Bài toán thực tế: Hàm số theo chương trình SGK mới Toán 10

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) – NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) – NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) – NXB ĐH Sư Phạm

Hàm số và hàm số bậc nhất

Ví dụ 1: Trong một cuộc thi chạy 100m có ba học sinh A, B, C dự thi. Hình vẽ bên dưới đây mô tả quãng đường chạy được y (m) theo thời gian t (s) của mỗi học sinh.

a) Đường biểu diễn quãng đường chạy được của mỗi học sinh có là đồ thị hàm số hay không?

b) Học sinh nào về đích đầu tiên? Hãy cho biết ba học sinh đó có chạy hết quãng đường thi quy định không?

Giải. a) Đường biểu diễn quãng đường chạy được của mỗi học sinh là đồ thị hàm số vì với mỗi giá trị của t cho duy nhất một giá trị của y.

b) Học sinh A về đích sớm nhất do thời gian chạy ngắn nhất và cả ba học sinh đều chạy hết quãng đường thi quy định 100m.

Ví dụ 2: Bảng giá cước 1 hãng taxi cho trong hình vẽ:

a) Nếu gọi y (đồng) là số tiền khách phải trả khi đi quãng đường x (km) thì y có phải là hàm số của x hay không? Giải thích vì sao? Nếu đúng, hãy viết công thức mô tả của y theo x.

b) Tính số tiền khách phải trả khi đi quãng đường 20 km và 30 km.

c) Một khách hàng đã trả số tiền 500 nghìn đồng cho quãng đường di chuyển của mình, trong đó 50 nghìn đồng là số tiền khách tip cho tài xế taxi. Hỏi khách hàng này đã đi taxi với quãng đường bao nhiêu km?

Giải. a) Với mỗi quãng đường x (km) khách đi tương ứng với một giá trị của số tiền phải trả y (đồng) nên y là hàm số của x.

+ Nếu $0\le x\le 0,6\Rightarrow y=10000$ và $y\left( 0,6 \right)=10000$

+ Nếu $0,6<x\le 25\Rightarrow y=10000+13000\left( x-0,6 \right)=13000x+2200$ và $y\left( 25 \right)=327200$

+ Nếu $x>25\Rightarrow y=327200+11000\left( x-25 \right)=11000x+52200$

b) Số tiền khách phải trả khi đi quãng đường 20km là $13000\times 20+2200=262200$ đồng.

Số tiền khách phải trả khi đi quãng đường 30km là $11000\times 30+52200=382200$ đồng.

c) Số tiền khách trả khi đi x (km) là $500000-50000=450000$ đồng (không gồm tiền tip cho tài xế taxi) lớn hơn 382200 đồng là số tiền phải trả khi đi quãng đường 30km nên ta giải $11000x+52200=450000\Leftrightarrow x=\dfrac{1989}{55}\approx 36,16km.$

Ví dụ 3: Một hiệu chuyên cho thuê xe máy niêm yết giá như sau: Giá thuê xe là 110 nghìn đồng một ngày cho ba ngày đầu tiên và 80 nghìn đồng cho mỗi ngày tiếp theo.

a) Tính tổng số tiền phải trả T (nghìn đồng) theo số ngày thuê xe x mà khách thuê. Công thức T = T(x) thu được có phải là hàm số của x hay không?

b) Tính các giá trị T(2), T(4) và T(10) và nêu ý nghĩa của mỗi giá trị này.

c) Với số tiền 2 triệu đồng thì khách có thể thuê xe trong tối đa bao nhiêu ngày liên tiếp?

