Toán học là gì? :: Suy ngẫm & Tự vấn :: ChúngTa.com - Kiến Thức Cho Người lao Động Việt Nam

Cuốn sách “What is Mathematics?” thể hiện quan điểm của tác giả về toán học dựa trên nền kiến thức Triết học duy vật rộng lớn cũng như quan điểm về việc dạy toán trong nhà trường phổ thông thầy và trò đều phải nắm chắc bản chất và ý nghĩa của môn toán học…

Toán học chứa đựng trong nó những những đặc điểm của lý trí, của lập luận trừu tượng và hướng tới sự hoàn thiện về thẩm mỹ. Những yếu tố cơ bản và đối lập lẫn nhau của nó là lôgic và trực giác, giải tích và phép dựng hình, tính khái quát và tính cụ thể. Với mọi quan điểm khác nhau bắt nguồn từ truyền thống này hay truyền thống khác, sự tác động đồng thời của những thái cực đó và sự đấu tranh để tổng hợp chúng lại sẽ đảm bảo cho sức sống, sự bổ ích và giá trị cao của khoa học toán học.

Mặc dù xu hướng tiên đề – lý thuyết vẫn là một trong những đặc điểm nổi bật nhất của toán học Hy Lạp và tự nó đã ảnh hưởng đến sự phát triển sau này của khoa học. Nhưng cũng cần phải kiên quyết chỉ rõ rằng vai trò của các nhu cầu thực tiễn và mối liên hệ với thực tại vật lý không hề bị hạ thấp chút nào trong việc sáng tạo ra toán học cổ xưa và rằng việc trình bày toán học không theo phong cánh chặt chẽ của Ơclit vẫn được ưa thích hơn.

Sự phát hiện quá sớm những khó khăn có liên quan đến các đại lượng “vô ước” đã cản cản trở những người Hy Lạp phát triển nghệ thuật tính toán bằng số mà trong những thời kỳ trước đây đã tạo ra những thành tựu đáng kể ở phương Đông. Thay thế vào đó, họ đi tìm những con đường trong rừng rậm của hình học tiên đề thuần túy. Thế là bắt đầu một trong những cuộc phiêu lưu lạ lùng trong lịch sử khoa học mà trong đó có thể bỏ lỡ những khẳ năng sáng lạn. Gần như trong suốt hai nghìn năm, sự thống trị của truyền thống hình học Hy Lạp đã ngăn cản sự tiến hóa của tư tưởng về số và của phép tính về số và của phép tính bằng chữ mà sau này đã được đặt làm cơ sở của các khoa học chính xác.

