CHƯƠNG 6. HÀM SỐ HAI BIẾN SỐ

Ở những chương trước, chúng ta đã nghiên cứu hàm y = f(x) với x là biến số và gọi là hàm một biến. Tuy nhiên trong thực tế, một đại lượng biến thiên không chỉ phụ thuộc vào một mà vào hai hay nhiều đại lượng biến thiên khác, do vậy ta phải nghiên cứu hàm số nhiều biến số. Nói chung việc nghiên cứu hàm nhiều biến khá phức tạp, nên ở chương này chỉ dừng lại nghiên cứu hàm hai biến, song từ việc nghiên cứu hàm hai biến ta có thể suy ra các tính chất của hàm nhiều biến.

Đan xen với các nội dung toán học, chúng tôi trình bày một số mô hình toán kinh tế, với mục đích giúp sinh viên làm quen với việc sử dụng công cụ toán học trong phân tích kinh tế

6.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

6.1.1. Định nghĩa hàm số hai biến số

Định nghĩa 6.1.

Cho D là một tập con của mặt phẳng xOy.

Một qui tắc đặt tương ứng mỗi điểm M(x, y)D với một và chỉ một số thực z=f(x,y)

được gọi là một hàm số hai biến số xác định trên D.

Ví dụ 1.

là các hàm số hai biến x và y

6.1.2. Miền xác định của hàm số hai biến số

a. Tập hợp trong không gian R2

Định nghĩa 6.2. Trong không gian vectơ 2 chiều

Khoảng cách giữa hai điểm M(x1,y1) và N(x2,y2), ký hiệu là d(M,N), được xác định theo công thức:

 Hình cầu tâm Mo, bán kính r ( r > 0) trong R2, kí hiệu là S(M0,r):

S(M0, r) còn được gọi là r lân cận của điểm Mo

 Mọi tập con của R2 chứa một r -lân cận của điểm M0 được gọi là một lân cận của điểm M là điểm trong của D nếu tồn tại một r lân cận nào đó của M nằm hoàn toàn trong D

 D là tập mở nếu mọi điểm của D đều là điểm trong của D

 M là điểm biên của D nếu mọi r lân cận của M vừa chứa điểm thuộc D vừa chứa điểm không thuộc D. Tập tất cả các điểm biên của D gọi là biên của D.

 Tập D được gọi là đóng nếu D chứa mọi điểm biên của nó.

Ví dụ :

+ D  M  R2 d(M , M0 )  r  là tập mở và được gọi là hình cầu mở tâm M0 bán kính r

kính r

b. Miền xác định của hàm số hai biến số

Cho hàm số Miền xác định của z là tập hợp tất cả các cặp (x, y)  R2 làm cho biểu thức f (x, y) có nghĩa và được ký hiệu là Df

Quy ước: Nếu hàm số được cho bởi biểu thức z  f (x, y)  f (M ) mà không nói gì thêm về miền xác định của hàm số thì ta hiểu miền xác định của z là tập hợp những điểm M sao cho biểu thức f(M) có nghĩa, hay

là nửa mặt phẳng phía trên đường thẳng kể cả đường thẳng này (Hình 6.1)

Ví dụ 3: Hàm số được xác định trong miền

là hình cầu đóng tâm O, bán kính R (Hình 6.2)

c. Miền giá trị và đồ thị của hàm số hai biến số

giá trị của hàm số là tập hợp tất cả các giá trị của hàm số khi thay đổi trong miền xác định, ký hiệu Df , và

Giá trị của hàm số tại các điểm M0(0;0);

Ví dụ 2: Hàm số có miền giá trị

Ví dụ 3: Hàm số có miền giá trị là

+ Đồ thị của hàm hai biến

Trên hệ trục tọa độ Oxyz, tập hợp tất cả các điểm có tọa độ (x, y, z) với gọi là đồ thị của hàm hai biến z  f (x, y)

Nói chung đồ thị của hàm số z  f (x, y) tạo thành một mặt S nào đó trong không gian ba chiều Oxyz.

Ví dụ 4: Đồ thị của hàm là nửa mặt cầu nằm phía trên mặt

phẳng xOy (Hình 6.3)

là tập hợp tất cả các điểm M (x, y) thỏa mãn điều kiện f(x, y) z0

Ví dụ 1: Cho hàm số z 3x  2 y

Các đường mức của hàm số ứng với các giá trị 0 0z  2 ; z 0 ; z0 2 lần lượt là

Ví dụ 2: Hãy viết phương trình đường mức đi qua điểm A(0,1) của hàm số

Vậy đường mức của hàm số tại giá trị là đường tròn tâm

6.1.3. Một số hàm số thường gặp trong phân tích kinh tế.

a. Hàm sản xuất

+ Hàm sản xuất là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của sản lượng hàng hóa ( tổng số lượng sản phẩm hiện vật) của một doanh nghiệp vào lượng sử dụng các yếu tố đầu vào của sản xuất. Nếu trong hoạt động sản xuất, các nhà kinh tế chỉ quan tâm đến 2 yếu tố sản xuất quan trọng nhất là vốn (capital) và lao động (labor) thì hàm sản xuất có dạng:

Các dạng hàm sản xuất phổ biến là:

+ Dạng tuyến tính:

+Hàm sản xuất dạng hàm Cobb-Douglas:

b. Hàm chi phí, hàm doanh thu và hàm lợi nhuận

+ Hàm chi phí

Trong kinh tế, chi phí sản xuất giữ một vai trò quan trọng và là vấn đề quan tâm của các doanh nghiệp, của người tiêu dùng và của cả xã hội nói chung.Chi phí sản xuất là số tiền mà doanh nghiệp phải chi để mua các yếu tố đầu vào cần thiết cho quá trình sản xuất nhằm thu được lợi nhuận.

Gọi wK là giá thuê một đơn vị vốn ( chẳng hạn như tiền thuê một giờ sử dụng xưởng máy), wL là giá thuê một đơn vị lao động ( chẳng hạn như tiền phải trả cho một giờ lao động của một công nhân), C0 là chi phí cố định, thì chi phí sản xuất theo các yếu tố sản xuất, kí hiệu TC, là hàm số có dạng:

+ Hàm doanh thu

Doanh thu là số tiền mà doanh nghiệp thu được sau khi bán các sản phẩm và dịch vụ của mình. Giả sử doanh nghiệp cạnh tranh có hàm sản xuất

và giá thị trường của sản phẩm là P thì tổng doanh thu của doanh nghiệp là hàm số của 2 biến số K , L như sau:

+ Hàm lợi nhuận

Lợi nhuận là mục tiêu kinh tế cao nhất, là sự chênh lệch giữa tổng doanh thu và tổng chi phí. Nếu tính theo các yếu tố sản xuất thì hàm lợi nhuận là hàm số của các yếu tố sản xuất, kí hiệu là TP, có dạng:

Ví dụ: Một công ty cạnh tranh sản xuất một loại sản phẩm có hàm sản xuất Q = 25. K0.5. L0.5 với Q, K, L

Hãy lập hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm lợi nhuận của công ty theo K và L, biết giá bán sản phẩm trên thị trường là 4$, giá tư bản wK là 15$, giá lao động wL là $8 và chi phí cố định của công ty là $50.

Giải. Hàm doanh thu của công ty là:

Hàm chi phí của công ty là:

c. Hàm chi phí khi doanh nghiệp cùng sản xuất nhiều loại sản phẩm khác nhau

Giả sử một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm Q1 và Q2. Để sản xuất Q1 đơn vị sản phẩm 1 và Q2 đơn vị sản phẩm 2 thì doanh nghiệp phải bỏ ra một khoản chi phí TC. Khi đó chi phí của doanh nghiệp được xác định là hàm số của 2 biến Q1 và Q2:

e. Hàm lợi ích

Giả sử cơ cấu tiêu dùng của người tiêu dùng gồm có 2 mặt hàng x và y. Mỗi giỏ hàng là một bộ số thực (x, y), trong đó x là lượng hàng hóa thứ nhất và y là lượng hàng hóa thứ hai do người mua thiết lập. Hàm lợi ích là hàm số đặt tương ứng với mỗi giỏ hàng (x,y) một giá trị U nhất định theo qui tắc: giỏ hàng nào được ưa chuộng hơn thì gán cho giá trị lợi ích lớn hơn, kí hiệu là:U= U( x,y) ( U(x,y) >0 với

Một trong những hàm lợi ích hay được sử dụng là hàm dạng Cobb-Douglas:

U(x,y) = a. xα .yβ (a, α , β là các hằng số dương).

6.2. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ HAI BIẾN SỐ

6.2.1. Giới hạn của hàm hai biến số

a. Giới hạn của dãy điểm trong mặt phẳng:

Cho dãy điểm Ta nói dãy điểm {Mn} hội tụ tới M0 khi nếu

Như vậy, sự hội tụ của dãy điểm trong không gian R2 chính là sự hội tụ theo tọa độ.

Vậy dãy điểm hội tụ về điểm M (0,1) khi n   hay

Ví dụ 2: Cho dãy điểm

Vậy dãy điểm hội tụ về điểm M (0, 2)

b. Giới hạn của hàm số hai biến số.

Cho hàm số xác định trong miền một dãy điểm trong miền D. Với hàm số mỗi dãy điểm

cho tương ứng với một dãy số

Khi đó, dãy số (2) được gọi là dãy các giá trị của hàm z tương ứng với dãy điểm (1) lấy từ miền xác định D.

Định nghĩa 6.4. Nếu với mọi dãy điểm (1) lấy từ miền xác định D M 0 (x0 , y0 ) của hàm số mà dãy số (2) tương ứng luôn luôn có giới hạn L thì số L được gọi là giới hạn của hàm số đã cho khi M  M 0 hay và ký hiệu:

Cũng như khi xét giới hạn của hàm số một biến, có thể chứng minh rằng định nghĩa trên tương đương với định nghĩa sau:

Định nghĩa 6.5. Hằng số L được gọi là giới hạn của hàm số khi bé tùy ý cho trước, đều tồn tại số f (x, y)  L  

Chú ý:

-Khái niệm giới hạn vô hạn cho hàm hai biến cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm một biến.

