Rèn kỹ năng phân tích và khai thác bài toán hình học 9
MỤC LỤC
NỘI DUNG
TRANG
A.ĐẶT VẤN ĐỀ
1
I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:s
1
II.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
3
III.ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
3
IV.PHẠM VI ÁP DỤNG CỦA ĐỀ TÀI
3
V.KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU
4
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
5
I.THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
5
II. BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC :
5
C. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
21
I.HIỆU QUẢ CỦA ĐỀTÀI
21
II.KẾT LUẬN
23
III.KHUYẾN NGHỊ
24
D.TÀI LIỆU THAM KHẢO
25
ĐẠO
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
1. Về mặt lý luận:
Định hướng về đổi mới phương pháp dạy học hiện nay là Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của người học, hình thành và phát triển năng lực tự học , trên cơ sở đó trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của tư duy. Có thể chọn lựa một cách linh hoạt các phương pháp chung và phương pháp đặc thù của môn học để thực hiện. Tuy nhiên dù sử dụng bất kỳ phương pháp nào cũng phải đảm bảo được nguyên tắc “Học sinh tự mình hoàn thành nhiệm vụ nhận thức với sự tổ chức, hướng dẫn của giáo viên”.
Dạy toán ở trường THCS ngoài việc cung cấp kiến thức cho học sinh, chúng ta phải chú trọng dạy cho học sinh phương pháp nghiên cứu, tìm tòi phát triển tri thức một cách sáng tạo và dạy cho học sinh cách tự học là cơ bản. Chính vì lẽ đó mà các nhà khoa học, giáo dục đã và đang nghiên cứu đổi mới, cải tiến phương pháp dạy nhằm nâng cao chất lượng dạy học.
Để dạy toán theo phương pháp đổi mới hiện nay, quá trình dạy và học phải lấy học sinh làm trung tâm. Người thầy cần phải thực hiện phương pháp dạy chủ động với phương châm: “ Đến cái gì học sinh nói được, viết được, làm được thì giáo viên không nói, không viết, không làm thay tiến tới dạy cho học sinh biết tích cực chủ động sáng tạo phát triển năng lực tự học tự rèn luyện”.
Trong chương trình toán trung học cơ sở, môn Hình học là rất quan trọng và rất cần thiết cấu thành nên chương trình toán học ở trung học cơ sở cùng với môn số học và đại số. Đối với nhiều học sinh bậc trung học cơ sở, Hình học thật sự là một môn học khó, đòi hỏi sự tư duy của các em rất cao. Vì vậy, có rất nhiều học sinh dù học giỏi môn đại số nhưng các em chỉ đạt điểm trung bình khi làm bài kiểm tra môn hình học, từ đó ảnh hưởng đến kết quả xếp loại môn toán cũng như xếp loại học lực của các em.
Lớp 9 là lớp học lần ba làm quen với việc vận dụng các kiến thức lý thuyết căn bản vào việc giải một bài toán hình học cụ thể , do đó việc rèn cho học sinh các kĩ năng phân tích tìm lời giải và khả năng khai thác phát triển bài toán hình học là điều hết sức cần thiết vừa là nhiệm vụ thường xuyên đối với giáo viên dạy toán. Vì vậy, người thầy phải tạo cho học sinh hướng suy nghĩ, tìm tòi khám phá ra những hướng chứng minh cho mỗi bài toán hình học từ đó học sinh hứng thú say mê, yêu thích môn học và vận dụng sáng tạo kiến thức môn học vào thực tiễn và cuộc sống.
2.Về mặt thực tiễn:
Qua thực tế giảng dạy ở trường THCS tôi nhận thấy: Mặc dù giáo viên đã thường xuyên sát xao việc học và làm bài tập về nhà của các em.Ngoài ra nhà trường còn tiến hành tổ chức học phụ đạo và nâng cao môn toán cho các em thêm vào một buổi chiều nhưng học sinh trường tôi rất ngán học môn toán và “sợ” môn hình học .
Khi nói đến môn hình học thì học sinh thường ngại học đặc biệt là quá trình vận dụng các kiến thức đã học vào bài tập và thực tiễn, quá trình làm bài tập đôi khi còn gặp nhiều bế tắc, không biết bắt đầu từ đâu , không biết nhìn nhận phân tích hình vẽ để làm bài, quá trình giải thì suy luận thiếu căn cứ hoặc luẩn quẩn, trình cẩu thả, tuỳ tiện,. Đa số học sinh chỉ làm những bài toán chứng minh hình học đơn giản. Song thực tế nội dung của bài toán hình thì rất phong phú và có nhiều cách giải khác nhau.Hơn nữa học sinh khai thác và phát triển bài toán thì rất hạn chế , ngay cả những học sinh khá giỏi cũng rất lúng túng chưa biết vận dụng linh hoạt các kiến thức để giải bài toán hình học .Vì thế,đa số học sinh chưa hứng thú học môn hình học dẫn tới tỷ lệ học sinh yếu kém chưa được giảm nhiều và tỷ lệ học sinh khá giỏi môn toán chưa cao.
