TỔNG HỢP KIẾN THỨC TOÁN 9 ÔN THI VÀO 10

Ngày đăng: 16/08/2013, 19:10

tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9 Năm 2008 tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9 tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9 A. Kiến thức cần nhớ. 1. Điều kiện để căn thức có nghĩa. A có nghĩa khi A 0 2. Các công thức biến đổi căn thức. a. 2 A A= b. . ( 0; 0)AB A B A B= c. ( 0; 0) A A A B B B = > d. 2 ( 0)A B A B B= e. 2 ( 0; 0)A B A B A B= 2 ( 0; 0)A B A B A B= < f. 1 ( 0; 0) A AB AB B B B = i. ( 0) A A B B B B = > k. 2 2 ( ) ( 0; ) C C A B A A B A B A B = m m. 2 ( ) ( 0; 0; ) C C A B A B A B A B A B = m 3. Hàm số y = ax + b (a 0) – Tính chất: + Hàm số đồng biến trên R khi a > 0. + Hàm số nghịch biến trên R khi a < 0. – Đồ thị: Đồ thị là một đờng thẳng đi qua điểm A(0;b); B(-b/a;0). 4. Hàm số y = ax 2 (a 0) – Tính chất: + Nếu a > 0 hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0. + Nếu a < 0 hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0. – Đồ thị: Đồ thị là một đờng cong Parabol đi qua gốc toạ độ O(0;0). Trần Quốc Hng – Trờng THCS Gia Phơng 2 Phần I: Đại số tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9 + Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành. + Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dới trục hoành. 5. Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng Xét đờng thẳng y = ax + b (d) và y = a’x + b’ (d’) (d) và (d’) cắt nhau a a’ (d) // (d’) a = a’ và b b’ (d) (d’) a = a’ và b = b’ 6. Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng cong. Xét đờng thẳng y = ax + b (d) và y = ax 2 (P) (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm (d) tiếp xúc với (P) tại một điểm (d) và (P) không có điểm chung 7. Phơng trình bậc hai. Xét phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a 0) Công thức nghiệm Công thức nghiệm thu gọn = b 2 – 4ac Nếu > 0 : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt: a b x 2 1 + = ; a b x 2 2 = Nếu = 0 : Phơng trình có nghiệm kép : a b xx 2 21 == Nếu < 0 : Phơng trình vô nghiệm ‘ = b’ 2 – ac với b = 2b’ – Nếu ‘ > 0 : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt: a b x ” 1 + = ; a b x ” 2 = – Nếu ‘ = 0 : Phơng trình có nghiệm kép: a b xx ‘ 21 == – Nếu ‘ < 0 : Phơng trình vô nghiệm 8. Hệ thức Viet và ứng dụng. – Hệ thức Viet: Nếu x 1 , x 2 là nghiệm của phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a0) thì: 1 2 1 2 . b S x x a c P x x a = + = = = – Một số ứng dụng: + Tìm hai số u và v biết u + v = S; u.v = P ta giải phơng trình: x 2 – Sx + P = 0 (Điều kiện S 2 – 4P 0) + Nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a0) Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm: x 1 = 1 ; x 2 = c a Nếu a – b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm: Trần Quốc Hng – Trờng THCS Gia Phơng 3 tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9 x 1 = -1 ; x 2 = c a 9. Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình Bớc 1: Lập phơng trình hoặc hệ phơng trình Bớc 2: Giải phơng trình hoặc hệ phơng trình Bớc 3: Kiểm tra các nghiệm của phơng trình hoặc hệ phơng trình nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận B. các dạng bài tập Dạng 1: Rút gọn biểu thức Bài toán: Rút gọn biểu thức A Để rút gọn biểu thức A ta thực hiện các bớc sau: – Quy đồng mẫu thức (nếu có) – Đa bớt thừa số ra ngoài căn thức (nếu có) – Trục căn thức ở mẫu (nếu có) – Thực hiện các phép tính: luỹ thừa, khai căn, nhân chia – Cộng trừ các số hạng đồng dạng. Dạng 2: Bài toán tính toán Bài toán 1: Tính giá trị của biểu thức A. Tính A mà không có điều kiện kèm theo đồng nghĩa với bài toán Rút gọn biểu thức A Bài toán 2: Tính giá trị của biểu thức A(x) biết x = a Cách giải: – Rút gọn biểu thức A(x). – Thay x = a vào biểu thức rút gọn. Dạng 3: Chứng minh đẳng thức Bài toán: Chứng minh đẳng thức A = B Một số phơng pháp chứng minh: – Phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa. A = B A – B = 0 – Phơng pháp 2: Biến đổi trực tiếp. A = A 1 = A 2 = . = B – Phơng pháp 3: Phơng pháp so sánh. A = A 1 = A 2 = . = C B = B 1 = B 2 = . = C – Phơng pháp 4: Phơng pháp tơng đơng. A = B A’ = B’ A” = B” (*) (*) đúng do đó A = B – Phơng pháp 5: Phơng pháp sử dụng giả thiết. Trần Quốc Hng – Trờng THCS Gia Phơng 4 A = B tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9 – Phơng pháp 6: Phơng pháp quy nạp. – Phơng pháp 7: Phơng pháp dùng biểu thức phụ. Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức Bài toán: Chứng minh bất đẳng thức A > B Một số bất đẳng thức quan trọng: – Bất đẳng thức Cosi: n n n aaaa n aaaa . . 321 321 ++++ (với 0 . 321 n aaaa ) Dấu = xảy ra khi và chỉ khi: n aaaa ==== . 321 – Bất đẳng thức BunhiaCôpxki: Với mọi số a 1 ; a 2 ; a 3 ; ; a n ; b 1 ; b 2 ; b 3 ; b n ( ) ) .)( .( . 22 3 2 2 2 1 22 3 2 2 2 1 2 332211 nnnn bbbbaaaababababa ++++++++++++ Dấu = xảy ra khi và chỉ khi: n n b a b a b a b a ==== . 3 3 2 2 1 1 Một số phơng pháp chứng minh: – Phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa A > B A – B > 0 – Phơng pháp 2: Biến đổi trực tiếp A = A 1 = A 2 = . = B + M 2 > B nếu M 0 – Phơng pháp 3: Phơng pháp tơng đơng A > B A’ > B’ A” > B” (*) (*) đúng do đó A > B – Phơng pháp 4: Phơng pháp dùng tính chất bắc cầu A > C và C > B A > B – Phơng pháp 5: Phơng pháp phản chứng Để chứng minh A > B ta giả sử B > A và dùng các phép biến đổi tơng đơng để dẫn đến điều vô lí khi đó ta kết luận A > B. – Phơng pháp 6: Phơng pháp sử dụng giả thiết. – Phơng pháp 7: Phơng pháp quy nạp. – Phơng pháp 8: Phơng pháp dùng biểu thức phụ. Dạng 5: bài toán liên quan tới phơng trình bậc hai Bài toán 1: Giải phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a0) Các phơng pháp giải: – Phơng pháp 1: Phân tích đa về phơng trình tích. – Phơng pháp 2: Dùng kiến thức về căn bậc hai x 2 = a x = a – Phơng pháp 3: Dùng công thức nghiệm Ta có = b 2 – 4ac + Nếu > 0 : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt: a b x 2 1 + = ; a b x 2 2 = + Nếu = 0 : Phơng trình có nghiệm kép a b xx 2 21 == Trần Quốc Hng – Trờng THCS Gia Phơng 5 tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9 + Nếu < 0 : Phơng trình vô nghiệm – Phơng pháp 4: Dùng công thức nghiệm thu gọn Ta có ‘ = b’ 2 – ac với b = 2b’ + Nếu ‘ > 0 : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt: a b x ” 1 + = ; a b x ” 2 = + Nếu ‘ = 0 : Phơng trình có nghiệm kép a b xx ‘ 21 == + Nếu ‘ < 0 : Phơng trình vô nghiệm – Phơng pháp 5: Nhẩm nghiệm nhờ định lí Vi-et. Nếu x 1 , x 2 là nghiệm của phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a0) thì: = =+ a c xx a b xx 21 21 . Chú ý: Nếu a, c trái dấu tức là a.c < 0 thì phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Bài toán 2: Biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ). Xét hệ số a: Có thể có 2 khả năng a. Trờng hợp a = 0 với vài giá trị nào đó của m. Giả sử a = 0 m = m 0 ta có: (*) trở thành phơng trình bậc nhất ax + c = 0 (**) + Nếu b 0 với m = m 0 : (**) có một nghiệm x = -c/b + Nếu b = 0 và c = 0 với m = m 0 : (**) vô định (*) vô định + Nếu b = 0 và c 0 với m = m 0 : (**) vô nghiệm (*) vô nghiệm b. Trờng hợp a 0: Tính hoặc ‘ + Tính = b 2 – 4ac Nếu > 0 : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt: a b x 2 1 + = ; a b x 2 2 = Nếu = 0 : Phơng trình có nghiệm kép : a b xx 2 21 == Nếu < 0 : Phơng trình vô nghiệm + Tính ‘ = b’ 2 – ac với b = 2b’ Nếu ‘ > 0 : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt: a b x ” 1 + = ; a b x ” 2 = Nếu ‘ = 0 : Phơng trình có nghiệm kép: a b xx ‘ 21 == Nếu ‘ < 0 : Phơng trình vô nghiệm – Ghi tóm tắt phần biện luận trên. Trần Quốc Hng – Trờng THCS Gia Phơng 6 tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9 Bài toán 3: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm. Có hai khả năng để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm: 1. Hoặc a = 0, b 0 2. Hoặc a 0, 0 hoặc ‘ 0 Tập hợp các giá trị m là toàn bộ các giá trị m thoả mãn điều kiện 1 hoặc điều kiện 2. Bài toán 