– Việc chứng minh các định lý sau về giới hạn của tổng, tích, thương đối với các hàm số hai biến cũng tương tự như khi chứng minh cho hàm một biến

Định lý 6.1: Nếu và thì:

Định lý 6.2. (Nguyên lý kẹp) Giả sử với thuộc

Giải:

+ Với mọi dãy điểm  M n (xn , yn ) hội tụ đến điểm M 0 (1, 3) , ta luôn có:

+ Ta có

Giải.

+ Với mọi dãy điểm  M n (xn , yn ) hội tụ đến điểm M 0 (0, 0) , ta luôn có:

+ Ta có

Giải.

Giới hạn này không tồn tại vì xét hai dãy điểm cùng hội tụ đến O(0, 0)

nhưng các dãy giá trị tương ứng của hàm số lại hội tụ đến hai giá trị khác nhau

Giải.

c. Các giới hạn lặp

Giới hạn theo định nghĩa trên được gọi là giới hạn bội hoặc giới hạn kép (các quá trình x  x0 và y  y0 diễn ra đồng thời, không phụ thuộc lẫn nhau). Ngoài giới hạn kép, ta có thể xét các giới hạn lặp theo cách thức sau:

cố định y, ta tính trước giới hạn sau đó tính giới hạn

Trong trường hợp này, ta viết:

Tương tự, ký hiệu lim lim f (x, y) F x x0 y y0

Có nghĩa: lim ( x) F x x0

Nói chung, giới hạn kép L và các giới hạn lặp E, F là các giới hạn có giá trị khác nhau, thậm chí các giới hạn lặp E và F cũng có thể khác nhau.

đều hội tụ đến điểm O(0, 0) khi trong khi đó các dãy giá trị tương ứng của hàm số lại hội tụ tới những giới hạn khác nhau

+ Các giới hạn lặp tồn tại nhưng có giá trị khác nhau

6.2.2. Tính liên tục của hàm hai biến số

a. Các định nghĩa về tính liên tục

Định nghĩa 6.6. Hàm số z  f (x, y) được gọi là liên tục điểm nếu:

và điểm (x0 , y0 ) gọi là điểm liên tục của hàm số

Nhận xét: Cũng như đối với hàm một biến, để xét tính liên tục của hàm số hai biến tại chúng ta phải kiểm tra ba điều kiện sau:

 Hàm số xác định tại (x0 , y0 )

 Tồn tại giới hạn lim f (x, y) b x x0 y y0

 b  f (x0 , y0 )

Định nghĩa 6.7. Hàm số được gọi là liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm

Định nghĩa 6.8. Nếu tại điểm hàm số không liên tục thì hàm f (x, y) gọi là gián đoạn tại gọi là điểm gián đoạn của hàm số

b. Các phép tính về hàm liên tục

Nếu các hàm f (x, y) và g (x, y) liên tục tại điểm (x0 , y0 ) thì:

 f ( x, y) g(x, y) liên tục tại (x0 , y0 )

 f (x, y).g (x, y) liên tục tại (x0 , y0 )

 g f ( (x, x, y) y) liên tục tại

Giải:

Hàm f ( x, y) liên tục tại mọi điểm (x, y) (0, 0) vì là thương của hai hàm liên tục mà mẫu khác 0

Xét tại điểm O (0, 0)

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:

Do đó:

 Nếu  1 thì vậy liên tục tại

ta không dần tới 0 khi x  0 , suy ra hàm không liên tục tại

6.3. Đạo hàm và vi phân

6.3.1. Đạo hàm riêng

a. Định nghĩa.

Cho hàm số z = f(x,y) xác định trong một miền D, M0 (x0, y0) là một điểm của D

+Cố định y = y0 và cho x một số gia ∆x thì số gia theo biến x của hàm số tương ứng là:

được gọi là đạo hàm riêng của hàm số z theo biến x tại điểm M0 (x0, y0) và kí

+ Tương tự, đạo hàm riêng của hàm số z = f(x,y) theo biến y tại điểm M 0 (x0, y0)

b. Cách tính đạo hàm riêng

 Để tìm đạo hàm riêng của hàm z = f(x,y) theo biến x tại điểm M0 (x0, y0) , ta coi y như hằng số và lấy đạo hàm như hàm số một biến đối với biến x.

 Để tìm đạo hàm riêng của hàm z = f(x,y) theo biến y tại điểm M0 (x0, y0) , ta coi x như hằng số và lấy đạo hàm như hàm số một biến đối với biến y.

Ví dụ 1: Tính các đạo hàm riêng của hàm số z = 5×2 + 2xy2 – 7y2 + 1

Ví dụ 2: Tính z ’ x và z’ y tại điểm M(1, 2) của hàm số z = 3 x2y3 + x+ y

Ta có

Ví dụ 3: Tính đạo hàm riêng của hàm số z = xy (x > 0)

Ta có :

c. Đạo hàm riêng của hàm số hợp

Trường hợp 1:

Cho hàm số z =f (u, v) là hàm hai biến khả vi,với u= u(x), v = v(x) là các hàm khả vi. Khi đó:

Trường hợp 2:

Cho hàm số z =f (u, v) trong đó u, v lại là các hàm số của hai biến x và y :

u = u(x, y), v = v(x, y). Khi đó:

Ví dụ: Tính đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số hợp sau

Giải. Theo công thức đạo hàm của hàm số hợp, ta có

Tương tự, ta có

6.3.2. Vi phân toàn phần

Nếu hàm số z = f( x,y ) xác định trong miền D.

Tại điểm: cho x một số gia và y một số gia y sao cho thuộc miền D.

được gọi là số gia toàn phần của hàm số

Định nghĩa 6.9. Nếu số gia z biểu diễn dưới dạng:

trong đó A, B chỉ phụ thuộc vào điểm M0( x0, y0) còn (x); (y) là các vô cùng là thì ta nói hàm số z khả vi tại M0( x0, y0) và biểu thức:

được gọi là vi phân toàn phần của hàm số z = f( x,y ) tại điểm M0

Định nghĩa 6.10. Hàm số z = f( x,y ) được gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm của miền D

Ví dụ: Tính vi phân toàn phần của hàm số

Nhận xét: Từ định nghĩa ta thấy hàm hai biến số z = f( x,y ) có các đạo hàm riêng tại một điểm thì chưa chắc khả vi tại điểm đó, mà chỉ khi có đạo hàm riêng liên tục thì hàm số mới khả vi. Ngược lại, một hàm 2 biến số khả vi tại một điểm thì có các đạo hàm riêng tại điểm đó. Vì vậy, đối với hàm 2 biến, khái niệm hàm số khả vi và hàm số có đạo hàm riêng là không tương đương. Đây là điểm khác nhau căn bản của hàm số hai biến số so với hàm một biến số.

6.3.3. Đạo hàm riêng cấp cao và vi phân cấp cao

a. Đạo hàm riêng cấp cao

Cho hàm số z =f( x, y), các đạo hàm riêng z’x , z’y được gọi là các đạo hàm riêng cấp một của hàm số z =f( x, y).

Nói chung các đạo hàm riêng( nếu tồn tại) này lại là các hàm số của hai biến số x và y. Nếu các hàm số này có đạo hàm riêng thì các đạo hàm riêng đó được gọi các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số z.

Khi đó ta có bốn đạo hàm riêng cấp hai của hàm số z và được kí hiệu như là:

2 2 Ví dụ 1: Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số z = x y + y

Các đạo hàm riêng cấp một của hàm số z là:

Các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số z là:

Các đạo hàm riêng cấp một của hàm số z là:

Các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số z là:

Tương tự như trên ta có: đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp hai được gọi là các đạo hàm riêng cấp 3, đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp (n-1) được gọi là đạo hàm riêng cấp n của hàm số z = f(x,y).

Định lí 6.4.(Schwarz). Nếu trong một lân cận U nào đó của điểm M0(x0,y0,) , hàm số z = f(x,y) có các đạo hàm riêngf’x , f’y , f ’’xy , f ’’yx và nếu các đạo hàm f ’’xy , f ’’yx liên tục tại M0 thì f ’’xy = f ’’yx tại M0

Trong giáo trình này chúng ta chỉ dừng lại nghiên cứu các hàm số thỏa mãn định lí trên.

b. Vi phân cấp cao.

Nếu hàm số z = f(x,y) khả vi tại điểm (x, y) thì

được gọi là vi phân toàn phần cấp một của hàm số z. Vi phân toàn phần của vi phân toàn phần cấp một dz nếu tồn tại, được gọi là vi phân toàn phần cấp hai của 2 z, kí hiệu là d z và được tính theo công thức:

Tổng quát, ta định nghĩa được vi phân toàn phần cấp n (n ≥ 2) của hàm số n n-1 z = f(x,y) như sau: d z= d(d z)

2 x Ví dụ: Tính vi phân cấp hai d z của hàm số z = e siny

Các đạo hàm riêng cấp một của hàm số z là:

Các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số z là:

Vậy vi phân toàn phần cấp hai của hàm số là:

6.3.4. Ứng dụng của đạo hàm riêng trong phân tích kinh tế

a. Đạo hàm riêng và giá trị cận biên

Xét hàm số z = f(x,y) biểu diễn sự phụ thuộc của biến kinh tế z vào các biến kinh tế x và y. Khi đó:

‘ điểm M(x,y) biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi giá trị của biến phụ thuộc z khi biến x tăng thêm 1 đơn vị trong khi cố định biến y .

+ Tương tự: Đạo hàm riêng ‘ z y tại điểm M(x,y) được gọi là giá trị cận biên của hàm số z theo biến y tại điểm M. Giá trị cận biên của hàm số z theo biến y tại điểm M(x,y) biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi giá trị của biến phụ thuộc z khi biến y tăng thêm 1 đơn vị trong khi cố định biến x .

Sau đây ta xét giá trị cận biên của một số hàm thường gặp trong kinh tế:

1. Hàm sản xuất Q = f(K, L)

được gọi tương ứng là sản lượng cận biên của Q theo vốn và sản lượng cận biên của Q theo lao động tại điểm (K,L)

Ý nghĩa: Tại điểm M0( K0, L0)

 Q’K (K0, L0) mô tả sự thay đổi của sản lượng khi lượng vốn tăng từ K0 lên (K0 +1) đơn vị với điều kiện L = L0

 Q’L(K0, L0) mô tả sự thay đổi của sản lượng khi lượng lao động tăng từ L 0 lên (L0 +1) đơn vị với điều kiện K = K0

Ví dụ: Một doanh nghiệp có hàm sản xuất

Trong đó: K, L, Q là mức sử dụng vốn, mức sử dụng lao động và sản lượng. Giả sử doanh nghiệp đó đang sử dụng 25 đơn vị vốn và 100 đơn vị lao động, hãy tính sản lượng cận biên theo vốn, sản lượng cận biên theo lao động và giải thích ý nghĩa.