Kết quả khảo sát 59 HS lớp 9 của trường trong năm học 2014-2015 về thái độ đối với môn hình học cho thấy:
SL
Yêu thích môn học
Bình thường
Không thích học
SL
%
SL
%
SL
%
59
20
33,9%
19
32,2%
20
33,9%
– Kết quả khảo sát chất lượng môn hình học qua 59 học sinh lớp 9 của trường trong năm học 2014-2015 cho thấy:
SL
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
59
7
11,8%
13
22%
29
49,2%
8
13,6%
2
3,4%
Bản thân tôi đã và đang trực tiếp giảng dạy chương trình toán 9 , tôi nhận thấy mình và các đồng nghiệp còn bộc lộ rất nhiều hạn chế cả về phương pháp và kiến thức, nhất là phương pháp dạy giải toán hình học. Vậy làm thế nào để cuốn hút các em với môn học này? Câu hỏi đó là động lực luôn thôi thúc tôi cần phải sáng tạo, làm mới mình khi giảng dạy đặc biệt là phân môn Hình học. Chính từ những lý do trên, tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “Rèn kỹ năng phân tích và khai thác bài toán hình học 9” Với mong muốn góp phần nâng cao hiệu quả ,chất lượng trong dạy học môn hình học lớp 9 của trường THCS theo tinh thần đổi mới .Củng cố thêm nghiệp vụ giảng dạy của mình ,đồng thời mong được đóng góp một phần nhỏ bé của mình với các bạn đồng nghiệp và giúp cho sư nghiệp giáo dục của đơn vị cũng như của huyện được nâng lên.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
Trên cơ sở nghiên cứu lí luận và thực trạng dạy học phân môn hình học lớp 9 của Trường THCS ,sáng kiến kinh nghiệm này đã đề ra được các giải pháp để rèn kỹ năng phân tích tìm lời giải,khai thác bài toán hình học cho học sinh ở trường THCS , từ đó giúp học sinh nắm vững và hiểu sâu các kiến thức cơ bản, nhìn nhận một bài toán hình dưới nhiều khía cạnh khác nhau ,có kỹ năng vận dụng các kiến thức vào bài tập và thực tiễn .Cung cấp cho các em phương pháp tự học từ đó các em chủ động, tự tin và sáng tạo trong học toán và có hứng thú học tập bộ môn hơn.
Đề tài cũng là một tài liệu tham khảo cho các giáo viên trong quá trình đọc và nghiên cứu tài liệu, cũng như giảng dạy môn toán hình.Đặc biệt đây là kinh nghiệm giúp cho GV tham khảo khi thiết kế bài dạy các tiết luyện tập, ôn tập, luyện thi trong quá trình dạy học của mình.
Ngoài mục đích trên đề tài có thể coi như một giải pháp góp phần thực hiện đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh THCS.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
– Những bài toán hình học 9 và những vấn đề liên quan.
– Học sinh lớp 9
IV. PHẠM VI ÁP DỤNG CỦA ĐỀ TÀI:
– Đề tài áp dụng được cho tất cả các đối tượng học sinh lớp 9.
– Đề tài có thể dùng trong các tiết dạy chính khóa, ôn tập củng cố và nâng cao kiến thức đặc biệt là ôn thi vào các trường THPT.
V. KẾ HOACH NGHIÊN CỨU:
– Nghiên cứu trong 3 năm học:
Năm học :2014-2015; 2015-2016;2016-2017.
- Kế hoạch nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm :
+) Năm học 2014-2015: Thảo luận ,tìm kiếm vấn đề nghiên cứu và nghiên cứu lí thuyết ;xây dựng đề cương sáng kiến kinh nghiệm,hoàn chỉnh các biểu mẫu điều tra.
+) Năm học 2015-2016: Tiến hành điều tra HS , sử lí số liệu ,cho vận dụng vào thực tế giảng dạy môn hình học lớp 9 và tiếp tục được vận dụng vào giảng dạy môn hình học lớp 9 tại trường trong các năm học tiếp theo.
+) Trong năm học 2016-2017:Điều chỉnh lại và viết chính thức các nội dung của sáng kiến kinh nghiệm, in ấn đóng quyển và nộp.
I.THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ :
Trong quá trình giảng day,dự giờ, góp ý và trao đổi với các đồng nghiệp, tôi nhận thấy một số thực trạng sau:
1. Đối với giáo viên:
Phần lớn giáo viên chưa nhận thức đầy đủ về ý nghĩa của việc dạy học giải toán. Còn nhiều giáo viên chưa cho học sinh thực sự làm toán mà chủ yếu giải toán cho học sinh và chú ý đến số lượng hơn là chất lượng. Trong quá trình dạy học giải toán giáo viên ít quan tâm đến việc rèn luyện các thao tác tư duy và phương pháp suy luận. Thông thường giáo viên thường giải đến đâu vấn đáp hoặc giải thích cho học sinh đến đó, không những vậy mà nhiều giáo viên còn coi việc giải xong một bài toán kết thúc hoạt động , giáo viên chưa thấy được trong quá trình giải toán nó giúp cho học sinh có được phương pháp, kĩ năng, kinh nghiệm, củng cố, khắc sâu kiến thức mà còn bổ xung nguồn kiến thức mới phong phú mà tiết dạy lý thuyết mới không thể có được.