Sau một tập trung sức lực chậm chạp, một thời kỳ cách mạng bão táp trong sự phát triển của toán học và vật lý học đã được mở ra cùng với sự nảy sinh hình học giải tích và phép tính vi tích phân trong thế kỷ XVII. Trong các thế kỷ XVII và XVIII, lý tưởng kết tinh tiên đề hóa và suy diễn hệ thống đã tàn lụi đi và đã mất ảnh hưởng, tuy rằng hình học cổ xưa vẫn tiếp tục được đánh giá cao. Sự tư duy logic hoàn hảo xuất phát từ những định nghĩa rành mạch và những tiên đề “hiển nhiên” không mâu thuẫn với nhau đã không còn làm vừa lòng những người khai phá kiến thức toán học mới. Đắm mình trong những dự định trực giác, bằng cách pha trộn những kết luận hiển nhiên với những với những khẳng định huyền bí phi lý, bằng cánh tin tưởng mù quáng vào lực lượng siêu đẳng của các quy trình hình thức, họ đã phát hiện ra một thế giới toán học mới vô cùng phong phú. Song dần dà, trạng thái phấn trấn cao độ của tư tưởng được cổ vũ bởi những thắng lợi oanh liệt, đã nhường chỗ cho thái độ thận trọng và ý thức phê bình.Trong thế kỷ XIX, ý thức về sự cần thiết phải củng cố khoa học, đặc biệt có liên quan tới những nhu cầu của giáo dục cao đẳng, được phát triển rộng rãi sau cách mạng Pháp, đã dẫn tới sự xét lại cơ sở của toán học mới. Họ đã đặc biệt chú ý tới phép tính vi tích phân và việc làm sáng tỏ khái liệm giới hạn. Như vậy, thế kỷ XIX không những đã trở nên một kỷ nguyên của những thắng lợi mới mà còn được đánh dấu bởi sự trở lại có kết quả lý tưởng cổ điển về sự chính xác và chặt chẽ của các chứng minh. Về mặt này thì khuôn mẫu Hy Lạp đã bị vượt qua. Một lần nữa, con lắc đã nghiêng về sự hoàn hảo lôgic và sự trừu tượng. Hiện nay, chúng ta còn chưa vượt ra khỏi thời kỳ đó, dẫu rằng có cơ sở để hy vọng sự gián đoạn đáng buồn được tạo nên giữa toán học thuần túy và những ứng dụng thuần túy của nó có thể được thay thế bởi sự thống nhất chặt chẽ hơn trong thời kỳ xét lại có phê phán. Ngày nay, một khối lượng những lực nội tại sáng tạo và sự đơn giản hóa cao độ đạt được trên cơ sở của sự thấu hiểu đã cho phép ta sử dụng một lý thuyết toán học sao cho những ứng dụng không bị bỏ qua. Việc thiết lập lại mối liên hệ hữu cơ giữa tri thức thuần túy và tri thức ứng dụng, sự cân bằng lành mạnh giữa tính khái quát trừu tượng và tính cụ thể phong phú chính là nhiệm vụ toán học trong một tương lai gần đây.

Ở đây ta không có điều kiện phân tích về mặt triết học và tâm lý học một cách tỉ mỉ. Chỉ muốn nhấn mạnh vào một số thời điểm. Theo tôi, viêc nhấn mạnh quả đáng tính chất tiên đề – suy diễn của toán học là nguy hiểm. Tất nhiên cái khởi đầu của sự sáng tạo có tính chất kiến thiết. Khó ai có thể chứa chất trong các diễn đạt triết học cái khởi đầu trực giác – là nguồn gốc của các tư tưởng của chúng ta và những luận cứ của chúng ta; tuy nhiên cái khởi đầu đó lại là bản chất thực sự của mọi phát minh toán học, kể cả khi nó thuộc vào những lĩnh vực trừu tượng nhất. Nếu một hình thức suy diễn rành mạch là mục đích thì động lực của toán học phải là trực giác và kiến thiết. Trong giả thiết cho rằng, toán học là hệ thống các hiệu quả rút ra từ các định nghĩa và tiên đề chỉ cần tương thích với nhau, bộ phận còn lại là sản phẩm của sự tưởng tượng tự do của nhà toán học, chứa trong nó mối đe dọa nghiêm trọng đối với bản thân sự tồn tại của khoa học. Nếu thực sự như vậy thì toán học sẽ làm một việc không xứng đáng của con người biết suy nghĩ. Nó chỉ là một trò chơi với các định nghĩa, quy tắc và phép tam đoạn luật mà không có nguyên nhân, không có mục đích. Biểu tượng theo đó trí tuệ con người có thể sáng tạo ra những hệ tiên đề đã mất mọi ý nghĩa, sẽ là một sự lừa dối. Chỉ có thể thu được những kết quả có giá trị khoa học nếu thấy rõ trách nặng nề trước thiên nhiên và tuân theo một nhu cầu nội tại nào đó.

Tuy xu hướng giải tích lôgic suy tưởng chưa phải là toàn bộ toán học nhưng nó cũng giúp chúng ta nhận thức sâu sắc hơn những sự kiện toán học và những sự phụ thuộc lẫn nhau giữa chúng và giúp ta nắm vững hơn bản chất các khái niệm toán học. Chính từ xu hướng đó đã nảy sinh ra một quan điểm hiện đại đối với toán học xem như mẫu mực của một phương pháp khoa học được áp dụng vạn năng.