Giải:

+ Sản lượng cận biên theo vốn là:

Với K = 25 và L =100 thì:

Điều này có nghĩa là: Nếu doanh nghiệp nâng mức sử dụng vốn K từ 25 lên 26 đơn vị và giữ nguyên mức sử dụng L =100 lao động thì sản lượng sẽ tăng thêm khoảng 25 đơn vị sản phẩm.

+ Sản lượng cận biên theo lao động là:

Với K = 25 và L =100 thì:

Điều này có nghĩa là: Nếu doanh nghiệp nâng mức sử dụng lao động L từ 100 lên 101 đơn vị và giữ nguyên mức sử dụng vốn thì sản lượng sẽ tăng thêm khoảng 6,25 đơn vị sản phẩm.

2. Hàm chi phí theo các yếu tố sản xuất TC=TC (K,L)

được gọi tương ứng là chi phí cận biên theo vốn và chi phí cận biên theo lao động. Nếu giá thuê một đơn vị vốn là wK và giá vốn thuê một đơn vị lao động wL thì

ta có

Ý nghĩa: Ở mọi mức sử dụng các yếu tố đầu vào, chi phí cận biên theo vốn bằng giá thuê một đơn vị vốn, chi phí cận biên theo lao động bằng giá thuê một đơn vị lao động.

3. Hàm lợi ích U= f(x,y)

được gọi tương ứng là lợi ích cận biên của hàm lợi ích theo hàng hóa x, lợi ích cận biên của hàng hóa theo hàng hóa y.

Ý nghĩa: Tại một mức sử dụng giỏ hàng

U ‘ x biểu diễn xấp xỉ lợi ích tăng thêm khi người tiêu dùng có thêm+ Giá trị một đơn vị hàng hóa thứ nhất và giữ nguyên lượng hàng hóa thứ hai.

+ Giá trị U ‘ y biểu diễn xấp xỉ lợi ích tăng thêm khi người tiêu dùng có thêm một đơn vị hàng hóa thứ hai và giữ nguyên lượng hàng hóa thứ nhất.

Ví dụ: Giả sử hàm lợi ích của người tiêu dùng đối với hai loại hàng hóa là

trong đó: x là lượng hàng hóa 1; y là lượng hàng hóa 2 ; U là lợi ích của người tiêu dùng hàng ngày.

Gỉa sử người tiêu dùng đang sử dụng 64 đơn vị hàng hóa 1 và 25 đơn vị hàng hóa 2 trong một ngày. Xác định lợi ích cận biên của các hàng hóa tại điểm đó và giải thích ý nghĩa.

Giải:

Hàm số biểu diễn lợi ích cận biên theo hàng hóa 1 là:

Hàm số biểu diễn lợi ích cận biên theo hàng hóa 2 là:

Nghĩa là: Nếu người tiêu dùng gia tăng sử dụng hàng hóa 1 từ mức 64 đơn vị lên mức 65 đơn vị và giữ nguyên mức sử dụng hàng hóa 2 là 25 đơn vị thì lợi ích tiêu dùng hàng ngày tăng thêm khoảng 120

Tương tự, nếu người tiêu dùng gia tăng sử dụng hàng hóa 2 từ mức 25 đơn vị lên mức 26 đơn vị và giữ nguyên mức sử dụng hàng hóa 1 là 64 đơn vị thì lợi ích tiêu dùng hàng ngày tăng thêm khoảng 102,4

b. Đạo hàm riêng cấp hai và quy luật lợi ích cận biên giảm dần.

Cho hàm số z = f(x,y).

Trong kinh tế học, quy luật lợi ích cận biên giảm dần nói rằng: Khi yếu tố y không thay đổi, giá trị cận biên của z theo x giảm dần khi x tăng. và khi yếu tố x không thay đổi, giá trị cận biên của z theo y giảm dần khi y tăng.

Qui luật lợi ích cận biên giảm dần biểu hiện ở các đạo hàm riêng cấp hai như sau: Hàm số z = f(x,y) biểu hiện qui luật lợi ích cận biên giảm dần khi và chỉ khi

Cơ sở toán học của qui luật lợi ích cận biên giảm dần là:

hàm số giảm khi hay nói cách khác hàm là hàm số nghịch biến theo biến số x khi cố định biến số y

là hàm số giảm khi hay nói cách khác hàm số là hàm số nghịch biến theo biến số y khi cố định biến số x

Sau đây ta xét qui luật lợi ích cận biên giảm dần cho hàm lợi ích và hàm sản xuất

1. Đối với hàm lợi ích U = f(x, y).

Hàm lợi ích tuân theo qui luật lợi ích cận biên giảm dần khi và chỉ khi

Ví dụ: Cho hàm lợi ích U = 3xy -2×2 -y2 (x, y > 0). Khi đó hàm số U tuân theo

2. Đối với hàm sản xuất Q = f(K,L)

Hàm sản xuất Q= f(K, L) tuân theo qui luật lợi ích cận biên giảm dần (quy luật năng suất cận biên giảm dần) khi và chỉ khi

Hàm sản xuất trên có phù hợp với qui luật năng suất cận biên giảm dần (qui luật

lợi ích cận biên giảm dần) vì

Ví dụ 2: Hàm sản xuất dạng Cobb-Douglas aK

Tìm điều kiện của α , β để hàm số trên tuân theo qui luật năng suất cận biên giảm dần

Giải.

Sản phẩm cận biên của Q theo vốn:

Sản phẩm cận biên của Q theo lao động:

Hàm số tuân theo qui luật năng suất cận biên giảm dần khi và chỉ khi

c. Hệ số co giãn

Xét hàm số z = f(x,y) biểu diễn sự phụ thuộc của biến số kinh tế z vào các biến kinh tế x, y.

Định nghĩa 6.11.

+ Hệ số co giãn của z = f(x,y) theo x tại điểm M0(x0,y0) là số đo lượng thay đổi tính bằng phần trăm của z khi x thay đổi 1% trong điều kiện biến y không đổi; kí hiệu: được tính theo công thức:

+ Hệ số co giãn của z theo y tại điểm M0(x0,y0) là số đo lượng thay đổi tính bằng phần trăm của z khi y thay đổi 1% trong điều kiện biến x không đổi; kí hiệu được tính theo công thức:

+ Nếu muốn đo lường sự thay đổi tương đối của z khi tất cả các biến x, y thay đổi (tương đối) theo cùng một tỷ lệ thì ta dùng hệ số co giãn toàn phần ( hệ số co giãn tổng cộng) và được tính theo công thức:

trong đó là hệ số co giãn của z theo x, theo y tại điểm M0

Giá trị εz tại điểm M0 cho biết khi tất cả các biến x, y cùng thay đổi 1% thì z thay đổi εz(M0)%

Ví dụ 1: Cho hàm sản xuất Cobb- Douglas

Giá trị cho biết tại điểm khi lương vốn tăng 1% và lượng lao động không đổi thì sản lượng Q thay đổi là

+ Hệ số co giãn của sản lượng Q theo lao động là

cho biết tại điểm khi lượng lao động tăng 1% và lượng vốn không đổi thì sản lượng Q thay đổi là

Nhận xét

Đối với hàm sản xuất dạng Cobb – Douglass thì tại mọi mức sử dụng (K,L), hệ số co giãn của sản lượng theo vốn luôn cố định là và hệ số co giãn của sản lượng theo lao động luôn cố định là

Ví dụ 2: Trên thị trường gồm 2 mặt hàng: hàng hóa 1 và hàng hóa 2, với các hàm cầu tương ứng là:

 Hãy tính hệ số co giãn của cầu đối với hàng hóa thứ nhất và theo giá của nó tại mức giá (P1 = 5, P2= 10), cho biết ý nghĩa của con số này.

 Hãy tính hệ số co giãn của cầu đối với hàng hóa thứ hai và theo giá của hàng hóa thứ nhất tại mức giá , cho biết ý nghĩa của con số này

Giải.

a. Hệ số co giãn của cầu đối với hàng hóa thứ nhất theo giá của hàng hóa đó tại điểm là :

cho biết tại mức giá khi giá của hàng hóa thứ 2 không thay đổi, nếu giá hàng hóa thứ nhất tăng 1% thì lượng cầu của hàng hóa thứ nhất sẽ giảm đi 1%

b. Hệ số co giãn của cầu đối với hàng hóa thứ hai theo giá của hàng hóa thứ nhất tại điểm

cho biết tại mức giá khi giá của hàng hóa thứ hai không thay đổi, nếu giá hàng hóa thứ nhất tăng 1% thì lượng cầu của hàng hóa thứ 2 sẽ tăng 0,5%.

Ví dụ 3: Hàm sản xuất của một doanh nghiệp là

a. Với K = 25 và L= 64 hãy cho biết mức sản lượng trong ngày của doanh nghiệp.

b. Hãy tính sản lượng cận biên theo vốn và lao động tại K = 25 và L = 64

c. Hàm sản xuất trên có phù hợp với quy luật năng suất cận biên giảm dần không? Hãy giải thích

d. Nếu K tăng 1%, L không đổi thì Q tăng bao nhiêu %.

Giải:

a. Với K =25 và L =64 mức sản lương của doanh nghiệp là:

b. Sản lượng cận biên theo vốn và lao động tại K = 25 và L = 64

c. Hàm sản xuất trên có phù hợp với quy luật năng suất cận biên giảm dần vì

d. Ta có hệ sô co giãn của sản lượng Q theo vốn là Điều này có nghĩa: khi K tăng 1%, L không đổi thì sản lượng tăng 0,5%

d. Hàm thuần nhất và vấn đề hiệu quả của qui mô

Khái niệm hàm thuần nhất

Định nghĩa 6.9 Hàm số z = f(x; y) xác định trên miền D được gọi là hàm thuần

nhất bậc nếu với ta có

Vấn đề hiệu quả của qui mô sản xuất

Trong kinh tế, người ta sử dụng hàm sản xuất để mô tả trình độ công nghệ của các nhà sản xuất. Xét hàm sản xuất Q = f(K,L) phụ thuộc vào hai yếu tố sản xuất K và L.