2. Đối với học sinh:
Đa số học sinh chưa hứng thú khi học môn Hình vì:
– Học sinh còn thiếu phương pháp, thiếu tư duy trong giải toán. Có những bài toán rất đơn giản nhưng các em cũng không nhìn ra vấn đề nên không giải được.
– Yếu về kỹ năng phân tích đa chiều một bài toán.
– Chưa có thói quen khai thác bài toán đã giải
II. BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC:
1.Phân tích bài toán:
Khi đã vẽ xong hình, việc tìm ra hướng giải bài toán là khó khăn nhất. Thực tế cho thấy học sinh thường bị mắc ở khâu này. Nguyên nhân ở chỗ các em chưa biết sử dụng giả thiết đã cho để kết hợp với khả năng phân tích hình vẽ để lựa chọn cách làm bài. Việc huy động những kiến thức đã học để phục vụ cho việc chứng minh còn hạn chế, có em còn lẫn lộn giữa giả thiết và kết luận.Việc liên hệ các bài toán còn chưa tốt, khả năng phân tích, tổng hợp … của học sinh còn yếu. Nhiều bài toán đã được giải nếu thay đổi dữ kiện thì học sinh vẫn gặp khó khăn khi giải.
Để giúp học sinh tháo gỡ những khó khăn khi giải toán hình học, trước hết thầy cô phải có phương pháp hướng dẫn các em hiểu thấu đáo và biết cách phân tích một đề bài.Trên cơ sở đó giáo viên tìm cách giúp đỡ các em vận dụng được những kiến thức đã học để tìm ra lời giải và có cách trình bày bài toán của mình hoàn chỉnh và chặt chẽ.
- Phân tích hình vẽ và sử dụng giả thiết để tìm cách giải :
Sau khi đã vẽ hình cần phải quan sát trên hình vẽ xem đã có thể hiện đày đủ giả thiết trên hình vẽ chưa (cần chú ý các kí hiệu theo quy ước). Trên cơ sở phân tích hình vẽ và huy động vốn kiến thức đã có học sinh sẽ định hướng được việc giải bài toán dưới sự dẫn dắt của thầy giáo bằng hệ thống câu hỏi.
- Sử dụng phương pháp phân tích đi lên để tìm hướng làm bài:
Trong các phương pháp đã thực hiện trong chương trình trung học cơ sở, giải bài tập hình học bằng phương pháp phân tích đi lên là phương pháp giúp học sinh dễ hiểu, có kỹ thuật giải toán hình hệ thống, chặt chẽ và hiệu quả nhất. Nếu giáo viên kiên trì làm tốt phương pháp này, cùng học sinh tháo gỡ từng vướng mắc trong khi lập sơ đồ chứng minh, cùng các em giải các bài tập từ dễ đến khó thì tôi tin rằng sẽ làm cho các em hứng thú với môn hình và kết quả sẽ cao hơn.
Vậy thế nào là phương pháp phân tích đi lên?
Có thể khái niệm rằng, đây là phương pháp dùng lập luận để đi từ vấn đề cần chứng minh dẫn tới vấn đề đã cho trong một bài toán. Cách lập luận đó không có gì xa lạ mà chính là các định nghĩa, định lý, các tính chất, các dấu hiệu nhận biết đã được dạy và học. Nói cách khác, đây là phương pháp dùng lập luận phân tích theo kiểu “thăng tiến”, biết cái này là do đã biết cái kia, biết vấn đề A từ cơ sở của vấn đề B… Hiểu đơn giản hơn, trong quá trình thực hiện phương pháp này, học sinh phải trả lời cho được các câu hỏi theo dạng: “để chứng minh(…) ta cần chứng minh (cần có) gì? Như vậy, muốn chứng minh A không có nghĩa là ta đi chứng minh trực tiếp A mà thông qua việc chứng minh B thì ta đã chứng minh được A một cách gián tiếp theo kiểu đi lên.
Thông thường, khi chứng minh một bài toán (A
B) ta phải suy xuôi theo sơ đồ: A = A0 A1 A2 … An = B.
Sơ đồ phân tích đi lên (để tìm hướng chứng minh) có thể được khái quát như sau: B = An An-1 … A1 A0 = A.
(1) (2) (3) (n)
Cần chứng minh vấn đề A= A0 
A1 A2 … An.Trong mỗi bước suy luận (1), (2), (3), …(n) đều được suy luận ra từ cơ sở luận chứng trước nó, cụ thể có được A đúng thì phải có A1 đúng, để có A1 đúng thì phải có A2 đúng… đến An là một điều đã biết, đã được chứng minh là đúng hoặc đã có từ giả thiết.
Từ kinh nghiệm giảng dạy thực tế, chúng tôi thấy phương pháp phân tích đi lên luôn có tác dụng gợi mở, tác động mạnh đến tư duy của học sinh (bao gồm tư duy phân tích và tư duy tổng hợp). Từ đó giúp các em hệ thống và nhớ được các kiến thức liên quan đã học trước đó. Trong quá trình giải bài tập, các em vừa đi tìm đáp số vừa có dịp “hồi tưởng” lại những kiến thức mình đã học mà có khi không nhớ hết.Có thể nói trong khi giải bài tập bằng phương pháp phân tích đi lên thì việc lập được sơ đồ chứng minh là đã thành công được một nửa, phần việc còn lại là bằng phương pháp tổng hợp sắp xếp các bước theo một trình tự logic, trong đó mỗi bước lại có các căn cứ, luận chứng .
CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ
Trong các ví dụ sau, giáo viên hướng dẫn học sinh lập sơ đồ phân tích cho từng câu của bài toán đi từ kết luận giả thiết; học sinh tự chứng minh ngược lại. Hệ thống câu hỏi nêu vấn đề từ dưới lên.
Ví dụ 1: (Bài tập 21 trang 111 SGK toán 9 tập 1)
Cho tam giác ABC có AB = 3, AC =4, BC = 5. Vẽ đường tròn (B; BA). Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn.
Câu hỏi dẫn dắt
Sơ đồ phân tích
Để chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA) ta cần chứng minh điều gì ?
Muốn chứng minh 
ta cần chứng minh ACB bằng bao nhiêu ?
Để chứng minh BAC = 900 ta cần chứng minh tam giác ABC là tam giác gì ?
Muốn chứng minh tam giác ABC vuông tại A ta cần chứng minh hệ thức nào ?
AC là tiếp tuyến (B; BA)
AC
BA
= 900
ABC vuông tại A
BC2 = AB2 + AC2
(định lí py ta go đảo)
mà 52 = 32 + 42
Ví dụ 2: ( Bài tập 26 (a, b) trang 115 SGK toán 9 tập 1)
Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C là các tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC.
b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song với AO.
GV yêu cầu đọc đề vẽ hình bài toán 
Câu hỏi dẫn dắt
Sơ đồ phân tích
a)Cách 1:
Để chứng minh OA vuông góc với BC ta có thể chứng minh OA là đường gì của đoạn thẳng ?
Muốn chứng minh OA là đường trung trực của BC ta cần chỉ ra điều gì ?
a)Cách 1:
OABC
OA là đường trung trực của BC
AB = AC
OB = OC
Cách 2:
Để chứng minh OABC ta cần chứng minh ABC cân và điều gì nữa ?
Tam giác ABC cân vì sao ?
OA là phân giác của theo tính chất nào ?
Cách 2: OABC
ABC cân tại A và OA là phân giác của
Vì AB = AC (T/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)
và OA phân giác của
(T/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)
b) Cách 1:
Ta có OABC vậy muốn chứng minh BD//AO ta cầo chứng minh thêm điều gì ?
Muốn có BD AO thì ta cần chứng minh tam giác BCD là tam giác gì ?
Muốn chứng minh tam giác BCD vuông tai B ta cần chỉ ra điều gì ?
Cách 2:
Để chứng minh BD//AO ta có thể chứng minh BD song song với đoạn nào ?
Muốn chứng minh BD//OH ta cần chứng minh OH là đường gì của tam giác BCD ?
Muốn có OH là đường trung bình BCD ta cần chỉ ra điều gì ?
b)Cách 1: BD//AO
OABC(c/m trên)
BD AO
BCD vuông tại B
Cách 2:
BD//AO
BD//OH
HO là đường trung bình BCD
OB=OD(bán kính)
HB=HC (c/m trên)
Ví dụ 3: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến xBx’ , gọi C, D là hai điểm nằm trên đường tròn và ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là AB, Tia AC cắt Bx tại M, tia AD cắt Bx’ tại N.
a) Chứng minh: AC.AM=AD.AN
b) Chứng minh: tứ giác MNDC nội tiếp.
c) Chứng minh: Tích AC.AM không đổi khi C, D di động trên đường tròn.
Hướng dẫn Lập sơ đồ chứng minh:
Khai thác giả thiết:
-Ta có: 
a) Chứng minh AC.AM=AD.AN
(?1) 
(?2)
Δ ADC ~ Δ AMN
(?3)
Góc A chung và 
(?4)
sđ
và
(Góc nội tiếp) (Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn)
b) Chứng minh tứ giác MNDC nội tiếp
(?5)
(?6)
(Kề bù)
(?7)
Câu hỏi dẫn dắt
(?1) Để chứng minh AC.AM=AD.AN cần chứng minh tỷ lệ thức nào ?
(?2) Để có cần chứng minh điều gì ?
(?3) Để chứng minh Δ ADC ~ Δ AMN cần chỉ ra các điều kiện nào ?
(?4) Quan sát hình vẽ cho biết cần sử dụng kiến thức nào để chứng minh ?
.
(?5) để chứng minh tứ giác MNDC nội tiếp ta sử dụng phương pháp nào ? và cần chỉ ra điều gì ?
(?6) Vận dụng kiến thức nào để chứng minh
(?7)
Muốn có cần chứng minh được điều gì ?
Đối với học sinh yếu GV có thể đưa ra bài tập điền khuyết bảng phụ
…………………………..
- Một số lưu ý: Phương pháp phân tích đi lên vẫn còn những mặt hạn chế
nhất định như luôn đòi hỏi học sinh phải tư duy bậc cao, do đó những học sinh mất căn bản rất ngại dùng phương pháp này. Nhưng với học sinh khá giỏi thì phương pháp này thật sự hữu hiệu khi được đưa ra áp dụng để giải toán.