4: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 2 nghiệm phân biệt. Điều kiện có hai nghiệm phân biệt > 0 0a hoặc > 0 0 ‘ a Bài toán 5: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm. Điều kiện có một nghiệm: = 0 0 b a hoặc = 0 0a hoặc = 0 0 ‘ a Bài toán 6: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm kép. Điều kiện có nghiệm kép: = 0 0a hoặc = 0 0 ‘ a Bài toán 7: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) vô nghiệm. Điều kiện có một nghiệm: < 0 0a hoặc < 0 0 ‘ a Bài toán 8: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm. Điều kiện có một nghiệm: = 0 0 b a hoặc = 0 0a hoặc = 0 0 ‘ a Bài toán 9 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có hai nghiệm cùng dấu. Điều kiện có hai nghiệm cùng dấu: Trần Quốc Hng – Trờng THCS Gia Phơng 7 tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9 >= 0 0 a c P hoặc >= 0 0 ‘ a c P Bài toán 10 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm dơng. Điều kiện có hai nghiệm dơng: >= >= 0 0 0 a b S a c P hoặc >= >= 0 0 0 ‘ a b S a c P Bài toán 11 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 2 nghiệm âm. Điều kiện có hai nghiệm âm: <= >= 0 0 0 a b S a c P hoặc <= >= 0 0 0 ‘ a b S a c P Bài toán 12 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm trái dấu. Điều kiện có hai nghiệm trái dấu: P < 0 hoặc a và c trái dấu. Bài toán 13 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (*) ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có một nghiệm x = x 1 . Cách giải: – Thay x = x 1 vào phơng trình (*) ta có: ax 1 2 + bx 1 + c = 0 m – Thay giá trị của m vào (*) x 1 , x 2 – Hoặc tính x 2 = S – x 1 hoặc x 2 = 1 x P Bài toán 14 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn các điều kiện: a. =+ 21 xx b. kxx =+ 2 2 2 1 c. n xx =+ 21 11 d. hxx + 2 2 2 1 e. txx =+ 3 2 3 1 Điều kiện chung: 0 hoặc ‘ 0 (*) Theo định lí Viet ta có: Trần Quốc Hng – Trờng THCS Gia Phơng 8 tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9 == = =+ )2(. )1( 21 21 P a c xx S a b xx a. Trờng hợp: =+ 21 xx Giải hệ =+ =+ 21 21 xx a b xx Thay x 1 , x 2 vào (2) m Chọn các giá trị của m thoả mãn (*) b. Trờng hợp: kxxxxkxx =+=+ 21 2 21 2 2 2 1 2)( Thay x 1 + x 2 = S = a b và x 1 .x 2 = P = a c vào ta có: S 2 – 2P = k Tìm đợc giá trị của m thoả mãn (*) c. Trờng hợp: ncbxnxxxn xx ==+=+ 2121 21 . 11 Giải phơng trình – b = nc tìm đợc m thoả mãn (*) d. Trờng hợp: 02 22 2 2 1 + hPShxx Giải bất phơng trình S 2 – 2P – h 0 chọn m thoả mãn (*) e. Trờng hợp: tPSStxx ==+ 3 33 2 3 1 Giải phơng trình tPSS = 3 3 chọn m thoả mãn (*) Bài toán 15 : Tìm hai số u và v biết tổng u + v = S và tích u.v = P của chúng. Ta có u và v là nghiệm của phơng trình: x 2 – Sx + P = 0 (*) (Điều kiện S 2 – 4P 0) Giải phơng trình (*) ta tìm đợc hai số u và v cần tìm. Nội dung 6: giải phơng trình bằng phơng pháp đặt ẩn số phụ Bài toán1: Giải phơng trình trùng phơng ax 4 + bx 2 + c = 0 Đặt t = x 2 (t0) ta có phơng trình at 2 + bt + c = 0 Giải phơng trình bậc hai ẩn t sau đó thay vào tìm ẩn x Bảng tóm tắt at 2 + bt + c = 0 ax 4 + bx 2 + c = 0 Trần Quốc Hng – Trờng THCS Gia Phơng 9 x 1 , x 2 tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9 vô nghiệm vô nghiệm 2 nghiệm âm vô nghiệm nghiệm kép âm vô nghiệm 1 nghiệm dơng 2 nghiệm đối nhau 2 nghiệm dơng 4 nghiệm 2 cặp nghiệm đối nhau Bài toán 2: Giải phơng trình 0) 1 () 1 ( 2 2 =++++ C x xB x xA Đặt x x 1 + = t x 2 – tx + 1 = 0 Suy ra t 2 = ( x x 1 + ) 2 = 2 1 2 2 ++ x x 2 1 2 2 2 =+ t x x Thay vào phơng trình ta có: A(t 2 – 2) + Bt + C = 0 At 2 + Bt + C – 2A = 0 Giải phơng trình ẩn t sau đó thế vào x x 1 + = t giải tìm x. Bài toán 3: Giải phơng trình 0) 1 () 1 ( 2 2 =+++ C x xB x xA Đặt x x 1 = t x 2 – tx – 1 = 0 Suy ra t 2 = ( x x 1 ) 2 = 2 1 2 2 + x x 2 1 2 2 2 +=+ t x x Thay vào phơng trình ta có: A(t 2 + 2) + Bt + C = 0 At 2 + Bt + C + 2A = 0 Giải phơng trình ẩn t sau đó thế vào x x 1 = t giải tìm x. Bài toán 4: Giải phơng trình bậc cao Dùng các phép biến đổi đa