Giải. a) Theo bài ra ta có nếu $0\le x\le 3\Rightarrow T\left( x \right)=110x$ và nếu $x>3$ thì $T\left( x \right)=330+80\left( x-3 \right).$

Công thức $T=T\left( x \right)$ là hàm số của x.

b) Ta có $T\left( 2 \right)=220$ tức khách phải trả 220 nghìn đồng nếu thuê xe trong 2 ngày; $T\left( 4 \right)=410$ tức khách phải trả 410 nghìn đồng nếu thuê xe trong 4 ngày và $T\left( 10 \right)=890$ tức khách phải trả 890 nghìn đồng nếu thuê xe trong 10 ngày.

c) Số tiền 2 triệu đồng lớn hơn 330 nghìn đồng (phải trả cho 3 ngày thuê xe đầu tiên) nên cần giải $T\left( x \right)=330+80\left( x-3 \right)\le 2000\Leftrightarrow x\le 23,875\Rightarrow {{x}_{\max }}=23$ tức với số tiền 2 triệu đồng khách có thể thuê tối đa 23 ngày liên tiếp.

Ví dụ 4: Bảng sau đây cho biết giá nước sinh hoạt chưa tính thuế VAT của hộ dân cư theo mức nước sử dụng trong một tháng:

a) Số tiền phải trả y (đồng) chưa gồm thuế VAT có phải là hàm số của lượng nước x (m3) đã sử dụng hay không? Giải thích vì sao? Nếu đúng hãy viết công thức mô tả sự phụ thuộc của y vào x.

b) Mức sử dụng nước trong tháng có phải là hàm số của giá nước (chưa gồm thuế VAT) hay không? Giải thích vì sao?

c) Tính số tiền mà gia đình bạn A phải trả khi sử dụng hết 25 m3 nước trong một tháng, biết số tiền phải trả gồm cả thuế VAT 10%.

d) Trong một tháng gia đình bạn A phải trả 268 nghìn đồng tiền nước thì số m3 nước mà gia đình bạn A đã sử dụng là

Giải. a) Số tiền phải trả y (đồng) chưa gồm thuế VAT là hàm số của lượng nước x (m3) đã sử dụng vì với mỗi giá trị của x ta có một giá trị y duy nhất.

+ Nếu $0\le x\le 10\Rightarrow y=5973x$ và $y\left( 10 \right)=59730$

+ Nếu $10<x\le 20\Rightarrow y=59730+7052\left( x-10 \right)=7052x-10790$ và $y\left( 20 \right)=130250$

+ Nếu $20<x\le 30\Rightarrow y=130250+8669\left( x-20 \right)=8699x-43130$ và $y\left( 30 \right)=216940$

+ Nếu $x>30\Rightarrow y=216940+15929\left( x-30 \right)=15929x-260930$

b) Mức sử dụng nước trong tháng không là hàm số của giá nước (chưa gồm thuế VAT) vì cùng một đơn giá nước có nhiều mức sử dụng nước khác nhau. Ví dụ giá nước 5973 đồng/ m3 nhưng có các mức sử dụng nước khác nhau chẳng hạn 1 m3, 2 m3,…

c) Số tiền gia đình bạn A phải trả khi sử dụng 25 m3 nước trong tháng là $\left( {8699 \times 25 – 43130} \right) \times 1,1 = 191779,5$ đồng.

d) Vì $y\left( 30 \right)\times 1,1=216940\times 1,1=238634<268000$ nên trong tháng này gia đình bạn A sử dụng trên 30 m3 nước.

Vậy ta giải $\left[ 15929x-260930 \right]\times 1,1=268000\Leftrightarrow x=\dfrac{\dfrac{268000}{1,1}+260930}{15929}\approx 31,676$ m3 nước.

Ví dụ 6: Một nhân viên bán hàng sẽ nhận được một mức lương cơ bản là 5 triệu đồng mỗi tháng và một khoản hoa hồng là 5% của doanh số bán hàng nếu doanh số trên 100 triệu đồng mỗi tháng. Ngoài ra, nếu doanh số bán hàng hàng tháng là 200 triệu đồng hoặc nhiều hơn thì nhân viên bán hàng nhận được thêm tiền thưởng là 500 nghìn đồng.

a) Hãy viết công thức mô tả thu nhập y (triệu đồng) hàng tháng của nhân viên bán hàng theo doanh số bán hàng x (triệu đồng).

b) Nếu doanh số bán hàng trong tháng của nhân viên này là 300 triệu đồng thì thu nhập của nhân viên đó trong tháng là bao nhiêu?

c) Trong tháng này nhân viên bán hàng nhận được mức thu nhập là 25 triệu đồng thì doanh số bán hàng trong tháng này của anh nhân viên đó là bao nhiêu?