Dù ta dừng trên một quan điểm triết học nào thì mọi nhiệm vụ nghiên cứu khoa học đều được quy về thái độ của ta đối với sự vật được cảm thụ và đối với các công cụ nghiên cứu. Tất nhiên, bản thân sự cảm thụ chưa phải là trí thức, chưa phải là sự thông hiểu; còn phải phù hợp chúng với nhau và cắt nghĩa bằng thuật ngữ một số nội dung cơ bản đằng sau chúng. “Vật tự thân” (*) không phải là đối tượng trực tiếp của một nghiên cứu vật lý mà thuộc về lĩnh vực siêu hình. Nhưng đối với một phương pháp khoa học thì điều quan trọng là sự từ bỏ các suy luận siêu hình, chung quy là sự biểu thị mọi sự kiện quan sát được dưới dạng các khái niệm và các phép dựng. Sự từ bỏ tham vọng nhận thức bản chất của “vật tự thân”. Nhận thức tính chân lý cuối cùng cũng như sự giải đáp bản chất nội tại của thế giới, có thể sẽ là một gánh nặng về tâm lý đối với những người nhiệt tâm ngây thơ; nhưng sự từ bỏ đó lại có hiệu quả cao đối với sự phát triển của khoa học hiện đại.

Một số phát minh vĩ đại nhất về vật lý đã bắt ta phải tuân theo nguyên tắc thủ tiêu duy tâm siêu hình. Khi Einstein định đưa khái niệm “những sự kiện đồng thời, phát sinh từ những địa điểm khác nhau” vào số những hiện tượng quan sát và khi ông hiểu rằng niềm tin bản thân khái niệm này tất phải có một ý nghĩa chính xác nào đó mới chỉ là một tiên đoán siêu hình thì trong phát minh đó đã chứa đựng mầm mống của lý tương đối của ông. Khi Niels Bohr và các học trò của ông cân nhắc kỹ sự kiện một quan sát vật lý tùy ý có liên quan đến tác dụng tương hỗ giữa dụng cụ và vật được quan sát thì ông đã thấy rõ rằng không thể một định nghĩa vị trí và vận tốc của phân tử đồng thời chính xác theo nghĩa mà nó được hiểu trong vật lý. Những hệ quả hiện đại mà ngày nay mỗi nhà vật lý học đều biết. Trong thế kỷ XIX đã có một tư tưởng thống trị, đó là tư tưởng cho rằng các lực cơ học và chuyển động của các phân tử trong không gian là các vật tự thân; còn điện, ánh sáng và từ có thể quy về các hiện tượng cơ học (hoặc “giải thích” bằng thuật ngữ cơ học) tương tự như đã làm với lý thuyết nhiệt. Khái niệm về một môi trường có tính chất giả định – gọi là môi trường “ête” – đã được đề xuất cho thích hợp với những chuyển động cơ học không hoàn toàn chính đáng mà ta gọi là ánh sáng và điện. Dần dà đã thấy rõ ê-te này không quan sát được, tức là khái niệm này thuộc về siêu hình nhiều hơn là thuộc về vật lý. Sau đó thì tưởng giải thích một cách cơ học các hiện tượng điện và ánh sáng và cùng với nó khái niệm về ê-te đã bị rứt khoát loại bỏ.

Trong toán học cũng có một tình huống tương tự như thế, thậm chí còn rõ ràng hơn.
Trong nhiều thế kỷ, các nhà toán học đã xem những sự vật mà họ quan tâm – số, đường thẳng v.v … như là những vật tự thân. Song, vì những bản thể đó không thích hợp với ý định mô tả chính xác về bản chất của chúng, trong các nhà toán học thế kỷ XIX đã hình thành một tư tưởng cho rằng vấn đề về giá trị của những khái niệm đó xem như những thực thể trong phạm vi toán học (và cả ở bất kỳ đâu) cũng đều không có ý nghĩa. Những khẳng định toán học mà những thuật ngữ đó thâm nhập vào toán học không thuộc về thực tại vật lý; chúng chỉ thiết lập mối liên hệ tương hỗ giữa các “sự vật không xác định” và những quy tắc thao tác với những sự vật ấy. Không thể và không nên thảo luận trong toán học vấn đề điểm, đường thẳng và số, thực chất là gì. Điều thực sự quan trọng và có liên quan trực tiếp với các sự kiện “được khảo sát” là cấu trúc và mối liên hệ tương hỗ giữa các sự vật đó: hai điểm thì xác định một đường thẳng; theo những quy tắc nhất định thì từ các số này ta suy ra được các số khác v.v…