Để cho học sinh làm quen và rèn kỹ năng giải toán bằng phương pháp phân tích đi lên, giáo viên cần đưa ra những yêu cầu bắt buộc trong khi thực hiện:
– Hình vẽ luôn chính xác, đầy đủ các ký hiệu trên đó. Học sinh phải trang bị các dụng cụ học tập cần thiết như thước kẻ, com-pa, thước đo độ, bút chì…
– Hệ thống được các kiến thức đã tiếp thu, kiến thức đó phải được lặp đi lặp lại nhiều lần và thật chính xác. Bên cạnh đó, học sinh còn biết thể hiện các nội dung kiến thức bằng ngôn ngữ toán học và dựa vào hình vẽ để phân tích.
– Giáo viên phải chuẩn bị hệ thống câu hỏi hợp lý kèm theo sơ đồ để có thể từng bước hướng dẫn học sinh biết thực hiện phân tích.
– Từng bước cho học sinh làm quen dần cách phân tích và từ từ. Nên cho học sinh áp dụng phương pháp này khi học ở lớp 7, đồng thời hướng dẫn thao tác tổng hợp để trình bày lại bài giảng.
– Phương pháp này phải được áp dụng thường xuyên thì học sinh mới hiểu và có thói quen sử dụng thường xuyên.
2. Khai thác bài toán:
Trong giảng dạy môn toán, ngoài việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, thì việc phát huy tính tích cực của học sinh để mở rộng, khai thác thêm bài toán theo tôi là rất cần thiết, đặc biệt là công tác bồi dưỡng học sinh giỏi. Mặt khác từ kinh nghiệm giải quyết một bài toán, ta thường phải hình thành những mối liên hệ từ những điều chưa biết đến những điều đã biết, những bài toán đã có cách giải. Nên việc thường xuyên khai thác, phân tích một bài toán là một cách nâng cao khả năng suy luận, tư duy sâu cho học sinh.
CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ
Bài toán 1: (Bài tập 30 – trang 116. SGK Toán 9 – Tập 1)
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng:
a) 
=90o
b) CD = AC + BD
c) Tích AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn.
Giải:
a) Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ điểm C, ta có: 
Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ điểm D, ta có 
Do đó: 
=
=900. Hay 
b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: CA = CM và DB =DM.
Nên CD = CM + MD = CA + DB
c) Theo câu a, , hay tam giác COD vuông tại O.
Mặt khác: 
(tính chất tiếp tuyến).
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông COD, ta có:
không đổi.
- Ngoài ba câu hỏi trong bài toán trên, đối với học sinh trung bình ta có thể tiếp tục khai thác bài toán bằng các câu hỏi sau:
d) Chứng minh 
COD 
AMB
Gợi ý: Ta có: 
1 = 2 ; 
1 = 2 
… COD 
AMB (g.g)
- Khi COD AMB ta nghỉ đến tỉ số diện tích các tam giác đó nên có thêm câu hỏi:
e) Tính tỉ số 
khi AC = 
?
Gợi ý: Theo cách chứng minh ở câu c, ta có OM2 = MC. MD hay MC. MD = R2 mà MC = AC = 
=> MD = 
= R2: = 2R
=> CD = CM + DM = + 2R = 
Theo trên DCOD D AMB => 
= : 2R = 
= k (k là tỉ số đồng dạng).
Vì tỉ số diện tích giữa hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng, nên ta có:
= k2 => 
= 
f) Gọi K là giao điểm của AD và BC hãy chứng minh MK 
AB
Gợi ý:
Ta có AC//BD (gt)
Áp dụng hệ quả của định lý Thalets vào tam giác AKC, ta có:
(1)
AC, CM là tiếp tuyến của nửa (O) nên CM = CA (2) ,
tương tự ta có DB = DM (3)
Từ (1), (2), (3) ta có: 
( Theo định lý Thalets đảo)
- Sau khi chứng minh được
, ta có thêm câu hỏi:
g) Chứng minh CD.KM = CM.BD.
Gợi ý: hay MK // AC, dễ thấy DCKM D CBD
suy ra 
CD.KM = CM.BD.
h) Giả sử MK AB tại H, hãy so sánh MK và KH ?
Gợi ý: Gọi I là giao điểm của BM và Ax. Ta có:
CA = CM 
= 
= 
CI = CM = CA
Do MH // IA, áp dụng định lý Thales ta có:
=
=
mà CI=CA MK = KH
- Từ giả thiết của bài toán nghĩ ngay đến tứ giác nội tiếp do đó có thêm câu hỏi :
i) Chứng minh các tứ giác CMOA; DMOB nội tiếp đường tròn.
Gợi ý: Áp dụng dấu hiệu tổng các góc đối diện bằng 1800
k) Giả sử OC cắt AM tại E và OD cắt BM tại F.Hãy xác định tâm của đường tròn đi qua 4 điểm O; E; M; F.