Ví  dụ 7: Ông A đi làm lúc 7 giờ và đến cơ quan lúc 7 giờ 12 phút bằng xe gắn máy, trên đường đến cơ quan ông A gặp một người băng qua đường nên ông phải giảm tốc độ để đảm bảo an toàn rồi sau đó lại từ từ tăng tốc độ để đến cơ quan làm việc. Hỏi quãng đường kể từ lúc ông A giảm tốc độ để tránh tai nạn cho đến khi tới cơ quan dài bao nhiêu mét ? (Đồ thị dưới đây mô tả vận tốc chuyển động của ông A theo thời gian khi đến cơ quan)

Ví dụ 8: Biểu giá bán lẻ điện sinh hoạt hiện tại áp dụng từ 2014, chia 6 bậc thang nhưng theo các chuyên gia, bộc lộ bất hợp lý trong chênh lệch giá giữa các bậc. Chưa kể, tỷ trọng hộ dùng điện ở nhóm khách hàng thấp (50 kWh) đang giảm dần, nhóm trung bình và cao (200-300 kWh và 301 kWh trở lên) tăng nhanh chóng.

Trong đề xuất đang lấy ý kiến, Bộ Công Thương dự kiến rút xuống còn 5 bậc (rút gọn bậc 1 và 2). Theo đó, giá điện bán lẻ thấp nhất là 1.678 đồng một kWh, cao nhất 3.356 đồng một kWh (chưa gồm thuế VAT).

Ngoài phương án 5 bậc, Bộ Công Thương cũng đưa ra phương án tính giá điện theo 4 bậc.

Với phương án này, Bộ Công Thương đánh giá sẽ giữ nguyên giá điện hiện hành trong bậc 0-100 kWh. Việc này nhằm đảm bảo ổn định cho hộ nghèo, hộ chính sách sử dụng điện ít và ngân sách nhà nước không thay đổi. Phần chênh lệch giảm doanh thu tiền điện sẽ được bù đắp từ hộ dùng từ 101 kWh trở lên.

a) Hãy viết công thức mô tả sự phụ thuộc của số tiền phải trả y (đồng) chưa gồm thuế VAT 10% vào mức sử dụng điện x (kWh) cho ba phương án nêu trên.

b) Xác định số tiền điện sinh hoạt trong một tháng chênh lệch (tăng/giảm so với hiện tại) nếu một gia đình sử dụng 200 kWh/tháng.

c) Nếu gia đình em đang sử dụng trung bình mỗi tháng hết 900 kWh, em sẽ chọn phương án nào trong ba phương án trên để số tiền điện sinh hoạt trong một tháng là ít nhất?

Hàm số bậc hai

Câu 1. Hai bạn An và Bình trao đổi với nhau:

An nói: Tớ đọc ở một tài liệu thấy nói rằng cổng Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội có dạng một parabol, khoảng cách giữa hai chân cổng là 8m và chiều cao của cổng tính từ một điểm trên mặt đất cách chân cổng 0,5m là 2,93m. Từ đó tớ tính ra được chiều cao của cổng parabol đó là 12m.

Sau một hồi suy nghĩ, Bình nói: Nếu dữ kiện như bạn nói, thì chiều cao của cổng parabol mà bạn tính ra ở trên là không chính xác.

Dựa vào thông tin mà An đọc được, hãy tính chiều cao của cổng Trường để xem kết quả bạn An tính được có chính xác không?

Giải. Chọn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ:

Khi đó parabol $y=a{{x}^{2}}+bx+c$ đi qua các điểm $\left( 0;0 \right),\left( 8;0 \right),\left( 0,5;2,93 \right)$ nên $\left\{ \begin{gathered} c = 0 \hfill \\ {8^2}a + 8b + c = 0 \hfill \\ {\left( {0,5} \right)^2}a + 0,5b + c = 2,93 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = – 293/375 \hfill \\ b = 2344/375 \hfill \\ c = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Chiều cao của cổng tương ứng với giá trị lớn nhất của hàm số bậc hai là $h=y\left( -\dfrac{b}{2a} \right)=c-\dfrac{{{b}^{2}}}{4a}=\dfrac{4688}{375}\approx 12,5m.$

Tức là bạn An đã tính toán không chính xác.