 Qui mô sản xuất của một doanh nghiệp tăng lên m lần có nghĩa là khi doanh nghiệp đó tăng mức sử dụng tất cả các yếu tố sản xuất lên m lần ( m>1)

 Hiệu quả của việc tăng qui mô sản xuất được xác định thông qua việc so sánh tổng sản phẩm sau khi tăng qui mô lên m lần với m lần tổng sản phẩm khi chưa tăng qui mô.

thì ta nói hàm sản xuất có hiệu quả tăng theo qui mô

mf (K, L) thì ta nói rằng hàm sản xuất có hiệu quả giảm theo qui mô

+ Nếu f (mK, mL) mf (K, L) thì ta nói rằng hàm sản xuất có hiệu quả không đổi theo qui mô.

Liên hệ hiệu quả của quy mô với bậc thuần nhất

Giả sử hàm sản xuất Q = f(K, L) là hàm thuần nhất bậc k.

-Nếu k > 1 thì hàm sản xuất có hiệu quả tăng theo quy mô

-Nếu k < 1 thì hàm sản xuất có hiệu quả giảm theo quy mô

-Nếu k = 1 thì hàm sản xuất có hiệu quả không đổi theo quy mô

có hiệu quả không đổi theo quy mô.

thì nó có hiệu quả tăng theo quy mô

-Nếu    < 1 thì nó có hiệu quả giảm theo quy mô

thì nó có hiệu quả không đổi theo quy mô

d. Hệ số thay thế (bổ sung).

i. Phương trình đường mức của một số hàm kinh tế

 Phương trình đường mức của hàm sản xuất

Cho hàm sản xuất Q = f(K, L); Q0 là mức sản lượng cố định (cho trước ), phương trình đường mức của hàm sản xuất có dạng f( K, L) = Q0

Phương trình đường mức của hàm sản xuất (trong kinh tế học gọi là phương trình đường đồng lượng) là tổ hợp tất cả các yếu tố sản xuất ( K,L) cho cùng một mức sản lượng Q0 cố định.

Ví dụ : Một công ty sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản xuất:

Phương trình đồng lượng ứng với mức sản lượng Q = 200 là:

 Phương trình đường mức của hàm chi phí

Cho hàm chi phí TC = f( K, L); TC0 là mức chi phí cố định (cho trước), đường mức của hàm chi phí có dạng f(K, L) = TC0

Phương trình đường mức của hàm chi phí (trong kinh tế học gọi là đường đồng phí) bao gồm tập hợp tất cả vốn và lao động (K, L) mà người ta có thể mua với một chi phí cố định TC0.

 Phương trình đường mức của hàm lợi ích

Cho hàm lợi ích U= U( x,y ) và U0 là mức lợi ích cho trước.

Phương trình đường mức (hay còn gọi là đường bàng quan) của hàm lợi ích là

Đường bàng quan là đường tập hợp tất cả các giỏ hàng (x, y) đem lại cùng một mức lợi ích U0 cho người tiêu dùng.

Ví dụ: Giả sử một hộ gia đình có hàm lợi ích tiêu dùng với 2 loại hàng hóa là U = 40×0,25y0,5 (x > 0, y > 0), trong đó x là số đơn vị của hàng hóa thứ nhất và y là số đơn vị của hàng hóa thứ hai.

Viết phương trình đường bàng quan, biết rằng một trong các giỏ hàng thuộc đường bàng quan đó là: x = 16, y = 3.

Giải. Giá trị lợi ích tương ứng khi sử dụng giỏ hàng x =16 và y = 9 là:

Phương trình đường bàng quan ứng với mức lợi ích U0 = 240 là:

ii. Hệ số thay thế và hệ số bổ sung

Cho hàm số kinh tế z = f(x,y) và điểm M0(x0,y0). Khi đó z0= f(x0,y0).

Bài toán đặt ra nếu ta cho hai biến x, y thay đổi dọc theo đường mức

f(x,y) = z0, thì sự thay đổi của hai biến x và y phải tuân theo tỷ lệ nào để vẫn đảm bảo giá trị z = z0. Tùy thuộc vào ý nghĩa thực tiễn của hai biến x và y, tỷ lệ này có thể gọi là:

+ hệ số thay thế, chẳng hạn như là tỷ lệ thay thế giữa vốn và lao động trong sản xuất

+ hệ số bổ sung, chẳng hạn như là bổ sung giữa hai mặt hàng trong tiêu dùng Ta có thể tính hệ số này như sau:

Áp dụng công thức tính vi phân toàn phần:

Do các biến x, y thay đổi và z = z0 không đổi nên với điều kiện f’y ≠ 0 ta có

 Nếu k < 0 thì ta nói rằng x có thể thay thế (chuyển đổi) được cho y với tỉ lệ │k│, tỉ lệ này cho biết khi tăng (giảm) mức y một đơn vị thì phải giảm (tăng) mức x lên│k│ đơn vị để giữ nguyên mức giá trị của z0

 Nếu k > 0 thì ta nói rằng x và y bổ sung cho nhau với tỉ lệ │k│, tỉ lệ này cho biết khi tăng (giảm) mức y một đơn vị thì phải tăng (giảm) mức x lên│k│đơn vị để giữ nguyên mức giá trị của z0

 Nếu k = 0 thì ta nói rằng x ,y không thay thế (hoặc bổ sung) cho nhau

Ví dụ 1: Một doanh nghiệp có hàm sản xuất

nếu biết rằng tại mức hệ số thay thế của vốn cho lao

động là 1 3 .

Giải. Áp dụng công thức hệ số thay thế của vốn cho lao động ta có:

Ví dụ 2: Một hộ gia đình có hàm lợi ích tiêu dùng 2 loại hàng hóa là

với x là số đơn vị của hàng hóa A, y số đơn vị của hàng hóa B (x > 0, y > 0)

Tại mức sử dụng 40 đơn vị hàng hóa A ( x =40) và 40 đơn vị hàng hóa

B( y = 40), hãy:

a. Viết phương trình đường bàng quan

b. Hãy tính hệ số bổ sung của hàng hóa A cho hàng hóa B và giải thích ý nghĩa của kết quả tìm được.

Giải.

a. Giá trị lợi ích tương ứng khi sử dụng túi hàng x =40 và y = 40 là:

Phương trình đường bàng quan ứng với mức lợi ích U0 = 401,75 là:

Tại x = 40, y = 40 thì hệ số bổ sung của hàng hóa A cho hàng hóa B là:

Điều này có nghĩa là: Để thu được cùng một mức lợi ích là U0 = 40 1,75 thì khi giảm 1 đơn vị hàng hóa B ta phải tăng hàng hóa A lên 2 đơn vị .

6.4. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HAI BIẾN SỐ

6.4.1. Định nghĩa 6.12

Cho hàm số xác định trên miền D, M0(x0,y0) thuộc D + Hàm số gọi là đạt cực đại tại điểm M0(x0,y0) nếu với mọi điểm thuộc lân cận của điểm M0(x0,y0), ta có:

gọi là đạt cực tiểu tại điểm M0(x0,y0) nếu với mọi điểm thuộc lân cận của điểm M0(x0,y0), ta có:

Giá trị cực đại, cực tiểu được gọi chung là cực trị của hàm số. Điểm M mà tại đó hàm số đạt cực trị được gọi là điểm cực trị.

6.4.2. Điều kiện cần của cực trị

Định lý 6.5. Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm M0(x0,y0) mà tại đó các

đạo hàm riêng cấp một   f x ;   f y tồn tại thì các đạo hàm riêng bằng không

(6.1)

Điểm M0 thỏa mãn điều kiện (6.1) được gọi là điểm dừng của hàm số

Biểu thức (6.1) là điều kiện cần của cực trị, nó cho phép chúng ta thu hẹp việc tìm cực trị tại những điểm dừng hoặc những điểm ở đó các đạo hàm riêng bậc nhất của hàm số không tồn tại.Tuy nhiên, đây là điều kiện cần, chưa phải là điều kiện đủ. Điều kiện đủ nêu dưới đây cho phép ta kiểm tra tại điểm dừng hàm số có thật sự đạt cực trị hay không.

6.4.3. Điều kiện đủ của cực trị.

Định lý 6.6. Giả sử điểm M0(x0,y0) là điểm dừng của hàm số các đạo hàm riêng cấp 2 tại điểm M0 , kí hiệu là:

khi đó:

+ Nếu AC – B2 > 0 thì hàm số đạt cực trị tại điểm M0(x0,y0)

 M0(x0,y0) là điểm cực đại nếu A < 0

 M0(x0,y0) là điểm cực tiểu nếu A > 0

+ Nếu AC – B2 < 0 thì hàm số không đạt cực trị tại điểm M0(x0,y0)

+ Nếu AC – B2 = 0 thì chưa thể kết luận được tại điểm M0(x0,y0) hàm số có đạt cực trị hay không. (Trong trường hợp này ta phải dùng trực tiếp định nghĩa để kiểm tra).

Từ định lí trên, ta có qui tắc tìm cực trị của hàm số như sau:

Bước 1: Tìm miền xác định và tọa độ các điểm dừng của hàm số

Bước 2: Tính giá trị các đạo hàm riêng cấp 2 tại các điểm dừng và biểu thức AC –B2

Bước 3:

 AC  B2  0  Nếu  A  0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm dừn 

 Nếu hàm số không đạt cực trị tại điểm dừng

 Nếu thì chưa kết luận được về tính cực trị (trong trường hợp này thường dùng trực tiếp định nghĩa để kiểm tra).

Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số xy

Giải: Điểm dừng của hàm số là nghiệm của hệ phương trình

Giải hệ phương trình, ta tìm được tọa độ của 2 điểm dừng

Vậy điểm là điểm cực tiểu và giá trị cực tiểu của hàm số

Vậy tại điểm M 2  0; 0 hàm số không đạt cực trị.

Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số ex

Giải. Điểm dừng của hàm số là nghiệm của hệ phương trình

Giải hệ phương trình, ta tìm được tọa độ của 1 điểm dừng là

Các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số

Tại điểm ta có:

Ví dụ 3: Tìm cực trị của hàm số xy

Giải: Điểm dừng của hàm số là nghiệm của hệ phương trình

Thay (1) vào (2) ta được

Hàm số có các điểm dừng:

Hàm số có điểm dừng:

+ Tại điểm

Vì nên để đưa ra được kết luận ta phải sử dụng định nghĩa để kiểm tra.Thật vậy: cho x ,y các số gia tương ứng là ∆x, ∆y, suy ra số gia của hàm số tại điểm M1 là

thay đổi dấu trong lân cận của điểm M1, nghĩa là z không đạt cực trị tại điểm M1.

6.5. Hàm ẩn và cực trị có điều kiện

6.5.1. Hàm ẩn

a. Định nghĩa:

Cho phương trình F(x,y)=0 (6.2) trong đó là hàm số xác định trên tập hợp U  R2 Nếu tồn tại một hàm . xác định trên một khoảng sao cho  x, f  x  U và với mọi thì hàm số y = f(x) gọi là hàm số ẩn xác định bởi phương trình (6.4)

xác định hàm ẩn là hàm số của x trên [-a,a]

Trong trường hợp này ta tìm được biểu thức tường minh của y theo x Tuy nhiên, điều này không phải lúc nào cũng làm được, chẳng hạn từ biểu thức

x y  y x ( x > 0, y > 0) không thể tìm được biểu thức tường minh của y theo x.

Khi đó, ta phải xét hàm số y = f(x) gián tiếp dưới dạng phương trình (6.2). Ta có định lý sau về sự tồn tại, tính liên tục và tính khả vi của hàm số ẩn.

Định lý 6.7. Giả sử F(x,y) xác định, liên tục, có các đạo hàm riêng liên tục trong một lân cận của điểm M 0 (x0; y0 ) thỏa mãn các điều kiện:

Khi đó:

-Phương trình (6.2) xác định một hàm số y=f(x) trong một lân cận V của điểm x0

– Tại x0 hàm y =f(x) nhận giá trị y0 với y0 = f(x0)

– Hàm số y= f(x) có đạo hàm liên tục trong lân cận V của điểm x0

b. Đạo hàm của hàm ẩn.

Giả sử các giả thiết của định lí trên được thỏa mãn, khi đó phương trình (6.4) xác định một hàm ẩn y =y(x), liên tục và có đạo hàm liên tục trong lân cận V của điểm x0.Trong lân cận đó: F(x, y(x))=0

Lấy đạo hàm hai vế đối với x, ta có:

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm ẩn xác định bởi phương trình

Tại những điểm phương trình trên xác định một hàm ẩn

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hảm ẩn xác định bởi phương trình

Tại những điểm  x, y   R2 mà F y 0′ phương trình trên xác định một hàm ẩn

6.5.2. Cực trị có điều kiện

Người ta gọi cực trị của hàm số: z = f(x, y) (6.3) trong đó, các biến x, y thỏa mãn điều kiện g(x,y) = b (6.4) là cực trị có điều kiện.

Nhận xét 1:

 Với sự có mặt của phương trình điều kiện (6.4) miền biến thiên của (x, y) bị thu hẹp.

 Nếu từ (6.4) ta biểu diễn được y dưới dạng hàm hiện (trực tiếp)

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số z = xy +2x (1) với điều kiện 2x + y =10 (2)

Giải. Từ điều kiện (2) suy ra y = 10 – 2x, thay vào (1) suy ra:

suy ra hàm số đạt cực đại khi x = 3; y = 4 và zmax = 18

Nhận xét 2:

Nếu từ (6.4) ta chỉ biểu diễn được y dưới dạng ẩn y = f(x) thì bài toán tìm cực trị có điều kiện của hàm hai biến số sẽ được giải theo một trong hai phương án sau:

Phương án 1:Chuyển bài toán tìm cực trị có điều kiện về bài toán tìm cực trị của hàm hợp một biến số

+ Giả sử hàm f(x,y); g(x,y) là các hàm khả vi; h(x,y) = g(x,y) -b thỏa mãn định lý về tồn tại hàm ẩn và y = y(x) là hàm ẩn được xác định bởi điều kiện (6.4).

+ Khi đó bài toán tìm cực trị của hàm (6.3) và điều kiện (6.4) được đưa về bài toán tìm cực trị của hàm hợp một biến

trong đó

trong đó y ‘ x được tính dựa vào công thức tính đạo hàm của hàm ẩn

Từ (3) và (4) , khử y'(x) ta được

Như vậy, tại (x,y) mà hàm số có thể đạt cực trị có điều kiện ràng buộc là

Giải hệ này ta tìm được tọa độ các điểm dừng có điều kiện.

Giả sử M(x0,y0) là điểm dừng có điều kiện tìm được từ hệ trên.Để có kết luận cuối cùng về điểm cực trị ta đi xét dấu của tại điểm M(x0,y0)

Ví dụ: Tìm giá trị cực trị của hàm số

với điều kiện Biết rằng tại lân cận của các điểm cực trị điều kiện ràng buộc xác định một hàm ẩn.

Giải.

+ Theo qui tắc tính đạo hàm của hàm hợp:

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm ẩn ta có

Áp dụng (5) ta có tọa độ điểm dừng là nghiệm của hệ phương trình

Giải hệ phuơng trình ta tìm được tọa độ của hai điểm dừng là:M1(2,2); M2(-2,-2)

+ Tính đạo hàm cấp hai của hàm

+ Xét taị điểm M1(2,2)

suy ra hàm số đạt cực tiểu và giá trị cực tiểu

+ Xét taị điểm M2(-2,-2)

suy ra hàm số đạt cực đại và giá trị cực đại

Phương án 2 ( Phương pháp nhân tử Lagrange)

Bản chất của phương pháp nhân tử Lagrange là đưa việc tìm cực trị có điều kiện ràng buộc của hàm hai biến sang tìm cực trị không điều kiện của hàm Lagrange

Điều kiện cần của cực trị có điều kiện

Xuất phát từ hàm (6.3) và điều kiện (6.4) ta lập hàm Lagrange:

trong đó biến được gọi là nhân tử Lagrange.

Định lý 6.5. Giả sử các hàm f(x,y) và g(x,y) có các đạo hàm riêng liên tục trong một lân cận của điểm M0(x0,y0) và Khi đó, nếu hàm số (6.3), với điều kiện (6.4), đạt cực trị tại điểm M0(x0,y0) thì tồn tại sao cho là nghiệm của hệ phương trình:

(6.6)

Định lý trên cho ta thấy điều kiện cần để hàm số (6.3) với ràng buộc (6.4) đạt cực trị quy về điều kiện cần của hàm Lagrange (6.5) đạt cực trị.

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số f(x, y) = 8x +15y+28 với điều kiện

2×2 +3y2 =107

Giải. Lập hàm Lagrange

Hệ phương trình của điều kiện cần là:

Từ phương trình (2) suy

thay vào phương trình (1) ta được:

Hàm Lagrange có hai điểm dừng: và

Vậy hàm số hàm số f(x, y) = 8x +15y +28 với điều kiện 2×2 +3y2 =107 chỉ có thể đạt cực trị tại hai điểm M1(4; 5)và M2(-4; -5)

Để có được kết luận cuối cùng về cực trị của hàm số ta phải dùng điều kiện đủ sau để kiểm tra:

 Điều kiện đủ của cực trị có điều kiện

Gọi là điểm dừng của hàm Lagrange, tức là một nghiệm của hệ phương trình (6.5).

Giả sử các hàm số f(x,y) và g(x,y) có các đạo hàm riêng liên tục, tại điểm M0(x0,y0) ta kí hiệu:

Định lý 6.8. Nếu định thức thì hàm số f(x,y) với điều kiện g(x,y) = b đạt giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) tại điểm M0(x0,y0)

Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số f(x, y) = 8x +15y+28 với điều kiện

2×2 +3y2 =107

Giải. Theo ví dụ trên ta có hàm Lagrange có hai điểm dừng: M 1 = (4; 5; 0,5) và M 2 = (-4; -5; -0,5)

Các đạo hàm riêng cấp một của hàm g(x,y) và các đạo hàm riêng cấp hai của hàm Lagrange là:

* Tại điểm ta có H > 0 nên hàm số đạt cực đại tại điểm và

ta có H < 0 nên hàm sốđạt cực tiểu tại điểm và

Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số f(x, y) = 12x+3y với điều kiện

Giải: Lập hàm Lagrange:

Hệ phương trình của điều kiện cần là:

Từ phương trình (2) suy ra: y 4x

Thay vào phương trình (1) ta được:

Hàm Lagrange có một điểm dừng: M (25;100, 6)

Các đạo hàm riêng cấp một của hàm g(x,y) và các đạo hàm riêng cấp hai của hàm Lagrange:

0 1 0, 25

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm M(25; 100) và zmin = 600

Ví dụ 3: Tìm cực trị của hàm số f(x, y) = x0,4y0,8 với điều kiện 5x +2y = 240 Giải:

Cách 1: Dùng phương pháp nhân tử Lagrange

Lập hàm Lagrange:

Hệ phương trình của điều kiện cần là:

Từ phương trình (2) suy

Thay vào phương trình (1) ta được:

Hàm Lagrange có một điểm dừng:

Các đạo hàm riêng cấp một của hàm g(x,y) và các đạo hàm riêng cấp hai của hàm Lagrange:

suy ra giá trị của các đạo hàm riêng tại điểm dừng

Vậy hàm số f(x, y) = x0,4y0,8 với điều kiện 5x +2y = 240 đạt cực đại tại điểm M(16; 80) và zmax = 160,4.800,8

Cách 2: Từ điều kiệnsuy ra và chuyển bài toán về tìm cực trị của hàm một biến (bạn đọc tự giải )

6.6.3. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm hai biến số trong một miền đóng bị chặn

Ta có mọi hàm số hai biến liên tục trong một miền đóng bị chặn D đều đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong miền ấy. Hàm số đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất tại một điểm trong D, nhưng cũng có thể đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất tại một điểm trên biên của D.

Do đó, muốn tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x,y) trên trong miền đóng bị chặn D ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm các điểm dừng của hàm f(x,y) trong miền D và tính giá trị của f tại các điểm đó.

