA   Đáy là hình thang vuông  Chọn hệ trục như hình vẽ, a  1. 39 Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected]  Chọn hệ trục như hình vẽ, a  1.  Tọa độ A  O  0; 0; 0  , B  0; AB;0  , C  AD; AB;0  , D  AD;0;0  , S  0;0; SA  .  Tọa độ O  0;0;0  , A  OA;0;0  , B  0; OB;0  , C  OC ;0;0   Chọn hệ trục như hình vẽ, a  1.  Tọa độ A  O  0; 0; 0  , B  0; AB;0  , C  AH ; AB;0  ,   D  0; OD;0  , S  OA;0; OH  . D  AD;0;0  , S  0;0; SA  .  SA   1.2.Hình chóp có mặt bên (SAB) vuông góc với mặt đáy Đáy là tam giác, mặt bên là tam Đáy là tam giác cân tại C (hoặc Đáy là hình vuông-hình chữ nhật giác thường đều), mặt bên là tam giác cân tại S (hoặc đều)  Vẽ đường cao CO trong ABC . Chọn hệ trục như hình, a = 1.  Ta có: O  0;0;0  , A  0; OA;0  ,   B  0; OB;0  , C  OC ;0;0  , S  0; OH ; OK   SH    Gọi O là trung điểm BC, chọn hệ trục như hình, a = 1.  Ta có: O  0;0;0  , A  0; OA;0  ,  Dựng hệ trục như hình, chọn a = 1.  Ta có: A  O  0;0;0  , B  AB;0;0    C  AB; AD;0  , D  0; AD;0  , S  AH ;0; AK   SH   B  0; OB;0  , C  OC ;0;0  , S  0;0; SO  1.3.Hình chóp đều Hình chóp tam giác đều Hình chóp tứ giác đều Gọi O là trung điểm một cạnh đáy. Dựng hệ trục như Chọn hệ trục như hình với a = 1. Tọa độ điểm: O  0;0;0  , hình vẽ và a = 1. Tọa độ điểm:        AB 3   BC AB 2  AB 2   AB 2     O  0;0;0  , A  0; ;0;0  , ;0  , B   A ;0;0  , B  0; ;0;0  , ;0  , C    2 2 2     2  2      OB  OA      OA    BC  AB 2   C ;0;0  , D  0;  ;0   2  2   OB     AB 3   S  0;0; SO  . S  0; ; OK  . 6  SH   OH   2. Gắn tọa độ đối với hình lăng trụ 2.1. Lăng trụ đứng Hình lập phương, hình hộp chữ nhật Dựng hệ trục như hình vẽ với a = 1. Tọa độ điểm: 40 Lăng trụ đứng đáy là hình thoi Gọi O là tâm hình thoi đáy, ta dựng hệ trục như hình với Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected] A  O  0;0;0  , O  0;0;0  , B  0; AB;0  , A  OA;0;0  , C  AD; AB;0  , B  0; OB;0  , D  AD;0;0  , C  OC ;0;0  , A  0;0; AA  , D  0; OD;0  , B  0; AB; AA  , A  OA;0; AA  , C   AD; AB; AA  , D  AD;0; AA  . Lăng trụ tam giác đều Gọi O là trung điểm một cạnh đáy, chọn hệ trục như hình vẽ với a = 1. Ta có:  AB  O  0;0;0  , A  ;0;0  ,  2   AB  B   ;0;0  , C  0; OC ;0  ,  2  A  OA;0; AA  ,  AB  B   ;0; BB  , C   0; OC ; CC   .  2  B  0; OB; AA  , C   OC ;0; CC   , D  0; OD; DD  Lăng trụ đứng có đáy tam giác thường Vẽ đường cao CO trong tam giác ABC và chọn hệ trục như hình vẽ với a = 1. Tọa độ điểm là: O  0;0;0  , A  OA;0;0  , B  OB;0;0  , C  0; OC ;0  , A  OA;0; AA  , B  OB;0; BB  , C   0; OC ; CC   . 2.2.Lăng trụ nghiêng: Lăng trụ nghiêng có đáy là tam giác đều, hình chiếu của Lăng trụ nghiêng có đáy là hình vuông hoặc hình đỉnh trên mặt phẳng đối diện là trung điểm một cạnh tam chữ nhật, hình chiếu của một đỉnh là một điểm giác đáy thuộc cạnh đáy không chứa đỉnh đó  Dựng hệ trục như hình vẽ, ta dễ dàng xác định được các điểm O, A, B, C, A .  Tìm tọa độ các điểm còn lại thông qua hệ thức vectơ bằng nhau: AA  BB  CC  . 41  Dựng hệ trục như hình vẽ, ta dễ dàng xác định được các điểm O, A, B, C, D, A .  Tìm tọa độ các điểm còn lại thông qua hệ thức vectơ bằng nhau: AA  BB  CC  DD . Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn______________Email goùp yù: [email protected]