phơng trình bậc cao về dạng: + Phơng trình tích + Phơng trình bậc hai. Nội dung 7: giải hệ phơng trình Bài toán: Giải hệ phơng trình =+ =+ ”’ cybxa cbyax Các phơng pháp giải: + Phơng pháp đồ thị + Phơng pháp cộng + Phơng pháp thế Trần Quốc Hng – Trờng THCS Gia Phơng 10 […]… Dạng 9: Chứng minh MT là tiếp tuyến của đờng tròn (O;R) Cách chứng minh: – Chứng minh OT MT tại T (O;R) – Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng MT bằng bán kính – Dùng góc nội tiếp Dạng 10: Các bài toán tính toán độ dài cạnh, độ lớn góc Cách tính: – Dựa vào hệ thức lợng trong tam giác vuông – Dựa vào tỷ số lợng giác – Dựa vào hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông – Dựa vào công thức. .. = m khi h(x) = 0 Phơng pháp 2: Dựa vào tập giá trị hàm Phơng pháp 3: Dựa vào đẳng thức Nội dung 10: các bài toán liên quan đến hàm số Trần Quốc Hng – Trờng THCS Gia Phơng toán 9 * Điểm thuộc đờng – đờng đi qua một điểm Bài toán: Cho (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) và một điểm A(xA;yA) Hỏi (C) có đi qua A không? Đồ thị (C) đi qua A(xA;yA) khi… A Kiến thức cần nhớ 1 Hệ thức lợng trong tam giác vuông b2 = ab’ c2 = ac’ A h2 = b’c’ b c ah = bc a =b +c 2 2 2 B 1 1 1 = 2+ 2 2 h b c h c’ b’ C H a 2 Tỉ số lợng giác của góc nhọn 0 < sin < 1 0 < coss < 1 Trần Quốc Hng – Trờng THCS Gia Phơng 13 tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9 tg = sin cos tg.cotg = 1 cot g = 1 + tg 2 = cos sin 1 cos 2 sin2 + cos2 = 1 1 + cot g 2 = 3 Hệ thức. .. n0: S = 9 Các loại đờng tròn Đờng tròn ngoại tiếp tam giác Đờng tròn nội tiếp tam giác R 2 n lR = 360 2 Đờng tròn bàng tiếp tam giác Trần Quốc Hng – Trờng THCS Gia Phơng 17 tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9 A A A B C O O F B E J C B C Tâm đờng tròn là giao của ba đờng trung trực của tam giác Tâm đờng tròn là giao của ba đờng phân giác trong của tam giác 10 Các loại hình không gian… đối của một hình bình hành Dạng 3: Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc Cách chứng minh: – Chúng song song song song với hai đờng thẳng vuông góc khác – Chứng minh chúng là chân đờng cao trong một tam giác – Đờng kính đi qua trung điểm dây và dây Trần Quốc Hng – Trờng THCS Gia Phơng 1toán 9 – Chúng là phân giác của hai góc kề bù nhau Dạng 4: Chứng minh.. .toán 9 + Phơng pháp đặt ẩn phụ Nội dung 7: giải phơng trình vô tỉ Bài toán 1: Giải phơng trình dạng Ta có f ( x) = g ( x) (1) g(x) 0 (2) f ( x) = g ( x) 2 f (x) = [ g(x)] (3) Giải (3) đối chiếu điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp nghiệm của (1) Bài toán 2: Giải phơng trình dạng f ( x) + Điều kiện… Tiếp tuyến chung trong d d d’ O O’ O O’ d’ 6 Góc với đờng tròn Loại góc Hình vẽ A B 1 Góc ở tâm ã AOB = sd ằ AB O A B 2 Góc nội tiếp Công thức tính số đo 1 ã AMB = sd ằ AB 2 O M Trần Quốc Hng – Trờng THCS Gia Phơng 16 toán 9 x 3 Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung A B 1 ã xBA = sd ằ AB 2 O B A 4 Góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn 1 ã ằ AMB = ( sd ằ +… xúc với đờng cong (C): y = f(x) Trần Quốc Hng – Trờng THCS Gia Phơng toán 9 Phơng trình tổng quát của đờng thẳng (D) là : y = kx + b Phơng trình hoành độ điểm chung của (D) và (P) là: f(x) = kx + b (*) Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép Từ điều kiện này ta tìm đợc hệ thức liên hệ giữa a và b (**) Mặt khác: (D) qua A(xA;yA) do đó ta có yA… hơn Trần Quốc Hng – Trờng THCS Gia Phơng 14 tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9 + Dây lớn hơn căng cung lớn hơn – Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn: Số điểm chung Hệ thức liên hệ giữa d và R 2 dR – Đờng thẳng và đờng tròn cắt nhau – Đờng thẳng và đờng tròn tiếp xúc nhau – Đờng thẳng và đờng tròn không giao nhau – Vị trí tơng đối của đờng thẳng… MC.MD = ME.MF Tức là ta chứng minh: MAE MFB MCE MFD MA.MB = MC.MD * Trờng hợp đặc biệt: MT2 = MA.MB ta chứng minh MTA MBT Dạng 8: Chứng minh tứ giác nội tiếp 20 Trần Quốc Hng – Trờng THCS Gia Phơng tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9 Cách chứng minh: Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: – Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 – Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong . quốc hng tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9 Năm 2008 tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9 tổng hợp kiến thức và. giải các dạng bài tập toán 9 A. Kiến thức cần nhớ. 1. Điều kiện để căn thức có nghĩa. A có nghĩa khi A 0 2. Các công thức biến đổi căn thức. a. 2 A A= b.