Nhận thức được một cách rõ ràng sự cần thiết phải từ bỏ quan niệm cho rằng các khái niệm toán học cơ bản như là những sự vật có thực là một trong những chiến công quan trọng nhất của sự phát triển tiên đề hóa hiện nay của toán học.

May mắn thay, tư tưởng sáng tạo đang lãng quên đi những tín ngưỡng triết học giáo điều ngay khi mà những phát minh có tính chất kiến thiết còn quyến luyến chúng. Và, đối với các chuyên gia cũng như đối với những người yêu thích toán học thì không phải triết học mà chỉ có sự tân tụy nghiên cứu bản thân toán học mới có thể trả lời được câu hỏi: Toán học là gì?

Không nghi ngờ gì nữa, sự tiến lên trong phạm vi toán học được quy định bởi sự phát sinh những nhu cầu có tính chất thực tiễn nhất định. Nhưng, tất yếu phải có một cái đà nội tại vượt ra ngoài giớ hạn của lợi ích trực tiếp. Sự biến đổi từ một khoa học ứng dụng sang một khoa học lý thuyết như vậy đã diễn ra trong lịch sử xa xưa, song ngày nay cũng vẫn còn như thế: chỉ cần để ý đến sự đóng góp của các kỹ sư và các nhà vật lý trong toán học hiện đại cũng đủ rõ. Những phong cánh tư duy toán học cổ xưa nhất đã xuất hiện ở phương Đông khoảng hai nghìn năm trước công nguyên: người Babilon đã tập hợp được chất liệu phong phú, cái mà ngày nay ta có xu hướng xếp vào đại số sơ cấp. Nhưng từ “toán học” được xem như một khoa học theo một ý nghĩa hiện nay, đã phát sinh chậm hơn ở trên mảnh đất Hy Lạp vào khoảng thế kỷ thứ tư và thứ năm trước công nguyên. Mọi sự tiếp xúc ngày càng tăng giữa phương Đông và Hy Lạp bắt đầu từ đế quốc Ba Tư và đạt tới đỉnh trong thời kỳ tiếp ngay sau cuộc du lịch của Alecxăngđrơ đã bảo đảm cho người Hy Lạp đuổi kịp những thành tựa của người Babilon trong lĩnh vực toán học và thiên văn học. Toán học đã nhanh chóng trở thành đối tượng của các cuộc thảo luận về triết học thông thường tại các Nhà nước – thành phố Hy Lạp. Như vậy, các nhà tư tưởng Hy Lạp đã nhận thức được những khó khăn đặc biệt có liên quan với những khái miệm toán học cơ bản – sự liên tục, sự chuyển động, cái vô hạn – và bài toán đo các đại lượng tùy ý bằng các đơn vị cho trước. Nhưng đã có quyết tâm vượt khó khăn: nảy sinh do kết quả của một sự cố gắng tuyệt vời của tư tưởng Evđôkxôp, lý thuyết continum hình học là một thành tựu có thể sánh ngang hàng với lý thuyết số vô tỉ hiện đại. Phương hướng tiên đề suy diễn trong toán học, bắt đầu từ Evđôkxôp, đã được thể hiện rất rõ trong tác phẩm “khởi đầu” Ơclit.Mặc dù xu hướng tiên đề – lý thuyết vẫn là một trong những đặc điểm nổi bật nhất của toán học Hy Lạp và tự nó đã ảnh hưởng đến sự phát triển sau này của khoa học. Nhưng cũng cần phải kiên quyết chỉ rõ rằng vai trò của các nhu cầu thực tiễn và mối liên hệ với thực tại vật lý không hề bị hạ thấp chút nào trong việc sáng tạo ra toán học cổ xưa và rằng việc trình bày toán học không theo phong cánh chặt chẽ của Ơclit vẫn được ưa thích hơn.Sự phát hiện quá sớm những khó khăn có liên quan đến các đại lượng “vô ước” đã cản cản trở những