Câu 2. Quỹ đạo của một vật được ném lên từ gốc O (được chọn là điểm ném) trong mặt phẳng toạ độ Oxy là một parabol có phương trình $y=-\dfrac{3}{1000}{{x}^{2}}+x$ trong đó x (mét) là khoảng cách theo phương ngang trên mặt đất từ vị trí của vật đến gốc O, y (mét) là độ cao của vật so với mặt đất (tham khảo hình vẽ)

a) Tìm độ cao cực đại của vật trong quá trình bay.

b) Tính khoảng cách từ điểm chạm đất sau khi bay của vật đến gốc O (khoảng cách này được gọi là tầm xa của quỹ đạo).

Giải. Hàm số $y=-\dfrac{3}{1000}{{x}^{2}}+x$ có hệ số của ${{x}^{2}}$ là $-\dfrac{3}{1000}<0$ nên sẽ đạt giá trị lớn nhất tại $x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2\times \dfrac{-3}{1000}}=\dfrac{500}{3}$ và giá trị lớn nhất bằng $y\left( \dfrac{500}{3} \right)=\dfrac{250}{3}.$

Vậy độ cao cực đại của vật trong quá trình bay là $\dfrac{250}{3}m.$

Vật chạm đất khi độ cao bằng 0 tức $-\dfrac{3}{1000}{{x}^{2}}+x=0\Leftrightarrow x=0;x=\dfrac{1000}{3}\Rightarrow $ khoảng cách từ điểm chạm đất sau khi bay của vật đến gốc O bằng $\dfrac{1000}{3}m.$

Ví dụ 3: Một cây cầu treo có trọng lượng phân bổ đều dọc theo chiều dài của nó. Cây cầu có trụ tháp đôi cao 75m so với mặt của cây cầu và cách nhau 400m. Các dây cáp có hình dạng parabol và được treo trên các đỉnh tháp. Các dây cáp chạm mặt cầu ở tâm của cây cầu. Tìm chiều cao của dây cáp tại điểm cách tâm của cây cầu 100m (giả sử mặt của cây cầu là bằng phẳng)

Giải.Chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho trục Ox dọc theo mặt của cây cầu, trục Oy vuông góc với trục Ox tại tâm của cây cầu.

Khi đó các dây cáp có hình dạng parabol $y=a{{x}^{2}}+bx+c$ có đỉnh là gốc toạ độ $O\left( 0;0 \right)$ (tâm của cây cầu) và qua hai điểm $\left( -200;75 \right),\left( 200;75 \right)$ (hai đỉnh tháp)

Do đó $\left\{ \begin{gathered} – \dfrac{b}{{2a}} = 0 \hfill \\ c = 0 \hfill \\ {200^2}a + 200b + c = 75 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = \dfrac{{75}}{{{{200}^2}}} \hfill \\ b = c = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow y = \dfrac{{75}}{{{{200}^2}}}{x^2}$

Chiều cao của dây cáp tại điểm cách tâm cầu 100m là \[y\left( 100 \right)=\dfrac{75}{{{200}^{2}}}{{.100}^{2}}=\dfrac{75}{4}=18,75m.\]

Ví dụ 4: Một rạp chiếu phim có sức chứa 1000 người. Với giá vé 40 nghìn đồng trung bình sẽ có khoảng 300 người đến rạp xem phim mỗi ngày. Để tăng số lượng vé bán ra, rạp chiếu phim đã khảo sát thị trường và thấy rằng nếu giá vé cứ giảm 10 nghìn đồng sẽ có thêm 100 người đến rạp xem phim mỗi ngày.

a) Xác định công thức của hàm số R(x) mô tả doanh thu từ tiền bán vé mỗi ngày của rạp chiếu phim khi giá vé là x nghìn đồng.

b) Xác định giá vé để doanh thu từ tiền bán vé mỗi ngày của rạp chiếu phim là lớn nhất.

