Hệ thống hóa kiến thức môn giải tích 2 – HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC MÔN GIẢI TÍCH 2 1 Đạo hàm Vi phân 1 – Studocu
HỆ
THỐNG
HÓ
A
KIẾN
THỨC
MÔN
GIẢI
TÍCH
2
1
Đạo
hàm
Vi
phân
1.1
Vi
phân
1.
Cấp
1:
d
f
=
f
′
x
d
x
+
f
′
y
d
y
.
2.
Cấp
2:
d
2
f
=
f
′′
xx
d
x
2
+
2
f
′′
xy
d
y
d
y
+
f
′′
y
y
d
y
2
1.2
V
ector
Gradien
t,
đạo
hàm
theo
hư
ớng
của
1.
∇
f
(
x,
y
)
=
(
f
x
,
f
y
,
f
′
z
)
,
∂
f
∂
~
u
=
h∇
f
,
~
u
i
|
~
u
|
2.
∇
f
(
x,
y
,
z
)
=
(
f
x
,
f
y
)
,
∂
f
∂
~
u
=
h∇
f
,
~
u
i
|
~
u
|
3.
Hướng
tăng
nhanh
nhất
của
f
khi
đi
qua
M
là
hướng
của
∇
f
(
M
)
.
Giá
trị
lớn
nhất
của
∂
f
(
M
)
∂
~
u
là
|∇
f
(
M
)
|
1.3
Phư
ơng
trình
tiếp
diện
tại
M
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
1.
Pt
mặt
cong
S
:
F
(
x,
y
,
z
)
=
0
F
′
x
(
M
)(
x
−
x
0
)
+
F
′
y
(
M
)(
y
−
y
0
)
+
F
′
z
(
M
)(
z
−
z
0
)
=
0
2.
Pt
mặt
cong
S
:
z
=
z
(
x,
y
)
z
=
z
′
x
(
x
0
,
y
0
)(
x
−
x
0
)
+
z
′
y
(
x
0
,
y
0
)(
y
−
y
0
)
+
z
0
2
Tíc
h
phân
k
ép
I
=
RR
D
f
(
x,
y
)
d
x
d
y
2.1
T
rong
tọa
độ
Descartes
1.
D
:
a
≤
x
≤
b,
y
1
(
x
)
≤
y
≤
y
2
(
x
)
I
=
b
R
a
d
x
y
2
(
x
)
R
y
1
(
x
)
f
(
x,
y
)
d
y
2.
D
:
c
≤
y
≤
d,
x
1
(
y
)
≤
x
≤
x
2
(
y
)
I
=
d
R
c
d
y
x
2
(
y
)
R
x
1
(
y
)
f
(
x,
y
)
d
x
2.2
T
ọa
độ
cự
c
cơ
bản
x
=
r
cos
ϕ,
y
=
r
sin
ϕ
I
=
β
R
α
d
ϕ
r
2
(
ϕ
)
R
r
1
(
ϕ
)
f
(
r
cos
ϕ,
r
sin
ϕ
)
r
d
r
1.
Hình
tròn
tâm
O
(0
,
0)
:
x
2
+
y
2
≤
R
2
:
(
0
≤
ϕ
≤
2
π
(
−
π
≤
ϕ
≤
π
)
0
≤
r
≤
R
2.
Hình
tròn
tâm
O
(
R,
0)
:
x
2
+
y
2
≤
2
Rx
:
(
−
π
2
≤
ϕ
≤
π
2
0
≤
r
≤
2
R
cos
ϕ
3.
Hình
tròn
tâm
O
(
−
R,
0)
:
x
2
+
y
2
≤
−
2
Rx
:
π
2
≤
ϕ
≤
3
π
2
0
≤
r
≤
−
2
R
cos
ϕ
4.
Hình
tròn
tâm
O
(0
,
R
)
:
x
2
+
y
2
≤
2
Ry
:
(
0
≤
ϕ
≤
π
0
≤
r
≤
2
R
sin
ϕ
5.
Hình
tròn
tâm
O
(0
,
−
R
)
:
x
2
+
y
2
≤
−
2
R
y
:
(
π
≤
ϕ
≤
2
π
0
≤
r
≤
−
2
R
sin
ϕ
2.3
T
ọa
độ
cự
c
mở
rộng
1.
Áp
dụng
c
ho
hình
tròn
(
x
−
a
)
2
+
(
y
−
b
)
2
≤
R
2
x
=
a
+
r
cos
ϕ,
y
=
b
+
r
sin
ϕ,
J=r
(
0
≤
ϕ
≤
2
π
(
−
π
≤
ϕ
≤
π
)
0
≤
r
≤
R
2.
Áp
dụng
c
ho
miền
x
2
a
2
+
y
2
b
2
≤
1
,
x
=
ar
cos
ϕ,
y
=
br
sin
ϕ,
J=abr
(
0
≤
ϕ
≤
2
π
(
−
π
≤
ϕ
≤
π
)
0
≤
r
≤
1
3
Tíc
h
phân
b
ội
3
I
=
RRR
Ω
f
(
x,
y
,
z
)
d
x
d
y
d
z
3.1
T
rong
tọa
độ
Descartes
Ω
:
z
1
(
x,
y
)
≤
z
≤
z
2
(
x,
y
)
,
hc
Ω
=
D
⊂
O
xy
I
=
R
R
D
z
2
(
x,y
)
R
z
1
(
x,y
)
f
(
x,
y
)
d
z
!
d
x
d
y
Các
h
xác
định
D
:
gồm
3
yếu
tố
1.
Các
pt
hoặc
bất
pt
(xác
định
Ω
)
không
c
hứa
z
2.
Hình
c
hiếu
giao
tuyến
của
z
=
z
1
v
à
z
=
z
2
:
z
1
(
x,
y
)
=
z
2
(
x,
y
)
(Sử
dụng
khi
yếu
tố
1
không
tạo
ra
miền
kín
hoặc
không
có).
3.
Giao
miền
tạo
bởi
2
yếu
tố
trên
v
à
điều
kiện
xác
định
của
z
1
(
x,
y
)
,
z
2
(
x,
y
)
3.2
Đổi
biến
1.
T
ọa
độ
trụ
:
Khi
miền
D
đổi
sang
tọa
độ
cực
2.
T
ọa
độ
cầu
x
=
ρ
sin
θ
cos
ϕ,
y
=
ρ
sin
θ
sin
ϕ,
z
=
ρ
cos
θ
Sử
dụng
khi
có
mặt
cầu
tâm
O
hoặc
tâm
(0
,
0
,
±
R
)
k
ết
hợp
v
ới
a/
Các
mặt
tọa
độ
b/
Các
mặt
phẳng
đi
qua
trục
Oz
,
VD
:
y
=
k
x
c/
Nón
z
=
k
p
x
2
+
y
2
CÁ
CH
XÁC
ĐỊNH
CẬN
(i)
Điều
kiện
của
x,
y
là
điều
kiện
của
ϕ
trên
O
xy
giống
tọa
độ
cực.
(ii)
Cho
x
=
0
trong
điều
kiện
của
Ω
,
lát
cắt
trên
O
y
z
xác
định
ρ,
θ
.
1