Bước 2: Tìm điểm dừng của hàm số f(x,y) trên biên của D; tính giá trị của f tại các điểm đó và tại các đầu mút ( nếu có)

Bước 3: Giá trị lớn nhất trong các số tìm được của bước 1 và bước 2, chính là giá trị lớn nhất; còn giá trị nhỏ nhất trong các số đó là giá trị nhỏ nhất cần tìm.

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

trong miền đóng D xác định bởi

Giải: Hàm số z liên tục với mọi x, y nên nó đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên miền D.

Điểm dừng của hàm số là nghiệm của hệ phương trình

Vậy hàm số có 5 điểm dừng là:

Cả 5 điểm dừng này đều nằm trong miền D.Giá trị của z tại các điểm tương ứng

+ Xét trên biên

z 8×2  3y2 1  (2×2  y2 1)2

Áp dụng phương pháp nhân tử Lagrange ta tìm được trên biên của D hàm số f(x,y) có các điểm dừng là M1(1,0) ;M2(-1,0); M3(0,1);M4(0,-1) và giá trị của f(x,y) tại các điểm này là f(M1)= f(M2)= f(M3)= f(M4) = 0

+ So sánh tất cả các giá trị tại các điểm dừng trong miền D và các điểm trên biên của D ta thấy rằng:

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 tại các điểm O; M1; M2; M3; M4

1  1 Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại bằng 1 tại các điểm 2 2 A3 ( ; 0); A4 ( ; 0)

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong miền tam giác OAB với O  0; 0 , A1; 0 , B  0;1

Giải: Vì hàm số z liên tục với mọi x, y nên nó đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên miền tam giác OAB.

+ Xét trong miền tam giác OAB

Điểm dừng của hàm số là nghiệm của hệ phương trình

Vậy trong tam giác OAB hàm số z có một điểm dừng4 3

+Xét các giá trị của z trên biên:

Vậy trên cạnh OA hàm số z có một điểm dừng là và5 3

 Trên cạnh

Vậy trên cạnh OB hàm số z có một điểm dừng và

+ Ngoài trên biên hàm số có thể đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất tại các đỉnh O, A, B

So sánh tất cả các giá trị tìm được trong miền tam giác OAB, trên các cạnh và tại các đỉnh của tam giác ta thấy:

 Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 3 tại A , tại B

 Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4/3 tai điểm N(1/3;1/3)

6.7. ỨNG DỤNG CỦA CỰC TRỊ TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ

6.7.1. Một số bài toán về sự lựa chọn tối ưu của nhà sản xuất

a. Bài toán về sự lựa chọn tối ưu mức sử dụng các yếu tố sản xuất

1. Bài toán tối đa hóa lợi nhuận.

Giả sử một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo (sản xuất một loại sản phẩm, có hàm sản xuất là:

Q= f(K,L).

Mục tiêu của doanh nghiệp là thu lợi nhuận tối đa trên cơ sở sử dụng hợp lý các yếu tố đầu vào là vốn và lao động, với giả thiết các yếu tố sản xuất khác không thay đổi.

Vì cạnh tranh hoàn hảo nên doanh nghiệp phải chấp nhận giá cả của thị trường, kể cả giá đầu vào và đầu ra. Gọi P là giá thị trường của sản phẩm do doanh nghiệp sản xuất; là giá thuê vốn và giá thuê lao động. Khi đó hàm lợi nhuận của doanh nghiệp là:

là chi phí cố định) trong đó: P.f (K,L) là tổng doanh thu; là tổng chi phí cho các yếu tố đầu vào của quá trình sản xuất

Bài toàn tối đa hóa lợi nhuận có nội dung như sau:

Chọn (K,L) để hàm đạt giá trị cực đại.

Doanh nghiệp bán sản phẩm của mình trong một thị trường canh tranh hoàn hảo với giá cố định là $1 một đơn vị sản phẩm và mua 2 yếu tố đầu vào K và L với giá lần lượt là wK =$100 và wL=$150 một đơn vị.

Hãy cho biết phương án sử dụng các yếu tố (K, L) sao cho việc sản xuất của doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa.

Giải.

Tọa độ điểm dừng là nghiệm của hệ phương trình

Chia phương trình (1) cho phương trình (2) theo vế với vế ta được: K = 4L Thay vào K = 4L vào phương trình (1) ta có nghiệm của hệ phương trình là

L 16

Các đạo hàm riêng cấp hai của hàm TP là:

2. Tối đa hóa sản lượng với ngân sách cố định.

Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo sản xuất 1 loại sản phẩm với hàm sản xuất Q = f(K,L)

Giả sử hãng tiến hành sản xuất với một ngân sách cố định b dùng chi cho việc mua các yếu tố đầu vào K và L.

Vì b cố định, giá sản phẩm P là yếu tố do thị trường quyết định nên dẫn đến là đồng nhất mục tiêu tối đa hóa lợi nhuận TP với mục tiêu tối đa hóa sản lượng Q

= f(K,L)

Bài toán tối đa hóa lợi nhuận được đặt ra như sau:

Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange đưa bài toán trên về bài toán tìm cực trị có điều kiện quen thuộc.

Ví dụ: Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo có hàm sản xuất Q = 2. K0.3L0.5

Giả sử giá thuê tư bản là wK = 6, giá thuê lao động là wL=2 và doanh nghiệp tiến hành sản xuất trong điều kiện ngân sách cố định là 4800. Hãy cho biết doanh nghiệp đó sử dụng bao nhiêu đơn vị vốn và lao động thì thu được sản lượng tối đa.

Giải:

Bài toán trở thành tìm cực trị của hàm số

Hàm Lagrange tương ứng là:

Tọa độ điểm dừng của hàm Lagrange là nghiệm của hệ phương trình:

Điều kiện đủ:

Tính các đạo hàm riêng cấp một của hàm g(K, L) và các đạo hàm riêng cấp hai của hàm Lagrange:

Tại K= 300 và L = 1500 thì

Vậy hàm số đạt giá trị cực đại khi L 

Hay nói cách khác, doanh nghiệp nên sử dụng K = 300 và L=1500 thì sản lượng thu được đạt giá trị tối đa vị sản lượng)

3.Tối thiểu hóa chi phí khi sản xuất một lượng sản phẩm cố định.

Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo với hàm sản xuất Q= f(K,L)

Giả sử doanh nghiệp lập kế hoạch sản xuất một lượng sản phẩm cố định Q0 Khi đó hàm lợi nhuận

Vì TR = P.Q0 cố định nên mục tiêu tối đa hóa lợi nhuận đồng nhất với mục tiêu tối thiểu hóa chi phí sản xuất TC.

Trong trường hợp này bài toán tối đa hóa lợi nhuận được đặt ra như sau:

Tìm (K,L) để hàm số TC = WK .K + WL.L đạt cực tiểu với điều kiện f(K,L) = Q0 Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange đưa bài toán trên về bài toán tìm cực trị của hàm 2 biến có điều kiện thông thường.

Ví dụ: Một công ty sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản xuất như sau:

công ty này nhận được hợp đồng cung cấp 5600 sản phẩm. Hãy cho biết phương án sử dụng các yếu tố K, L sao cho việc sản xuất lượng sản phẩm theo hợp đồng nói trên tốn ít chi phí nhất, trong điều kiện giá thuê tư bản WK = 70, và giá thuê lao động WL =20.

Giải: Bài toán trở thành: Tìm (K,L) để hàm số TC = 70K + 20L đạt giá trị cực tiểu với điều kiện K(L+5) = 5600

Lập hàm Lagrange

Hệ phương trình điều kiện cần:

Các đạo hàm riêng cấp một của hàm g(K,L) và các đạo hàm riêng cấp hai của hàm Lagrange

Hay nói cách khác: để cho việc sản xuất lượng sản phẩm theo hợp đồng nói trên tốn ít chi phí nhất, trong điều kiện giá thuê tư bản WK = 70, và giá thuê lao động WL =20 thì doanh nghiệp nên sử dụng 40 đơn vị vốn và 135 đơn vị lao động.

b. Một số bài toán về lựa chọn mức sản lượng tối ưu

1. Bài toán về lựa chọn mức sản lượng tối ưu của doanh nghiệp cạnh tranh sản xuất hai loại sản phẩm

Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo sản xuất hai loại sản phẩm. Giả sử tổng chi phí kết hợp được tính theo số lượng sản phẩm

Q1: số lượng sản phẩm thứ nhất

Q2: số lượng sản phẩm thứ hai

Do tính chất cạnh tranh, doanh nghiệp phải chấp nhận giá thị trường của các sản phầm, gọi P1, P2 tương ứng là giá thị trường của hai loại sản phẩm Q1, Q2; hàm tổng lợi nhuận có dạng:

Bài toán đặt ra là hãy tìm một cơ cấu sản lượng (Q1,Q2) để hàm tổng lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất.

Ví dụ: Giả sử hàm tổng chi phí của một doanh nghiệp cạnh tranh sản xuất hai

loại sản phẩm là và giá của các sản phẩm tương ứng Hãy xác định mức sản lượng (Q1,Q2) để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa.

Giải:

Hàm doanh thu TR = 60Q1 + 34Q2

Điểm dừng là nghiệm của hệ phương trình

Vậy doanh nghiệp có lợi nhuận cực đại nếu sản xuất 4 đơn vị hàng hóa thứ nhất và 3 đơn vị hàng hóa thứ hai.

2. Bài toán về sự lựa chọn mức sản lượng tối ưu của doanh nghiệp sản xuất độc quyền

 Trường hợp độc quyền sản xuất kết hợp hai loại sản phẩm hàng hóa Giả sử tổng chi phí tính theo số lượng sản phẩm của một doanh nghiệp độc quyền sản xuất hai loại hàng hóa là TC=TC(Q1,Q2)

Q1:số lượng sản phẩm hàng hóa thứ nhất

Q2: số lượng sản phẩm hàng hóa thứ hai

Doanh nghiệp độc quyền định giá sản phẩm của mình căn cứ vào chi phí sản xuất và cầu của thị trường, giả sử hàm cầu của hai loại sản phẩm trên là:

Hàm lợi nhuận của doanh nghiệp là:

Bài toán trở thành: tìm một cơ cấu sản xuất (Q1,Q2) để hàm tổng lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất.