người Hy Lạp phát triển nghệ thuật tính toán bằng số mà trong những thời kỳ trước đây đã tạo ra những thành tựu đáng kể ở phương Đông. Thay thế vào đó, họ đi tìm những con đường trong rừng rậm của hình học tiên đề thuần túy. Thế là bắt đầu một trong những cuộc phiêu lưu lạ lùng trong lịch sử khoa học mà trong đó có thể bỏ lỡ những khẳ năng sáng lạn. Gần như trong suốt hai nghìn năm, sự thống trị của truyền thống hình học Hy Lạp đã ngăn cản sự tiến hóa của tư tưởng về số và của phép tính về số và của phép tính bằng chữ mà sau này đã được đặt làm cơ sở của các khoa học chính xác.Sau một tập trung sức lực chậm chạp, một thời kỳ cách mạng bão táp trong sự phát triển của toán học và vật lý học đã được mở ra cùng với sự nảy sinh hình học giải tích và phép tính vi tích phân trong thế kỷ XVII. Trong các thế kỷ XVII và XVIII, lý tưởng kết tinh tiên đề hóa và suy diễn hệ thống đã tàn lụi đi và đã mất ảnh hưởng, tuy rằng hình học cổ xưa vẫn tiếp tục được đánh giá cao. Sự tư duy logic hoàn hảo xuất phát từ những định nghĩa rành mạch và những tiên đề “hiển nhiên” không mâu thuẫn với nhau đã không còn làm vừa lòng những người khai phá kiến thức toán học mới. Đắm mình trong những dự định trực giác, bằng cách pha trộn những kết luận hiển nhiên với những với những khẳng định huyền bí phi lý, bằng cánh tin tưởng mù quáng vào lực lượng siêu đẳng của các quy trình hình thức, họ đã phát hiện ra một thế giới toán học mới vô cùng phong phú. Song dần dà, trạng thái phấn trấn cao độ của tư tưởng được cổ vũ bởi những thắng lợi oanh liệt, đã nhường chỗ cho thái độ thận trọng và ý thức phê bình.Trong thế kỷ XIX, ý thức về sự cần thiết phải củng cố khoa học, đặc biệt có liên quan tới những nhu cầu của giáo dục cao đẳng, được phát triển rộng rãi sau cách mạng Pháp, đã dẫn tới sự xét lại cơ sở của toán học mới. Họ đã đặc biệt chú ý tới phép tính vi tích phân và việc làm sáng tỏ khái liệm giới hạn. Như vậy, thế kỷ XIX không những đã trở nên một kỷ nguyên của những thắng lợi mới mà còn được đánh dấu bởi sự trở lại có kết quả lý tưởng cổ điển về sự chính xác và chặt chẽ của các chứng minh. Về mặt này thì khuôn mẫu Hy Lạp đã bị vượt qua. Một lần nữa, con lắc đã nghiêng về sự hoàn hảo lôgic và sự trừu tượng. Hiện nay, chúng ta còn chưa vượt ra khỏi thời kỳ đó, dẫu rằng có cơ sở để hy vọng sự gián đoạn đáng buồn được tạo nên giữa toán học thuần túy và những ứng dụng thuần túy của nó có thể được thay thế bởi sự thống nhất chặt chẽ hơn trong thời kỳ xét lại có phê phán. Ngày nay, một khối lượng những lực nội tại sáng tạo và sự đơn giản hóa cao độ đạt được trên cơ sở của sự thấu hiểu đã cho phép ta sử dụng một lý thuyết toán học sao cho những ứng dụng không bị bỏ qua. Việc thiết lập lại mối liên hệ hữu cơ giữa tri thức thuần túy và tri thức ứng dụng, sự cân bằng lành mạnh giữa tính khái quát trừu tượng và tính cụ thể phong phú chính là nhiệm vụ toán học trong một tương lai gần đây.