Giải. Khi giá vé là x nghìn đồng thì số tiền giảm giá vé so với mức giá cũ 40 nghìn đồng là $\left( 40-x \right)$ nghìn đồng

Số người đến rạp xem phim tăng lên mỗi ngày là $\dfrac{40-x}{10}\times 100=10\left( 40-x \right)$

Số người đến rạp xem phim mỗi ngày lúc này là $300+10\left( 40-x \right)=700-10x$

Doanh thu từ tiền bán vé mỗi ngày của rạp chiếu phim là $R\left( x \right)=\left( 700-10x \right)x=-10{{x}^{2}}+700x$ nghìn đồng.

Hàm số này đạt giá trị lớn nhất tại $x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{700}{2\times \left( -10 \right)}=35.$ Vậy giá vé là 35 nghìn đồng thì doanh thu từ tiền bán vé của rạp chiếu phim là lớn nhất và bằng $R\left( 35 \right)=12250$ nghìn đồng hay 12 250 000 đồng.

Ví dụ 5: Chuyển động của một vật ném xiên nếu bỏ qua sức cản của không khí và gió thì độ cao $y$ (tính bằng mét) của vật so với điểm ném sẽ tuân theo phương trình: $y=-\dfrac{g}{2v_{0}^{2}{{\cos }^{2}}\alpha }{{x}^{2}}+x\tan \alpha ,$ trong đó $x$ là khoảng cách (tính bằng mét) vật bay được theo phương ngang tính từ điểm ném, vận tốc ban đầu ${{v}_{0}}$ của vật hợp với phương ngang một góc $\alpha $ và $g=9,8\text{ m/}{{\text{s}}^{\text{2}}}$ là gia tốc trọng trường.

a) Xác định độ cao lớn nhất mà vật có thể đạt được.

b) Giả sử vận tốc ban đầu không đổi, hãy xác định góc ném $\alpha $ để đạo cao lớn nhất của vật đạt giá trị lớn nhất.

c) Một quả bóng được đá lên từ mặt đất với vận tốc ban đầu 20 m/s và góc đá so với phương ngang là ${{45}^{0}}.$ Khi quả bóng ở độ cao trên 5m thì khoảng cách theo phương ngang từ vị trí quả bóng đến vị trí đá bóng lên nằm trong khoảng nào?

Giải. a) Độ cao lớn nhất của vật là ${{y}_{\max }}=c-\dfrac{{{b}^{2}}}{4a}=0-\dfrac{{{\tan }^{2}}\alpha }{4\times \dfrac{-g}{2v_{0}^{2}{{\cos }^{2}}\alpha }}=\dfrac{v_{0}^{2}{{\sin }^{2}}\alpha }{2g}.$

b) Và ${{y}_{\max }}=\dfrac{v_{0}^{2}{{\sin }^{2}}\alpha }{2g}\le \dfrac{v_{0}^{2}}{2g}.$ Dấu bằng xảy ra khi ${{\sin }^{2}}\alpha =1\Leftrightarrow \alpha ={{90}^{0}}$ tức góc ném là ${{90}^{0}}$ thì độ cao lớn nhất của vật sẽ lớn nhất.

c) Khi ${{v}_{0}}=20\text{ m/s};\alpha ={{45}^{0}}\Rightarrow y=-\dfrac{9,8}{400}{{x}^{2}}+x$

Quả bóng ở đạo cao trên 5m khi $-\dfrac{9,8}{400}{{x}^{2}}+x>5\Leftrightarrow 5,83<x<34,98.$

Vậy khi quả bóng ở độ cao trên 5m thì khoảng cách theo phương ngang từ vị trí quả bóng đến vị trí đá bóng lên nằm trong khoảng $\left( 5,83;34,98 \right)$ mét.