Gợi ý: Chứng minh tứ giác OEOF là hình chữ nhật nên tâm của đường tròn đi qua 4 điểm O;E;M;F chính là giao điểm của OM và EF
- Thật là sáng tạo nếu từ kết quả chứng minh ở câu k), ta có thể khai thác thêm các câu hỏi về quỹ tích dành cho đối tượng học sinh khá, giỏi như sau:
l ) Gọi P là tâm đường tròn đi qua 4 điểm O; E; M; F. Hãy tìm quỹ tích của điểm P, khi M chạy trên nủa đường tròn tâm O, đường kính AB.
Gợi ý: Từ kết quả của câu k), ta có: PO = 
OM = . Do điểm O cố định, PO = không đổi nên quỹ tích của P là nửa đường tròn đồng tâm với (O) có bán kính bằng nửa bán kính của (O)
m) Gọi N là trung điểm của CD. Tìm quỹ tích điểm N khi M di chuyển
trên nửa đường tròn tâm O, đường kính AB (M không trùng với A và B).
Gợi ý:
Vì ON là đường trung bình của hình thang ACDB nên ON // Ax // By. Do đó N thuộc tia Ot song song và cách đều hai tia Ax và By. Gọi M’ là giao điểm của tia Ot và nửa đường tròn. Nếu 
Do đó quỹ tích của điểm N là tia M’t
- Từ bài toán gốc có thể liên tưởng đến bài toán cực trị không? Đối với bài này ta có thể khai thác được bởi các câu hỏi.
n) Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất?
Gợi ý:
Chu vi tứ giác ACDB = AB +AC + CD + DB
Mà AC + BD = CD nên suy ra chu vi của tứ giác ACDB = AB + 2CD.
Do AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất.
CD nhỏ nhất 
CD Ax và CD By, khi đó CD // AB.
Suy ra M là điểm chính giữa của cung AB
p) Xác định vị trí của M để diện tích tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất?
Gợi ý:
Tứ giác ACDB là hình thang, có diện tích là: S = (AC + BD) .AB
S nhỏ nhất (AC + BD ) nhỏ nhất: Mà AC + BD = CD (câu 2)
Vậy CD nhỏ nhất CD // AB. Khi đó M là điểm chính giữa của cung AB
- Cũng có thể khai thác bài toán gốc theo hướng khó hơn:
q) Biết 
= 60O. Tính diện tích 
theo R.
Gợi ý:
DM = DB DMB cân
Do 
= 
= 60o nên 
đều
Gọi F là giao điểm của OD với MB thì DF MB
và DF = 
;
= BM.DF = 
MAB vuông có AM=R; AB=2R nên MB2 = AB2 – AM2 = 4R2 – R2 = 3R2
MB = R
= 
= 
(đvđt)
- Không chỉ dừng lại ở trên mà bài toán còn có thể mở rộng theo góc nhìn khác, chẳng hạn ta thấy
; 
nên điểm E thuộc nửa đường tròn đường kính AO; F thuộc nửa đường tròn đường kính OB. Từ đó ta có được bài toán sau:
Bài toán 2 (BT 42– trang 128. SGK Toán 9 – Tập 1.)
Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. BC là tiếp tuyến chung ngoài với 
. Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở M. Gọi E là giao điểm của OM và AB; F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh:
a. Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
b. ME . MO = MF . MO’
c. OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC
d. BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’
Giải:
a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
MO là phân giác của 
MO’ là phân giác của 
Mà 
là hai góc kề bù nên 
(1)
Mặt khác ta có 
cân tại M có ME là phân giác của 
(2)
Tương tự 
(3)
Từ (1); (2); (3) ta có: 
Suy ra tứ giác AEMF là hình chữ nhật
b) 
vuông tại A có AE MO 
vuông tại A có AF MO’ 
Do đó: ME . MO = MF . MO’
c) Vì MB = MC = MA (C/m trên)
Nên đường tròn đường kính BC có tâm là M đi qua A. Mà OO’ 
tại A 
(M)
là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC
d) 
= 90o nên M thuộc đường tròn có tâm 
đường kính 
Hình thang OBCO’ có M là đường trung bình, nên 
//OB mà 
suy ra 
Do đó BC là tiếp tuyến của đường tròn tâm đường kính OO’
- Từ bài toán trên ta có thể khai thác tiếp như sau:
e) Kéo dài BA cắt (O’) tại P; kéo dài CA cắt (O) tại Q.Chứng minh B,O,Q thẳng hàng; C, O’, P thẳng hàng.
Gợi ý:
Từ kết quả câu a, ta có AEMF là hình chữ nhật,suy ra: 
A thuộc đường tròn đường kính BQ
B,O,Q thẳng hàng.
Tương tự : C,O’, P thẳng hàng
- Từ kết quả câu e, ta có BQ = IA; CP = AK.Nên IK = IA+AK = BQ+CP,
xuất hiện thêm câu hỏi:
f) Chứng minh: IK=BQ+CP
g) Gọi R và r lần lượt là độ dài bán kính của (O) và (O’).Tính độ dài BC; BA; CA theo R và r.
Gợi ý:
Từ MA=MB=MC (c/m trên) 
(hai tia phân giác của hai góc kề bù )
Áp dụng hệ thức h2 = b’c’ vào tam giác vuông MOO’ ta có
MA2 = AO.AO’ hay MA2 = Rr 
Vậy
Ta có: CBD vuông tại B nên áp dụng hệ thức 
Ta có: 
Tương tự ta có: 
- Từ kết quả
(*) ta có thể khai thác tiếp như sau:
h) Vẽ (O2;r2 ) tiếp xúc với đường thẳng BC và tiếp xúc ngoài với (O) và (O’). Tính bán kính r2 .