Ở đây ta không có điều kiện phân tích về mặt triết học và tâm lý học một cách tỉ mỉ. Chỉ muốn nhấn mạnh vào một số thời điểm. Theo tôi, viêc nhấn mạnh quả đáng tính chất tiên đề – suy diễn của toán học là nguy hiểm. Tất nhiên cái khởi đầu của sự sáng tạo có tính chất kiến thiết. Khó ai có thể chứa chất trong các diễn đạt triết học cái khởi đầu trực giác – là nguồn gốc của các tư tưởng của chúng ta và những luận cứ của chúng ta; tuy nhiên cái khởi đầu đó lại là bản chất thực sự của mọi phát minh toán học, kể cả khi nó thuộc vào những lĩnh vực trừu tượng nhất. Nếu một hình thức suy diễn rành mạch là mục đích thì động lực của toán học phải là trực giác và kiến thiết. Trong giả thiết cho rằng, toán học là hệ thống các hiệu quả rút ra từ các định nghĩa và tiên đề chỉ cần tương thích với nhau, bộ phận còn lại là sản phẩm của sự tưởng tượng tự do của nhà toán học, chứa trong nó mối đe dọa nghiêm trọng đối với bản thân sự tồn tại của khoa học. Nếu thực sự như vậy thì toán học sẽ làm một việc không xứng đáng của con người biết suy nghĩ. Nó chỉ là một trò chơi với các định nghĩa, quy tắc và phép tam đoạn luật mà không có nguyên nhân, không có mục đích. Biểu tượng theo đó trí tuệ con người có thể sáng tạo ra những hệ tiên đề đã mất mọi ý nghĩa, sẽ là một sự lừa dối. Chỉ có thể thu được những kết quả có giá trị khoa học nếu thấy rõ trách nặng nề trước thiên nhiên và tuân theo một nhu cầu nội tại nào đó.Tuy xu hướng giải tích lôgic suy tưởng chưa phải là toàn bộ toán học nhưng nó cũng giúp chúng ta nhận thức sâu sắc hơn những sự kiện toán học và những sự phụ thuộc lẫn nhau giữa chúng và giúp ta nắm vững hơn bản chất các khái niệm toán học. Chính từ xu hướng đó đã nảy sinh ra một quan điểm hiện đại đối với toán học xem như mẫu mực của một phương pháp khoa học được áp dụng vạn năng.Dù ta dừng trên một quan điểm triết học nào thì mọi nhiệm vụ nghiên cứu khoa học đều được quy về thái độ của ta đối với sự vật được cảm thụ và đối với các công cụ nghiên cứu. Tất nhiên, bản thân sự cảm thụ chưa phải là trí thức, chưa phải là sự thông hiểu; còn phải phù hợp chúng với nhau và cắt nghĩa bằng thuật ngữ một số nội dung cơ bản đằng sau chúng. “Vật tự thân” (*) không phải là đối tượng trực tiếp của một nghiên cứu vật lý mà thuộc về lĩnh vực siêu hình. Nhưng đối với một phương pháp khoa học thì điều quan trọng là sự từ bỏ các suy luận siêu hình, chung quy là sự biểu thị mọi sự kiện quan sát được dưới dạng các khái niệm và các phép dựng. Sự từ bỏ tham vọng nhận thức bản chất của “vật tự thân”. Nhận thức tính chân lý cuối cùng cũng như sự giải đáp bản chất nội tại của thế giới, có thể sẽ là một gánh nặng về tâm lý đối với những người nhiệt tâm ngây thơ; nhưng sự từ bỏ đó lại có hiệu quả cao đối với sự phát triển của khoa học hiện đại.Một số phát minh vĩ đại nhất về vật lý đã bắt ta phải tuân theo nguyên tắc thủ tiêu duy tâm siêu hình. Khi Einstein định đưa khái niệm “những sự kiện đồng thời, phát sinh từ những địa điểm khác nhau” vào số những hiện tượng quan sát và khi ông hiểu rằng