Ví dụ 6: Trên một mảnh đất hình chữ nhật $ABCD$ có diện tích $25\,{{m}^{2}},$ người chủ lấy một phần đất để trồng cỏ. Biết phần đất trồng cỏ này có dạng hình chữ nhật với hai đỉnh đối diện là $A$ và $H,\,$ với $H$ thuộc cạnh $BD.$ Hỏi số tiền lớn nhất mà người chủ cần chuẩn bị để trồng cỏ là khoảng bao nhiêu, với chi phí trồng cỏ là 70.000 đồng/m2?

A. \[337.500\]đồng. B. $875.000$đồng.            C. $584.000$đồng.        D. $437.500$đồng.

Giải. Đặt $x=\dfrac{BH}{BD},\left( 0\le x\le 1 \right)$ và $X,Y$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $AB,AD.$

Theo Thales ta có $\dfrac{HX}{AD}=\dfrac{BH}{BD}=x\Rightarrow HX=xAD;\dfrac{HY}{AB}=\dfrac{DH}{DB}=\dfrac{BD-BH}{BD}=1-x\Rightarrow HY=\left( 1-x \right)AB$

Diện tích trồng cỏ là ${{S}_{AXHY}}=HX.HY=x\left( 1-x \right)AB.AD=x\left( 1-x \right){{S}_{ABCD}}=25x\left( 1-x \right)$

$=25\left( -{{x}^{2}}+x \right)=-25{{\left( x-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{25}{4}\le \dfrac{25}{4}.$ Số tiền lớn nhất để trồng cỏ là $\dfrac{25}{4}\times 70000=437500$ đồng. Chọn đáp án D.

Bất phương trình bậc hai

Ví dụ 1: Độ cao so với mặt đất của một quả bóng được ném lên theo phương thẳng đứng được mô tả bởi hàm số bậc hai $h\left( t \right)=-4,9{{t}^{2}}+20t+1,$ trong đó độ cao $h\left( t \right)$ được tính bằng mét và thời gian $t$ tính bằng giây kể từ thời điểm quả bóng được ném lên. Quả bóng ở độ cao trên 5m so với mặt đất trong khoảng mấy giây?

Giải. Ta cần giải $h\left( t \right)>5\Leftrightarrow -4,9{{t}^{2}}+20t+1>5\Leftrightarrow 4,9{{t}^{2}}-20t+4<0\Rightarrow 0,21<t<3,87$

Vậy quả bóng ở độ cao trên 5m so với mặt đất trong khoảng $3,87-0,21=3,66s.$

Ví dụ 2: Một công ty đồ gia dụng sản xuất bình đựng nước thấy rằng khi giá bán của bình đựng nước là x nghìn đồng thì doanh thu bán bình đựng nước sẽ là $R\left( x \right)=-560{{x}^{2}}+50000x$ nghìn đồng.

a) Theo mô hình doanh thu này, thì mức giá bán nào là quá cao dẫn đến doanh thu từ việc bán bình đựng nước bằng 0 (tức không có người mua)?

b) Với khoảng giá nào thì doanh thu bán bình đựng nước vượt mức 1 tỷ đồng?

Ví dụ 3: Một viên đạn pháo được bán ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu 500 m/s, hợp với phương ngang một góc ${{45}^{0}}.$ Biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí và gió, quỹ đạo chuyển động của một vật ném xiên sẽ tuân theo phương trình: $y=-\dfrac{g}{2v_{0}^{2}{{\cos }^{2}}\alpha }{{x}^{2}}+x\tan \alpha ,$ trong đó $x$ là khoảng cách (tính bằng mét) vật bay được theo phương ngang, vận tốc ban đầu ${{v}_{0}}$ của vật hợp với phương ngang một góc $\alpha $ và $g=9,8\text{ m/}{{\text{s}}^{\text{2}}}$ là gia tốc trọng trường.

a) Viết phương trình chuyển động của viên đạn pháo.

b) Để viên đạn bay qua ngọn núi cao 4000m thì khẩu pháo phải đặt cách chân núi một khoảng bao xa?