Gợi ý:
Gọi H là tiếp điểm của (O2; r2) với BC
– Nếu H thuộc đoạn BC, khi đó theo (*) ta có: 
– Nếu H thuộc tia đối của CB (H ở vị trí H’ trên hình vẽ).
Khi đó BC = BH’ – H’C
- Qua chứng minh ở câu h). Nếu chú ý hơn một tí, chúng ta sẽ có thêm câu hỏi:
i)Chứng minh : 
với H thuộc đoạn BC
Thật vậy, từ hệ thức 
ta có:
- Gọi N là giao điểm của IB và KC, dễ thấy tứ giác ABNC là hình chữ nhật. Vậy liệu 3 điểm N, M, A có thẳng hàng không? Ta có thêm câu hỏi:
k) Gọi N là giao điểm của IB và KC .Chứng minh N,M,A thẳng hàng.
Gợi ý:
Vì 
cân tại O 
cân tại O
Tứ giác ABNC là hình chữ nhật, suy ra
nên 
tại A. Mà 
tại A.
Suy ra N, M, A thẳng hàng.
- Từ tứ giác ABNC là hình chữ, ta có
, nên N thuộc nửa đường tròn đường kinh IK. Vậy ta lại có câu hỏi:
l) Chứng minh rằng: AN2 = IA.AK
- Vẫn không ngừng khai thác, nếu sử dụng kiến thức về độ dài đường tròn, diện tích hình tròn, ta có thể phát triển tiếp để có những bài toán hấp dẫn như:
m). Hãy chứng minh rằng độ dài nửa đường tròn đường kính IK bằng tổng các độ dài của hai nửa đường đường kính IA và nửa đường đường kính AK .
Gợi ý:
Áp dụng công thức : C = 
d (d là độ dài đường kính ) và IA + AK = IK
khi đó ta có:
Từ IA + AK = IK, nhân hai vế với
,
ta có: 
Suy ra điều phải chứng Minh
n) Vậy có thể tính diện tích phần giới hạn bởi ba nửa đường tròn trên được không?
Gợi ý:
Gọi bán kính của đường tròn đường kính IK là R’, ta có:
Diện tích nửa hình tròn đường kính IK là: S1 = 
O’
O
A
Diện tích nửa hình tròn đường kính IA là: S2 = 
Diện tích nửa hình tròn đường kính AK là: S3 = 
Diện tích phần giới hạn đó là: S = S1- S2- S3 = – ( + ).
- Như vậy, sau khi giải xong bài toán 1, nếu chúng ta chỉ dừng lại ở
việc giải bài toán mà không tiếp tục suy nghĩ, tìm tòi, vận dụng triệt để các yếu tố từ hình vẽ, từ đó đặt ra những câu hỏi, những bài toán mới hay hơn, khó hơn thì liệu việc dạy học đã đạt hiệu quả cao chưa? Vai trò của việc tự học một lần nữa lại được chứng minh qua việc tìm tòi, sáng tạo để khai thác xung quanh một vấn đề cụ thể. Phải chăng đó là cách chúng ta nên dạy cho học sinh !
I. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI:
Trong chương trình giảng dạy của các năm học 2015-2016; 2016-2017 tôi và các đồng nghiệp đã vận dụng sáng kiến này trong giảng dạy và trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi tại trường. Kết quả so với năm học 2014 -2015 khi chưa áp dụng đề tài cho thấy phần lớn học sinh đã biết cách tìm ra con đường chứng minh một bài hình, các em không còn thụ động chờ đợi giáo viên giải như trước nữa .Các em đã có những tiến bộ rõ rệt về kĩ năng phân tích hình vẽ, kỹ năng phân tích tìm hướng giải bài toán. Một số em đã tìm tòi, khai thác bài toán tương đối tốt. Qua đó kích thích được sự say mê, tìm tòi sáng tạo của học sinh trong học hình học nói riêng và môn toán nói chung .Do đó kết quả học tập và thái độ yêu thích bộ môn hình học của học sinh được nâng lên rõ rệt:
Kết quả điều tra HS lớp 9 của trường trong ba năm học gần đây về thái độ đối với môn hình học .