niềm tin bản thân khái niệm này tất phải có một ý nghĩa chính xác nào đó mới chỉ là một tiên đoán siêu hình thì trong phát minh đó đã chứa đựng mầm mống của lý tương đối của ông. Khi Niels Bohr và các học trò của ông cân nhắc kỹ sự kiện một quan sát vật lý tùy ý có liên quan đến tác dụng tương hỗ giữa dụng cụ và vật được quan sát thì ông đã thấy rõ rằng không thể một định nghĩa vị trí và vận tốc của phân tử đồng thời chính xác theo nghĩa mà nó được hiểu trong vật lý. Những hệ quả hiện đại mà ngày nay mỗi nhà vật lý học đều biết. Trong thế kỷ XIX đã có một tư tưởng thống trị, đó là tư tưởng cho rằng các lực cơ học và chuyển động của các phân tử trong không gian là các vật tự thân; còn điện, ánh sáng và từ có thể quy về các hiện tượng cơ học (hoặc “giải thích” bằng thuật ngữ cơ học) tương tự như đã làm với lý thuyết nhiệt. Khái niệm về một môi trường có tính chất giả định – gọi là môi trường “ête” – đã được đề xuất cho thích hợp với những chuyển động cơ học không hoàn toàn chính đáng mà ta gọi là ánh sáng và điện. Dần dà đã thấy rõ ê-te này không quan sát được, tức là khái niệm này thuộc về siêu hình nhiều hơn là thuộc về vật lý. Sau đó thì tưởng giải thích một cách cơ học các hiện tượng điện và ánh sáng và cùng với nó khái niệm về ê-te đã bị rứt khoát loại bỏ.Trong toán học cũng có một tình huống tương tự như thế, thậm chí còn rõ ràng hơn.Trong nhiều thế kỷ, các nhà toán học đã xem những sự vật mà họ quan tâm – số, đường thẳng v.v … như là những vật tự thân. Song, vì những bản thể đó không thích hợp với ý định mô tả chính xác về bản chất của chúng, trong các nhà toán học thế kỷ XIX đã hình thành một tư tưởng cho rằng vấn đề về giá trị của những khái niệm đó xem như những thực thể trong phạm vi toán học (và cả ở bất kỳ đâu) cũng đều không có ý nghĩa. Những khẳng định toán học mà những thuật ngữ đó thâm nhập vào toán học không thuộc về thực tại vật lý; chúng chỉ thiết lập mối liên hệ tương hỗ giữa các “sự vật không xác định” và những quy tắc thao tác với những sự vật ấy. Không thể và không nên thảo luận trong toán học vấn đề điểm, đường thẳng và số, thực chất là gì. Điều thực sự quan trọng và có liên quan trực tiếp với các sự kiện “được khảo sát” là cấu trúc và mối liên hệ tương hỗ giữa các sự vật đó: hai điểm thì xác định một đường thẳng; theo những quy tắc nhất định thì từ các số này ta suy ra được các số khác v.v…Nhận thức được một cách rõ ràng sự cần thiết phải từ bỏ quan niệm cho rằng các khái niệm toán học cơ bản như là những sự vật có thực là một trong những chiến công quan trọng nhất của sự phát triển tiên đề hóa hiện nay của toán học.May mắn thay, tư tưởng sáng tạo đang lãng quên đi những tín ngưỡng triết học giáo điều ngay khi mà những phát minh có tính chất kiến thiết còn quyến luyến chúng. Và, đối với các chuyên gia cũng như đối với những người yêu thích toán học thì không phải triết học mà chỉ có sự tân tụy nghiên cứu bản thân toán học mới có thể trả lời được câu hỏi: Toán học là gì?