Đưa về phương trình bậc hai

Ví dụ 1: Mặt đứng của cây cột số trên quốc lộ có dạng nửa hình tròn ở phía trên và phía dưới là có dạng hình chữ nhật. Đường kính của nửa hình tròn cũng là cạnh phía trên của hình chữ nhật và đường chéo của hình chữ nhật có độ dài 66cm. Tìm đường kính của nửa hình tròn biết diện tích của nửa hình tròn bằng 0,3 lần diện tích của hình chữ nhật.

Giải. Gọi đường kính của nửa hình tròn là $x\left( cm \right),x>0.$ Độ dài cạnh bên của hình chữ nhật là $\sqrt{{{66}^{2}}-{{x}^{2}}}.$

Diện tích của nửa hình tròn bằng $\dfrac{1}{2}\pi {{\left( \dfrac{x}{2} \right)}^{2}};$ diện tích của hình chữ nhật là $x\sqrt{{{66}^{2}}-{{x}^{2}}}.$

Vì diện tích của nửa hình tròn bằng 0,3 lần diện tích của hình chữ nhật nên

$\dfrac{1}{2}\pi {{\left( \dfrac{x}{2} \right)}^{2}}=0,3x\sqrt{{{66}^{2}}-{{x}^{2}}}\Leftrightarrow \pi x=2,4\sqrt{{{66}^{2}}-{{x}^{2}}}\Leftrightarrow {{\pi }^{2}}{{x}^{2}}={{\left( 2,4 \right)}^{2}}\left( {{66}^{2}}-{{x}^{2}} \right),\left( x>0 \right)$

$\Leftrightarrow \left( {{\pi }^{2}}+{{\left( 2,4 \right)}^{2}} \right){{x}^{2}}={{\left( 66\times 2,4 \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\dfrac{{{\left( 66\times 2,4 \right)}^{2}}}{{{\pi }^{2}}+{{\left( 2,4 \right)}^{2}}}\Rightarrow x=\sqrt{\dfrac{{{\left( 66\times 2,4 \right)}^{2}}}{{{\pi }^{2}}+{{\left( 2,4 \right)}^{2}}}}\approx 40,06cm.$

Ví dụ 2: Một tên lửa được bắn ra từ một bệ phóng tên lửa đặt tại vị trí A đến vị trí B. Thông qua ra-đa, người ta thấy sau khi ra khỏi bệ phóng được 10 giây, 20 giây, 30 giây, quãng đường đi được của tên lửa lần lượt là 41m; 84m và 129m. Biết rằng quãng đường đi của tên lửa được biểu diễn dưới dạng một đa thức bậc hai và khi tên lửa đến vị trí B thì quãng đường đi của tên lửa là 144km. Sau bao lâu kể từ khi ra khỏi bệ phóng tên lửa đến vị trí B?

Giải. Quãng đường đi của tên lửa sau khi rời bệ phóng t (giây) là $s\left( t \right)=a{{t}^{2}}+bt+c$ (mét)

Ta có $\left\{ \begin{gathered} s\left( {10} \right) = 41 \hfill \\ s\left( {20} \right) = 84 \hfill \\ s\left( {30} \right) = 129 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {10^2}a + 10b + c = 41 \hfill \\ {20^2}a + 20b + c = 84 \hfill \\ {30^2}a + 30b + c = 129 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow a = 1/100;b = 0;c = 4$$\Rightarrow s\left( t \right)=\dfrac{1}{100}{{t}^{2}}+4t$

Tên lửa đến vị trí B khi đi được quãng đường 144000 mét tức $\dfrac{1}{100}{{t}^{2}}+4t=144000\Rightarrow t=3600.$

Vậy sau đúng 1h kể từ lúc rời bệ phóng thì tên lửa đến vị trí B.