Để giải bài toán này, chúng ta áp dụng phương pháp giải bài toán cực trị của hàm hai biến thông thường, từ đó xác định được mức sản lượng (Q1, Q2 ) để lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất và từ đó xác định được giá bán tối ưu tương ứng là:

Ví dụ 1: Giả sử một doanh nghiệp độc quyền sản xuất hai loại sản phẩm với hàm chi phí TC Q1 2  Q2 2  2Q1Q2  20

Giả sử cầu của các loại hàng hóa đó là: Q1= 25 – 0.5P1 và Q2= 30 – P2

Hãy xác định mức sản lượng và giá bán tối ưu cho từng sản phẩm.

Giải: Hàm lợi nhuận của doanh nghiệp là: TP = P1Q1+P2Q2 -TC(Q1,Q2)

Từ hàm cầu của hai loại hàng hóa ta có:

suy ra hàm lợi nhuận

Giải bài toán cực trị không điều kiện đối với hàm số hai biến số TP(Q 1,Q2) ta xác định được mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa và giá bán để đạt được lợi nhuận tối đa là:

 Trường hợp doanh nghiệp độc quyền sản xuất một loại sản phẩm hàng hóa nhưng tại hai cơ sở sản xuất khác nhau

Trong trường hợp này, doanh nghiệp lựa chọn mức sản lượng và giá bán tối ưu căn cứ vào chi phí ở từng cơ sở sản xuất của các nhà máy và cầu đối với sản phẩm.

Tổng lợi nhuận của doanh nghiệp là TP = D-1(Q).Q – TC(Q1) – TC(Q2) trong đó:

 Q là tổng sản lượng của doanh nghiệp Q = Q1+Q2

 Q1 là lượng sản phẩm sản xuất ở cơ sở thứ nhất

 Q2 là lượng sản phẩm sản xuất ở cơ sở thứ hai

 P =D-1(Q) là hàm cầu ngược

Bài toán trở thành tìm cơ cấu sản xuất (Q1,Q2) để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa và từ đó suy ra giá bán tối ưu của sản phẩm.

Ví dụ 2: Một công ty độc quyền sản xuất một loại hàng hóa tại hai nhà máy với các hàm chi phí cận biên tương ứng là MC1= 2+ 0,1.Q1 và MC2= 4 + 0,08.Q2 (Qi là lượng sản phẩm sản xuất ở nhà máy thứ i, i =1,2). Công ty bán sản phẩm trên thị trường với hàm cầu P = 58 -0,05.Q. Nếu công ty đó muốn tối đa hóa lợi nhuận thì phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm và bán với giá bao nhiêu?

Giải: Tổng lợi nhuận của công ty là:

Tại điểm (Q1,Q2) = (180; 200) ta có

Như vậy, công ty đạt lợi nhuận tối đa khi sản xuất 180 sản phẩm tại nhà máy thứ nhất và 200 sản phẩm ở nhà máy thứ 2. Tổng sản lượng tối ưu của nhà máy là

Q = Q1+Q2= 180 + 200 = 380 với giá bán tối ưu là P= 58 – 0,05.380 = 39

 Trường hợp doanh nghiệp độc quyền sản xuất một loại sản phẩm hàng hóa, nhưng tiêu thụ sản phẩm ở hai thị trường riêng biệt.

Do tính chất độc quyền nên nhà sản xuất ra quyết định sản xuất và quyết định giá bán sản phẩm căn cứ vào chi phí sản xuất và cầu của thị trường đối với sản phẩm của mình.

Giả sử chi phí của doanh nghiệp là TC = TC(Q1+Q2) và hàm cầu đối với các sản phẩm là:

Tổng lợi nhuận của doanh nghiệp là TP = P1Q1+P2Q2 – TC(Q) với ( Q = Q1+Q2)

Trường hợp 1: Nhà sản xuất được phép phân biệt giá bán

Bài toán được đặt ra là chọn (Q1, Q2 ) để hàm số:

đạt giá trị cực đại, từ đó ra quyết định mức sản lượng tối ưu

góc độ của toán học thì đây thực chất là bài toán tìm cực trị không điều kiện của hàm số hai biến số.

Trường hợp 2 : Nhà sản xuất không được phép phân biệt giá bán

Bài toán đặt ra là chọn (Q1, Q2 ) để hàm số :

đạt giá trị cực đại với điều kiện ràng buộc là : P1 = P2 =

Rồi từ đó đưa ra quyết định mức sản lượng tối ưuvà giá bán tối ưu

.Nhìn từ góc độ của toán học thì đây thực chất là bài toán tìm cực trị có điều kiện của hàm số hai biến số.

Ví dụ 3: Một doanh nghiệp độc quyền sản xuất một loại hàng hóa với hàm chi phí TC = 35+40Q với (Q = Q1+Q2). Doanh nghiệp bán sản phẩm trên hai thị trường có hàm cầu tương ứng:

Hãy xác định mức sản lượng tối ưu và giá bán tối ưu cho mỗi thị trường trong hai trường hợp:

a. Doanh nghiệp được phép phân biệt giá.

b. Doanh nghiệp không được phép phân biệt giá.

Giải: Hàm cầu ngược trên 2 thị trường tương ứng:

Tổng doanh thu của doanh nghiệp trên cả 2 thị trường là

= (120-5Q1).Q1+(200 – 20Q2).Q2 – 35 – 40(Q1+Q2)

a. Doanh nghiệp được phép phân biệt giá

Khi doanh nghiệp được phân biệt giá bán thì các biến Q1,Q2 độc lập với nhau, bài toán trở về tìm cực trị không điều kiện của hàm 2 biến TP(Q1,Q2). Điều kiện cần:

Hàm số có một điểm dừng là (Q1;Q2) = (8; 4) Điều kiện đủ:

Các đạo hàm riêng cấp hai

Tại điểm (Q1;Q2) = (8; 4) ta có:

Suy ra hàm số đạt cực đại

Như vậy, để tối đa hóa lợi nhuận trong trường hợp được phép phân biệt giá, doanh nghiệp sẽ bán 8 sản phẩm trên thị trường thứ nhất và 4 sản phẩm trên thị trường thứ hai. Khi đó tổng lợi nhuận thu được là TP = 605 tại mức sản lượng tối ưu là Q = Q1+Q2=8+4 =12 và giá trị tối ưu trên hai thị trường tương ứng là

b . Doanh nghiệp không được phép phân biệt giá Bài toán đưa về tìm cực trị của hàm số

Lập hàm Lagrange

Điều kiện cần của bài toán cực trị có điều kiện

Hàm Lagrange có một điểm dừng là

Điều kiện đủ

Các đạo hàm riêng cấp một của hàm g(Q1;Q2) = Q1 -4Q2 và các đạo hàm riêng cấp hai của hàm Lagrange là:

Như vậy, nếu không được phép phân biệt giá thì doanh nghiệp thu được lợi nhuận tối đa khi bán sản phẩm ở thị trường thứ nhất và sản phẩm ở thị trường thứ hai, với giá bán tối ưu là và lợi nhuận thu được tối đa là

6.7.2. Một số bài toán về sự lựa chọn tối ưu của người tiêu dùng

a. Bài toán tối đa hóa lợi ích

Với giá cả các loại hàng hóa và ngân sách tiêu dùng cho trước, người tiêu dùng cần quyết định chọn mua loại hàng nào, khối lượng bao nhiêu sao cho chi tiêu không vượt quá ngân sách tiêu dùng nhưng phải đáp ứng tốt nhất sở thích của mình.

Kí hiệu: M là ngân sách tiêu dùng (lượng tiền dùng cho việc tiêu dùng)

P1 là giá của hàng hóa x

P2 là giá của hàng hóa y

U(x,y) là hàm lợi ích của người tiêu dùng với túi hàng (x,y)

Ràng buộc về ngân sách của người tiêu dùng được biểu diễn bởi phương trình

Từ các yêu cầu trên ta có bài toán tối đa hóa lợi ích có nội dung như sau :

Chọn (x,y) để hàm lợi ích U = U(x,y) đạt cực đại với điều kiện P1x+P2y = M

Nhận xét:

Giải bài toán tối đa hóa lợi ích trên bằng phương pháp nhân tử Lagrange ta tìm được nghiệm của bài toán cực trị là:

Các hàm (1), (2) (phụ thuộc vào giá P1, P2 và ngân sách chi cho tiêu dùng M) xác định như vậy được gọi là các hàm cầu Marsshall -hàm cầu của người tiêu dùng theo quan điểm tối đa hóa lợi ích trong điều kiện ngân sách chi cho tiêu dùng cố định.

Ví dụ 1: Cho hàm lợi ích tiêu dùng U = (x+3).y, trong đó x là lượng hàng hóa A; y là lượng hàng hóa B

Hãy chọn giỏ hàng (x,y) đem lại lợi ích tối đa trong điều kiện giá hàng hóa A là $5, giá hàng hóa B là $20, ngân sách tiêu dùng là $185

Giải: Phương trình thể hiện ràng buộc ngân sách là 5x + 20y = 185

Bài toán trở thành: Chọn (x,y) để hàm lợi ích U = (x+3).y đạt cực đại, với điều kiện 5x+20y =185.

Lập hàm Lagrange

+ Điều kiện cần của bài toán cực trị có điều kiện

Giải hệ phương trình ta tìm được tọa độ điểm dừng của hàm Lagrange là : (x=17 ;y =5 ;λ=1)

+ Điều kiện đủ

Các đạo hàm riêng cấp một của hàm g(x,y) = 185 -5x-20y và các đạo hàm riêng cấp hai của hàm Lagrange là:

Tại điểm dừng (x =17 ;y =5 ;λ=1) ta có:

Vậy hàm số U(x,y) đạt cực đại khi x = 17; y = 5 và Umax = (17+3).5 = 100.

Hay nói cách khác: Để đem lại lợi ích tối đa trong điều kiện ngân sách chi cho tiêu dùng là $185 thì người tiêu dùng nên sử dụng giỏ hàng (17;5), tức là mua 17 sản phẩm loại A và 5 sản phẩm loại B.