Các năm học
SL
Yêu thích môn học
Bình thường
Không thích học
SL
%
SL
%
SL
%
2014-2015
59
20
33,9%
19
32,2%
20
33,9%
2015-2016
62
34
54,8%
21
33,9%
7
11,3%
2016-2017
63
45
71,4%
15
23,8%
3
4,8%
Biểu đồ so sánh về thái độ đối với môn hình học của HS lớp 9 trong trường
(Từ năm học 2014 -2015 đến 2016 -2017)
– Kết quả khảo sát chất lượng môn hình học lớp 9 của trường liên tục tăng trong 3 năm gần đây.Số liệu cụ thể được minh chứng qua các bảng số liệu sau:
Các năm học
SL
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
2014-2015
59
7
11,8
10
16,9
29
49,2
8
13,6
2
3,4
2015-2016
62
13
21
21
33,9
23
37,1
4
6,4
1
1,6
2016-2017
63
16
25,4
26
41,3
19
30,2
2
3,1
0
0
Biểu đồ so sánh chất lượng môn hình học lớp 9 của HS trong trường
( Từ năm học 2014 -2015 đến 2016 -2017)
Kết quả trên cho thấy người thầy với vai trò chủ đạo cần định hướng giúp học sinh rèn kỹ năng năng phân tích tìm lời giải và nhìn nhận bài toán hình dưới nhiều khía cạnh khác nhau thì HS có kỹ năng vẽ hình và khả năng phân tích tìm lời giải cho bài toán hình học 9 từ đó học sinh có phương pháp học tập bộ môn , không còn lúng túng trong việc giải một bài toán hình học và dẫn đến HS có kết quả học tập và có hứng thú học tập bộ môn hơn .
II. KẾT LUẬN .
– Đề tài là sự tìm tòi nghiên cứu và sáng tạo của bản thân trong quá trình dạy học, đáp ứng việc đổi mới phương pháp. Nhằm phát huy tính tích cực, niềm say mê, sáng tạo của mọi đối tượng học sinh.
– Rèn kỹ năng phân tích và khai thác bài toán là công cụ hữu hiệu giúp học sinh ngày càng phát huy khả năng tự học và năng động sáng tạo trong học tập môn toán nói chung đặc biệt là hình học đưa đến kết quả cao hơn trong học tập của các em. Trong đó sử dụng sơ đồ phân tích đi lên giúp giáo viên dễ dàng trong việc hướng dẫn giải quyết một bài toán một cách lô gíc, lại còn đưa đến cho học sinh tự học một cách chủ động sáng tạo tìm ra con đường chứng minh một bài hình học. Bên cạnh đó, đề tài đã khai thác sâu kiến thức trọng tâm của chương trình Toán THCS trên nhiều khía cạnh của kiến thức (đặc biệt là chương trình Toán lớp 9) và khai thác bài toán ở các góc nhìn khác tạo nên những bài toán mới hấp dẫn.
– Song dạy học không có phương pháp và công cụ nào là vạn năng bài toán trên chắc chắn còn nhiều hướng phân tích và khai thác khác nên đây chỉ là một kinh nghiệm nhỏ của bản thân rất mong được các bạn đọc, đồng nghiệp giúp đỡ và tìm ra nhiều phương pháp dạy học hay để góp phần nâng cao chất lượng giáo dục.
III.KHUYẾN NGHỊ:
* Đối với giáo viên :
– Mỗi một Giáo viên phải xác định đúng vai trò, nhiệm vụ của mình, tích cực nghiên cứu, tìm tòi, tâm huyết với học sinh để xứng đáng là “ Tấm gương tự học và sáng tạo”.
– Cần đẩy mạnh triển khai sáng kiến kinh nghiệm và vận dụng thường xuyên sáng kiến kinh nghiệm trong giảng dạy phân môn hình học 9 ở Nhà trường trong thời gian từ nay về sau .
*Đối với tổ và nhà trường :
-Cần tổ chức các chuyên đề về “Rèn kỹ năng phân tích và khai thác bài toán hình học 9” nói riêng và hình học cấp THCS nói chung ,coi đây là nhiệm vụ quan trọng góp quyết định đến việc đổi mới phương pháp giảng dạy, học tập bộ môn toán .
– Hàng năm nhà trường ngoài việc phát động phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm nên tổ chức đánh giá lại những sáng kiến kinh nghiệm có ứng dụng thiết thực trong công tác giảng dạy và động viên, khích lệ một cách kịp thời và xứng đáng.
* Đối với Phòng giáo dục nên tổ chức các chuyên đề về “ Đổi mới phương pháp dạy học môn toán THCS” ở cấp liên trường và cấp huyện để cho đội ngũ cán bộ giáo viên có điều kiện trao đổi, giao lưu học hỏi kinh nghiệm nhằm phục vụ cho công tác giáo dục ngày càng tốt hơn.
Xin trân trọng cảm ơn!
D.TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa hình học 6,7,8,9
+ Sách bài tập và sách giáo viên 6,7,8,9
+Chuẩn kiến thức kỹ năng hình học 6,7,8,9
2. Định lý hình học và các phương pháp chứng minh
(–Tác giả Hứa Thuần Phỏng).
3. Phương pháp dạy học ở THCS –Tác giả Hoàng Chúng.
4. Bài tập quỷ tích và dựng hình –Tác Giả Nguyễn Vĩnh Cận
5.Toán nâng cao chọn lọc hình học lớp 8 và 9
(Tác giả Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Khắc Hải)
6. Cở sở hình học –Tác giả Nguyễn Mộng Huy).
7. Giải bằng nhiều cách các bài toán lớp 9 –Tác giả Nguyễn Đức Tấn
8.Nâng cao và phát triển toán 9- Tác giả Vũ Hữu Bình
9. Website :
http://google.com.vn/
http:/www.giaoan.violet.vn
http:/www.vnmath.com.
http:/www.tailieu.vn.com
…………..