trần quốc hngvà cách giải các dạng bài tậpNăm 2008và cách giải các dạng bài tậpvà cách giải các dạng bài tậpA.cần nhớ. 1. Điềuđể căncó nghĩa. A có nghĩa khi A 0 2. Các côngbiến đổi căn thức. a. 2 A A= b. . ( 0; 0)AB A B A B= c. ( 0; 0) A A A B B B = > d. 2 ( 0)A B A B B= e. 2 ( 0; 0)A B A B A B= 2 ( 0; 0)A B A B A B= < f. 1 ( 0; 0) A AB AB B B B = i. ( 0) A A B B B B = > k. 2 2 ( ) ( 0; ) C C A B A A B A B A B = m m. 2 ( ) ( 0; 0; ) C C A B A B A B A B A B = m 3. Hàm số y = ax + b (a 0) – Tính chất: + Hàm số đồng biến trên R khi a > 0. + Hàm số nghịch biến trên R khi a < 0. – Đồ thị: Đồlà một đờng thẳng đi qua điểm A(0;b); B(-b/a;0). 4. Hàm số y = ax 2 (a 0) – Tính chất: + Nếu a > 0 hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0. + Nếu a < 0 hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0. – Đồ thị: Đồlà một đờng cong Parabol đi qua gốc toạ độ O(0;0). Trần Quốc Hng – Trờng THCS Gia Phơng 2 Phần I: Đại sốvà cách giải các dạng bài tập+ Nếu a > 0đồnằm phía trên trục hoành. + Nếu a < 0đồnằm phía dới trục hoành. 5. Vị tríđối của hai đờng thẳng Xét đờng thẳng y = ax + b (d) và y = a’x + b’ (d’) (d) và (d’) cắt nhau a a’ (d) // (d’) a = a’ và b b’ (d) (d’) a = a’ và b = b’ 6. Vị tríđối của đờng thẳng và đờng cong. Xét đờng thẳng y = ax + b (d) và y = ax 2 (P) (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm (d) tiếp xúc với (P) tại một điểm (d) và (P) không có điểm chung 7. Phơng trình bậc hai. Xét phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a 0) Côngnghiệm Côngnghiệm thu gọn = b 2 – 4ac Nếu > 0 : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt: a b x 2 1 + = ; a b x 2 2 = Nếu = 0 : Phơng trình có nghiệm kép : a b xx 2 21 == Nếu < 0 : Phơng trình vô nghiệm ‘ = b’ 2 – ac với b = 2b’ – Nếu ‘ > 0 : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt: a b x ” 1 + = ; a b x ” 2 = – Nếu ‘ = 0 : Phơng trình có nghiệm kép: a b xx ‘ 21 == – Nếu ‘ < 0 : Phơng trình vô nghiệm 8. HệViet và ứng dụng. – HệViet: Nếu x 1 , x 2 là nghiệm của phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a0) thì: 1 2 1 2 . b S x x a c P x x a = + = = = – Một số ứng dụng: + Tìm hai số u và v biết u + v = S; u.v = P ta giải phơng trình: x 2 – Sx + P = 0 (ĐiềuS 2 – 4P 0) + Nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a0) Nếu a + b + c = 0phơng trình có hai nghiệm: x 1 = 1 ; x 2 = c a Nếu a – b + c = 0phơng trình có hai nghiệm: Trần Quốc Hng – Trờng THCS Gia Phơng 3và cách giải các dạng bài tậpx 1 = -1 ; x 2 = c aGiải bàibằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình Bớc 1: Lập phơng trình hoặc hệ phơng trình Bớc 2: Giải phơng trình hoặc hệ phơng trình Bớc 3: Kiểm tra các nghiệm của phơng trình hoặc hệ phơng trình nghiệm nào thíchvới bàivà kết luận B. các dạng bài tập Dạng 1: Rút gọn biểuBài toán: Rút gọn biểuA Để rút gọn biểuA tahiện các bớc sau: – Quy đồng mẫu(nếu có) – Đa bớt thừa số ra ngoài căn(nếu có) – Trục cănở mẫu (nếu có) -hiện các phép tính: luỹ thừa, khai căn, nhân chia – Cộng trừ các số hạng đồng dạng. Dạng 2: BàitínhBài1: Tính giá trị của biểuA. Tính A mà không có điềukèm theo đồng nghĩa với bàiRút gọn biểuA Bài2: Tính giá trị của biểuA(x) biết x = a Cách giải: – Rút gọn biểuA(x). – Thay x = abiểurút gọn. Dạng 3: Chứng minh đẳngBài toán: Chứng minh đẳngA = B Một số phơng pháp chứng minh: – Phơng pháp 1: Dựađịnh nghĩa. A = B A – B = 0 – Phơng pháp 2: Biến đổi trực tiếp. A = A 1 = A 2 = . = B – Phơng pháp 3: Phơng pháp so sánh. A = A 1 = A 2 = . = C B = B 1 = B 2 = . = C – Phơng pháp 4: Phơng phápđơng. A = B A’ = B’ A” = B” (*) (*) đúng do đó A = B – Phơng pháp 5: Phơng pháp sử dụng giả thiết. Trần Quốc Hng – Trờng THCS Gia Phơng 4 A = Bvà cách giải các dạng bài tập- Phơng pháp 6: Phơng pháp quy nạp. – Phơng pháp 7: Phơng pháp dùng biểuphụ. Dạng 4: Chứng minh bất đẳngBài toán: Chứng minh bất đẳngA > B Một số bất đẳngquan trọng: – Bất đẳngCosi: n n n aaaa n aaaa . . 