Ví dụ 2: Cho hàm lợi ích của người tiêu dùng U = 40×0,25y0,5 trong đó x là mức tiêu dùng cho hàng hóa A; y là mức tiêu dùng cho hàng hóa B

a) Hãy chọn giỏ hàng (x,y) để lợi ích tối đa trong điều kiện giá hàng hóa A là $5, giá hàng hóa B là $10, ngân sách tiêu dùng là $600

b) Có ý kiến cho rằng hàng hóa A luôn thay thế hàng hóa B và hệ số thay thế là 1:1. Hãy cho nhận xét ý kiến này.

Giải:

a). Phương trình thể hiện ràng buộc ngân sách là 5x + 10y = 600

Bài toán trở thành: Chọn (x,y) để hàm lợi ích U = 40×0,25y0,5 đạt cực đại, với điều kiện 5x + 10y = 600.

Lập hàm Lagrange: L(x,y,λ) = 40×0,25y0,5+ λ[600 – 5x – 10y] Áp dụng phương pháp Lagrange ta tìm được hàm số đạt cực đại tại điểm

Hay nói cách khác: Để đem lại lợi ích tối đa trong điều kiện ngân sách chi cho tiêu dùng là $600 thì người tiêu dùng nên sử dụng giỏ hàng (40,40), tức là mua 40 sản phẩm loại A và 40 sản phẩm loại B.

B, tỷ số y 2x không nhất thiết phải bằng 1, do đó ý kiến cho rằng hệ số thay thế

1:1 là chưa chấp nhận được.

b. Bài toán tối thiểu hóa chi phí tiêu dùng

Khi mua sắm hàng hóa, không phải người tiêu dùng nào cũng sử dụng toàn bộ thu nhập để hưởng lợi ích tối đa. Một vấn đề lựa chọn khác được đặt ra là: người ta đưa ra một mức lợi ích U0 nhất định và thực hiện lợi ích đó với chi phí phải là nhỏ nhất..

Kí hiệu : M là ngân sách tiêu dùng

P1 là giá của hàng hóa x

P2 là giá của hàng hóa y

U(x,y) là hàm lợi ích của người tiêu dùng với túi hàng (x,y)

Chi phí tiêu dùng được biểu diễn bởi phương trình TC = P1x + P2y

Từ các yêu cầu trên ta có bài toán tối thiểu hóa chi phí tiêu dùng có nội dụng như sau: Chọn (x,y) để hàm chi phí tiêu dùng

Nhận xét:

Giải bài toán tối thiểu hóa chi phí trên bằng phương pháp nhân tử Lagrange ta tìm được nghiệm của bài toán cực trị là:

Các hàm (1), (2)( phụ thuộc giá hàng hóa P1, P2 và mức lợi ích U0 cho trước) được gọi là các hàm cầu Hick-hàm cầu của người tiêu dùng theo quan điểm tối thiểu hóa chi phí cho một mức lợi ích U0 không đổi.

Ví dụ: Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng U(x,y) = (x+3)y; trong đó x là lượng hàng hóa A; y là lượng hàng hóa B

Với giá của hàng hóa A là $5; giá của hàng hóa B là $20. Hãy xác định túi hàng (x,y) để chi phí tiêu dùng tối thiểu nhưng vẫn đảm bảo mức lợi ích tiêu dùng là Uo=196

Giải : Hàm chi phí tiêu dùng

Mức lợi ích tiêu dùng cho trước là (x+3)y = 196

Bài toán trở thành: Chọn (x,y) để hàm số TC= 5x + 20y đạt giá trị cực tiểu với điều kiện là (x+3)y=196

Giải:

Lập hàm Lagrange L(x,y,λ) = 5x+20y+λ[196-(x+3)y]

Điều kiện cần của bài toán cực trị có điều kiện

Giải hệ phương trình ta tìm được tọa độ của hai điểm dừng là:

Điều kiện đủ của bài toán cực trị có điều kiện:

Xét các đao hàm riêng cấp một của hàm g(x,y) =196-(x+3)y và các đạo hàm riêng cấp hai của hàm Lagrange

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 25, y =7

Hay nói cách khác để chi phí tiêu dùng tối thiểu nhưng vẫn đảm bảo mức lợi ích tiêu dùng là Uo=196 thì người tiêu dùng nên sử dụng đơn vị 25 hàng hóa A và 7 đơn vị hàng hóa B.

Bài tập

6.3. Tìm miền xác định của các hàm số

lim (lim f (x, y)) 1 x 0 y 0

trong khi đó lim f (x, yx 0 y 0 ) không tồn tại.

6.7.Tìm các giới hạn sau:

3. lim sin xy x 0 x y a

liên tục theo từng biến x và y riêng biệt nhưng không liên tục đồng thời theo cả hai biến đó

6.9. Tính các đạo hàm riêng cấp một của các hàm số sau

1. z x3 y  y3x  3axy

x  y2. z  x  y

x 4. z 

6. z arctan y x

6. 10. Tính đạo hàm của các hàm số hợp sau

6.13.Tính vi phân toàn phần của các hàm số sau

2. z ln(tan y )x

3. z sin( x2  y2 )

6. 14. Tính đạo hàm và vi phân cấp cao của các hàm số sau

2. z sin x sin

6. 15. Tìm cực trị của các hàm số sau

6.16. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của các hàm số trong các miền cho tương ứng:

trong hình tròn

3. z x2  y2 trong hình tròn

xy trong hình chữ nhật

  trong hình chữ nhật 0 x ; 0 y 2 2

trong hình chữ nhật 0 x ; 0 y 2 2

6. 17. Tính đạo hàm của các hàm ẩn được xác định từ các biểu thức sau

1. xe y  yex exy

2. y arctan(x y)

3. x y y x

6. 18. Tìm cực trị có điều kiện của các hàm số sau

với điều kiện

2. z x  2 y với điều kiện x2  y2 5

với điều kiện x  y 1 2 3

với điều kiện x  y 1 a b

5. z với điều kiện x0,5 y0,5 2x  3 y 13

6. z với điều kiện x0,3 y0,7 5x  4 y 200

7. z = 12x+3y với điều kiện 25×0,5y0,5 =1250

6.19. Hàm sản xuất của một doanh nghiệp có dạng Q= 25. K0,25.L0,75

a. Tính sản lượng cận biên theo vốn và theo lao động tại K=16, L=64.

b. Quá trình công nghệ thể hiện bằng hàm số trên có hiệu quả thu được giảm dần hay không? Giải thích.

c. Nếu K tăng 1% và L không đổi thì sản lượng tăng bao nhiêu %.

6. 20. Cho hàm sản suất Q=20. K0,3L0,6

Trong đó K và L là lượng vốn và lao động được sử dụng hàng ngày.

a. Với K=27 và L=64 hãy cho biết mức sản xuất hàng ngày của doanh nghiệp.

b. Giữ nguyên mức K=27 và sử dụng thêm 1% lao động mỗi ngày thì sản lượng sẽ thay đổi là bao nhiêu.

6.21. Cho hàm lợi ích U=5×1,75y0,25

Với x là lượng hàng hóa A, y là lượng hàng hóa B, U là lợi ích tiêu dùng hàng ngày. Giả sử người tiêu dùng đang sử dụng 16 đơn vị hàng hóa A và 64 đơn vị hàng hóa B. Xác định lợi ích cân biên theo các hàng hóa tại điểm đó.

6. 22. Cho biết hàm lợi ích của người tiêu dùng U=x0,6 , trong đó x là lượngy0,4 hàng hóa A, y là lượng hàng hóa B.

a. Hãy lập các hàm số biểu diễn lợi ích cận biên của mỗi hàng hóa. Hàm lợi ích này có phù hợp với quy luật lợi ích cận biên giảm dần không?

b. Nếu lượng hàng hóa A tăng 1% và lượng hàng hóa B không đổi thì lợi ích tăng bao nhiêu %.

6. 23. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q= 2 K0,75L0,45 .

Hãy tính tỷ lệ thay thế kỹ thuật cận biên của vốn cho lao động khi K=100, L=40 và khi K=100, L= 450. Giải thích ý nghĩa của kết quả tìm được.

6. 24. Cho hàm lợi ích tiêu dùng U=200 x0,75 , trong đó x, y là số đơn vị củay0,25 hàng hóa A và B. Tại mức sử dụng x=16 ; y=81 hãy

a. Viết phương trình đường bàng quang.

b. Tính hệ số bổ sung của hàng hóa A cho hàng hóa B và giải thích ý nghĩa.

6. 25. Giả sử hàm tổng chi phí của doanh nghiêp cạnh tranh là:̣

Và giá sản phẩm là p 1=32; p2=45. Hãy xác định mức sản lượng cho lợi nhuâṇ tối đa.

6.26. Giả sử doanh nghiê đô xuất một loại sản phẩm bán trên hai thị trường với hàm chi phí kết hợp Giả sử hàm cầu đối với từng thị trường là:

a. Hãy xác định mức sản lượng và giá để doanh nghiệp thu được lợi nhuận tối đa.( Giả sử hãng tự quyết định giá bán trên từng thị trường)

b. Nếu hãng không được phép phân biệt giá bán. Hãy xác định mức sản lượng và giá bán để lợi nhuận tối đa.

6. 27. Một hãng bán sản phẩm của mình trên thị trường với giá 200$ một đơn vị. hãng mua hai yếu tố đầu vào K, L với giá 3$ và 6$ một đơn vị. Hàm sản xuất của hãng có dạng: Q=K0,25L0,75 . Hãy xác định K,L để hãng thu được lợi nhuận tối đa.

6.28. Doanh nghiệp có hàm sản xuất Q = L0,3K0,4 , giả sử giá lao đông̣ là wL=3 ,giá thuê tư bản là wK=4 ,ngân sách cố định 1050. Lập kế hoạch sản xuất để sản lượng tối đa.

6.29. Một công ty sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản xuất như sau:

Công ty này dự kiến sản xuất 1250 sản phẩm. Hãy cho biết phương án sử dụng các yếu tố K,L sao cho việc sản xuất lượng sản phẩm trên tốn ít chi phí nhất trong điều kiện thuê tư bản WK = 12 và giá thuê lao động WL = 3

6. 30.Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng U(x,y) = (x+3)y

Trong đó x là lượng hàng hóa A; y là lượng hàng hóa B

Và giá của hàng hóa A là $5 ; giá của hàng hóa B là $20.

Hãy xác định túi hàng (x,y) để chi phí tiêu dùng tối thiểu nhưng vẫn đảm bảo mức lợi ích tiêu dùng là Uo=196