321 321 ++++ (với 0 . 321 n aaaa ) Dấu = xảy ra khi và chỉ khi: n aaaa ==== . 321 – Bất đẳngBunhiaCôpxki: Với mọi số a 1 ; a 2 ; a 3 ; ; a n ; b 1 ; b 2 ; b 3 ; b n ( ) ) .)( .( . 22 3 2 2 2 1 22 3 2 2 2 1 2 332211 nnnn bbbbaaaababababa ++++++++++++ Dấu = xảy ra khi và chỉ khi: n n b a b a b a b a ==== . 3 3 2 2 1 1 Một số phơng pháp chứng minh: – Phơng pháp 1: Dựađịnh nghĩa A > B A – B > 0 – Phơng pháp 2: Biến đổi trực tiếp A = A 1 = A 2 = . = B + M 2 > B nếu M 0 – Phơng pháp 3: Phơng phápđơng A > B A’ > B’ A” > B” (*) (*) đúng do đó A > B – Phơng pháp 4: Phơng pháp dùng tính chất bắc cầu A > C và C > B A > B – Phơng pháp 5: Phơng pháp phản chứng Để chứng minh A > B ta giả sử B > A và dùng các phép biến đổiđơng để dẫn đến điều vô lí khi đó ta kết luận A > B. – Phơng pháp 6: Phơng pháp sử dụng giả thiết. – Phơng pháp 7: Phơng pháp quy nạp. – Phơng pháp 8: Phơng pháp dùng biểuphụ. Dạng 5: bàiliên quan tới phơng trình bậc hai Bài1: Giải phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a0) Các phơng pháp giải: – Phơng pháp 1: Phân tích đa về phơng trình tích. – Phơng pháp 2: Dùngvề căn bậc hai x 2 = a x = a – Phơng pháp 3: Dùng côngnghiệm Ta có = b 2 – 4ac + Nếu > 0 : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt: a b x 2 1 + = ; a b x 2 2 = + Nếu = 0 : Phơng trình có nghiệm kép a b xx 2 21 == Trần Quốc Hng – Trờng THCS Gia Phơng 5và cách giải các dạng bài tập+ Nếu < 0 : Phơng trình vô nghiệm – Phơng pháp 4: Dùng côngnghiệm thu gọn Ta có ‘ = b’ 2 – ac với b = 2b’ + Nếu ‘ > 0 : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt: a b x ” 1 + = ; a b x ” 2 = + Nếu ‘ = 0 : Phơng trình có nghiệm kép a b xx ‘ 21 == + Nếu ‘ < 0 : Phơng trình vô nghiệm – Phơng pháp 5: Nhẩm nghiệm nhờ định lí Vi-et. Nếu x 1 , x 2 là nghiệm của phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a0) thì: = =+ a c xx a b xx 21 21 . Chú ý: Nếu a, c trái dấu tức là a.c < 0phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Bài2: Biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ). Xét hệ số a: Có thể có 2 khả năng a. Trờnga = 0 với vài giá trị nào đó của m. Giả sử a = 0 m = m 0 ta có: (*) trở thành phơng trình bậc nhất ax + c = 0 (**) + Nếu b 0 với m = m 0 : (**) có một nghiệm x = -c/b + Nếu b = 0 và c = 0 với m = m 0 : (**) vô định (*) vô định + Nếu b = 0 và c 0 với m = m 0 : (**) vô nghiệm (*) vô nghiệm b. Trờnga 0: Tính hoặc ‘ + Tính = b 2 – 4ac Nếu > 0 : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt: a b x 2 1 + = ; a b x 2 2 = Nếu = 0 : Phơng trình có nghiệm kép : a b xx 2 21 == Nếu < 0 : Phơng trình vô nghiệm + Tính ‘ = b’ 2 – ac với b = 2b’ Nếu ‘ > 0 : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt: a b x ” 1 + = ; a b x ” 2 = Nếu ‘ = 0 : Phơng trình có nghiệm kép: a b xx ‘ 21 == Nếu ‘ < 0 : Phơng trình vô nghiệm – Ghi tóm tắt phần biện luận trên. Trần Quốc Hng – Trờng THCS Gia Phơng 6và cách giải các dạng bài tậpBài3: Tìm điềucủa tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm. Có hai khả năng để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm: 1. Hoặc a = 0, b 0 2. Hoặc a 0, 0 hoặc ‘ 0 Tậpcác giá trị m làbộ các giá trị m thoả mãn điều1 hoặc điều2. Bài4: Tìm điềucủa tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 2 nghiệm phân biệt. Điềucó hai nghiệm phân biệt > 0 0a hoặc > 0 0 ‘ a Bài5: Tìm điềucủa tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm. Điềucó một nghiệm: = 0 0 b a hoặc = 0 0a hoặc = 0 0 ‘ a Bài6: Tìm điềucủa tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm kép. Điềucó nghiệm kép: = 0 0a hoặc = 0 0 ‘ a Bài7: Tìm điềucủa tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) vô nghiệm. Điềucó một nghiệm: < 0 0a hoặc < 0 0 ‘ a Bài8: Tìm điềucủa tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm. Điềucó một nghiệm: = 0 0 b a hoặc = 0 0a hoặc = 0 0 ‘ a Bài: Tìm điềucủa tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có hai nghiệm cùng dấu. Điềucó hai nghiệm cùng dấu: Trần Quốc Hng – Trờng THCS Gia Phơng 7và cách giải các dạng bài tập>= 0 0 a c P hoặc >= 0 0 ‘ a c P Bài: Tìm điềucủa tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm dơng. Điềucó hai nghiệm dơng: >= >= 0 0 0 a b S a c P hoặc >= >= 0 0 0 ‘ a b S a c P Bài11 : Tìm điềucủa tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 2 nghiệm âm. Điềucó hai nghiệm âm: <= >= 0 0 0 a b S a c P hoặc <= >= 0 0 0 ‘ a b S a c P Bài12 : Tìm điềucủa tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm trái dấu. Điềucó hai nghiệm trái dấu: P < 0 hoặc a và c trái dấu. Bài13 : Tìm điềucủa tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (*) ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có một nghiệm x = x 1 . Cách giải: – Thay x = x 1phơng trình (*) ta có: ax 1 2 + bx 1 + c = 0 m – Thay giá trị của m(*) x 1 , x 2 – Hoặc tính x 2 = S – x 1 hoặc x 2 = 1 x P Bài14 : Tìm điềucủa tham số m để phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn các điều kiện: a. =+ 21 xx b. kxx =+ 2 2 2 1 c. n xx =+ 21 11 d. hxx + 2 2 2 1 e. txx =+ 3 2 3 1 Điềuchung: 0 hoặc ‘ 0 (*) Theo định lí Viet ta có: Trần Quốc Hng – Trờng THCS Gia Phơng 8và cách giải các dạng bài tập== = =+ )2(. )1( 21 21 P a c xx S a b xx a. Trờng hợp: =+ 21 xx Giải hệ =+ =+ 21 21 xx a b xx Thay x 1 , x 2(2) m Chọn các giá trị của m thoả mãn (*) b. Trờng hợp: kxxxxkxx =+=+ 21 2 21 2 2 2 1 2)( Thay x 1 + x 2 = S = a b và x 1 .x 2 = P = a cta có: S 2 – 2P = k Tìm đợc giá trị của m thoả mãn (*) c. Trờng hợp: ncbxnxxxn xx ==+=+ 2121 21 . 11 Giải phơng trình – b = nc tìm đợc m thoả mãn (*) d. Trờng hợp: 02 22 2 2 1 + hPShxx Giải bất phơng trình S 2 – 2P – h 0 chọn m thoả mãn (*) e. Trờng hợp: tPSStxx ==+ 3 33 2 3 1 Giải phơng trình tPSS = 3 3 chọn m thoả mãn (*) Bài15 : Tìm hai số u và v biếtu + v = S và tích u.v = P của chúng. Ta có u và v là nghiệm của phơng trình: x 2 – Sx + P = 0 (*) (ĐiềuS 2 – 4P 0) Giải phơng trình (*) ta tìm đợc hai số u và v cần tìm. Nội dung 6: giải phơng trình bằng phơng pháp đặt ẩn số phụ Bài toán1: Giải phơng trình trùng phơng ax 4 + bx 2 + c = 0 Đặt t = x 2 (t0) ta có phơng trình at 2 + bt + c = 0 Giải phơng trình bậc hai ẩn t sau đó thaytìm ẩn x Bảng tóm tắt at 2 + bt + c = 0 ax 4 + bx 2 + c = 0 Trần Quốc Hng – Trờng THCS Gia Phơngx 1 , x 2và cách giải các dạng bài tậpvô nghiệm vô nghiệm 2 nghiệm âm vô nghiệm nghiệm kép âm vô nghiệm 1 nghiệm dơng 2 nghiệm đối nhau 2 nghiệm dơng 4 nghiệm 2 cặp nghiệm đối nhau Bài2: Giải phơng trình 0) 1 () 1 ( 2 2 =++++ C x xB x xA Đặt x x 1 + = t x 2 – tx + 1 = 0 Suy ra t 2 = ( x x 1 + ) 2 = 2 1 2 2 ++ x x 2 1 2 2 2 =+ t x x Thayphơng trình ta có: A(t 2 – 2) + Bt + C = 0 At 2 + Bt + C – 2A = 0 Giải phơng trình ẩn t sau đó thếx x 1 + = t giải tìm x. Bài3: Giải phơng trình 0) 1 () 1 ( 2 2 =+++ C x xB x xA Đặt x x 1 = t x 2 – tx – 1 = 0 Suy ra t 2 = ( x x 1 ) 2 = 2 1 2 2 + x x 2 1 2 2 2 +=+ t x x Thayphơng trình ta có: A(t 2 + 2) + Bt + C = 0 At 2 + Bt + C + 2A = 0 Giải phơng trình ẩn t sau đó thếx x 1 = t giải tìm x. Bài4: Giải phơng trình bậc cao Dùng các phép biến đổi đa phơng trình bậc cao về dạng: + Phơng trình tích + Phơng trình bậc hai. Nội dung 7: giải hệ phơng trình Bài toán: Giải hệ phơng trình =+ =+ ”’ cybxa cbyax Các phơng pháp giải: + Phơng pháp đồ+ Phơng pháp cộng + Phơng pháp thế Trần Quốc Hng – Trờng THCS Gia Phơng[…]… Dạng 9: Chứng minh MT là tiếp tuyến của đờng tròn (O;R) Cách chứng minh: – Chứng minh OT MT tại T (O;R) – Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng MT bằng bán kính – Dùng góc nội tiếp Dạng 10: Các bàitínhđộ dài cạnh, độ lớn góc Cách tính: – Dựahệlợng trong tam giác vuông – Dựatỷ số lợng giác – Dựahệgiữa cạnh và góc trong tam giác vuông – Dựacông thức. .. = m khi h(x) = 0 Phơng pháp 2: Dựatập giá trị hàm Phơng pháp 3: DựađẳngNội dung 10: các bàiliên quan đến hàm số Trần Quốc Hng – Trờng THCS Gia Phơng 11 tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập* Điểm thuộc đờng – đờng đi qua một điểm Bài toán: Cho (C) là đồcủa hàm số y = f(x) và một điểm A(xA;yA) Hỏi (C) có đi qua A không? Đồ(C) đi qua A(xA;yA) khi… Acần nhớ 1 Hệlợng trong tam giác vuông b2 = ab’ c2 = ac’ A h2 = b’c’ b c ah = bc a =b +c 2 2 2 B 1 1 1 = 2+ 2 2 h b c h c’ b’ C H a 2 Tỉ số lợng giác của góc nhọn 0 < sin < 1 0 < coss < 1 Trần Quốc Hng – Trờng THCS Gia Phơng 13và cách giải các dạng bài tậptg = sin cos tg.cotg = 1 cot g = 1 + tg 2 = cos sin 1 cos 2 sin2 + cos2 = 1 1 + cot g 2 = 3 Hệ thức. .. n0: S =Các loại đờng tròn Đờng tròn ngoại tiếp tam giác Đờng tròn nội tiếp tam giác R 2 n lR = 360 2 Đờng tròn bàng tiếp tam giác Trần Quốc Hng – Trờng THCS Gia Phơng 17và cách giải các dạng bài tậpA A A B C O O F B E J C B C Tâm đờng tròn là giao của ba đờng trung trực của tam giác Tâm đờng tròn là giao của ba đờng phân giác trong của tam giácCác loại hình không gian… đối của một hình bình hành Dạng 3: Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc Cách chứng minh: – Chúng song song song song với hai đờng thẳng vuông góc khác – Chứng minh chúng là chân đờng cao trong một tam giác – Đờng kính đi qua trung điểm dây và dây Trần Quốc Hng – Trờng THCS Gia Phơng 1 9 tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập- Chúng là phân giác của hai góc kề bù nhau Dạng 4: Chứng minh.. . tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập+ Phơng pháp đặt ẩn phụ Nội dung 7: giải phơng trình vô tỉ Bài1: Giải phơng trình dạng Ta có f ( x) = g ( x) (1) g(x) 0 (2) f ( x) = g ( x) 2 f (x) = [ g(x)] (3) Giải (3) đối chiếu điều(2) chọn nghiệm thíchnghiệm của (1) Bài2: Giải phơng trình dạng f ( x) + Điều kiện… Tiếp tuyến chung trong d d d’ O O’ O O’ d’ 6 Góc với đờng tròn Loại góc Hình vẽ A B 1 Góc ở tâm ã AOB = sd ằ AB O A B 2 Góc nội tiếp Côngtính số đo 1 ã AMB = sd ằ AB 2 O M Trần Quốc Hng – Trờng THCS Gia Phơng 16 tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tậpx 3 Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung A B 1 ã xBA = sd ằ AB 2 O B A 4 Góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn 1 ã ằ AMB = ( sd ằ +… xúc với đờng cong (C): y = f(x) Trần Quốc Hng – Trờng THCS Gia Phơng 12 tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tậpPhơng trìnhquát của đờng thẳng (D) là : y = kx + b Phơng trình hoành độ điểm chung của (D) và (P) là: f(x) = kx + b (*) Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép Từ điềunày ta tìm đợc hệliên hệ giữa a và b (**) Mặt khác: (D) qua A(xA;yA) do đó ta có yA… hơn Trần Quốc Hng – Trờng THCS Gia Phơng 14và cách giải các dạng bài tập+ Dây lớn hơn căng cung lớn hơn – Vị tríđối của đờng thẳng và đờng tròn: Số điểm chung Hệliên hệ giữa d và R 2 dR – Đờng thẳng và đờng tròn cắt nhau – Đờng thẳng và đờng tròn tiếp xúc nhau – Đờng thẳng và đờng tròn không giao nhau – Vị tríđối của đờng thẳng… MC.MD = ME.MF Tức là ta chứng minh: MAE MFB MCE MFD MA.MB = MC.MD * Trờngđặc biệt: MT2 = MA.MB ta chứng minh MTA MBT Dạng 8: Chứng minh tứ giác nội tiếp 20 Trần Quốc Hng – Trờng THCS Gia Phơngvà cách giải các dạng bài tậpCách chứng minh: Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: – Tứ giác cóhai góc đối bằng 1800 – Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong . quốc hng tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9 Năm 2008 tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9 tổng hợp kiến thức và. giải các dạng bài tập toán 9 A. Kiến thức cần nhớ. 1. Điều kiện để căn thức có nghĩa. A có nghĩa khi A 0 2. Các công thức biến đổi căn thức. a. 2 A A= b.