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) – NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) – NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) – NXB ĐH Sư Phạm

Hàm số bất kì sử dụng đạo hàm của hàm số dành cho học sinh lớp 12

Ví dụ 1: Biết ba địa điểm A, B, C lập thành một tam giác vuông tại B, khoảng cách từ B đến C là $\sqrt{5}km,$ khoảng cách từ B đến A là $6km.$ Cần xây dựng một kho hàng tại vị trí điểm D trên đoạn thẳng AB. Giả sử chi phí vận chuyển cho một đơn vị hàng đi thẳng từ A đến D là 400 nghìn đồng/km và từ C đến D là 600 nghìn đồng/km. Vị trí điểm D cần cách điểm A bao nhiêu để chi phí vận chuyển cho một đơn vị hàng (thẳng từ A đến D rồi thẳng đến C) là nhỏ nhất.

Giải. Đặt $AD=x\Rightarrow BD=AB-AD=6-x,\left( 0\le x\le 6 \right)$ (km)

Ta có $CD=\sqrt{C{{B}^{2}}+B{{D}^{2}}}=\sqrt{5+{{\left( 6-x \right)}^{2}}}$

Chi phí vận chuyển một đơn vị hàng thẳng từ A đến D rồi thẳng đến C là $g\left( x \right)=4x+6\sqrt{5+{{\left( 6-x \right)}^{2}}}$ (trăm nghìn đồng)

Ta có ${g}’\left( x \right)=4+\dfrac{6\left( x-6 \right)}{\sqrt{{{\left( x-6 \right)}^{2}}+5}}=0\Leftrightarrow x=4$ và $g\left( 0 \right)=6\sqrt{41},g\left( 6 \right)=6\left( 4+\sqrt{5} \right),g\left( 4 \right)=34\Rightarrow \underset{\left[ 0;6 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=g\left( 4 \right)=34.$

Vậy chi phí vận chuyển một đơn vị hàng thẳng từ A đến D rồi thẳng đến C nhỏ nhất là 3,4 triệu đồng khi xây dựng kho hàng tại vị trí D trên đoạn thẳng AB cách điểm A một khoảng là 4km.

Ví dụ 2: Một nhà máy lọc dầu đặt tại điểm A trên một đường cao tốc thẳng và một kho dầu đặt tại điểm B mà có thể đến nó từ A theo đường cao tốc 8 km tới điểm C và sau đó đi 12 km xuyên qua một cánh đồng vuông góc với đường cao tốc. Một ống dẫn dầu từ A tới B nếu xây dựng qua cánh đồng giá đắt gấp 2,6 lần so với xây dựng dọc theo đường cao tốc. Tìm vị trí điểm D trên đường cao tốc sao cho chi phí xây dựng đường ống dẫn dầu là rẻ nhất.

Giải. Đặt $AD=x\Rightarrow DC=AC-AD=8-x,\left( 0\le x\le 8 \right)$

Ta có $BD=\sqrt{B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x-8 \right)}^{2}}+{{12}^{2}}}$

Chi phí xây dựng cho mỗi km ống dẫn dầu dọc đường cao tốc là m thì chi phí xây dựng cho mỗi km ống dẫn dầu chạy qua cánh đồng là 2,6m với m>0.

Chi phí xây dựng ống dẫn dầu từ A tới B là $g\left( x \right)=AD.m+BD.2,6m=m\left( x+2,6\sqrt{{{\left( x-8 \right)}^{2}}+144} \right)$

Dễ có $\underset{\left[ 0;8 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=g\left( 3 \right)=36,8m.$ Vậy vị trí điểm D trên đường cao tốc cách A một khoảng bằng 3km.

Ví dụ 3: Trong hình vẽ bên dưới, cho bờ tường Cy và mặt đất Cx. Một giá đỡ MNP hình tam giác cân có đáy NP dài p mét và có chiều cao h mét. Giá đỡ được đặt cách bờ tường q mét. Người ta thiết kế một cái thang AB tựa lên giá đỡ sao cho đầu A của thang tiếp xúc bờ tường còn đầu B của thang chạm mặt đất. Coi thang AB như một đoạn thẳng (độ dày không đáng kể) và các khoảng cách p, q, h là dương.

Hãy xác định chiều dài ngắn nhất có thể có của thang AB thỏa mãn tất cả các yêu cầu trên.

Giải. Đặt $BD=x$ (mét) với $x\ge ND=p/2$ khi đó $BM=\sqrt{B{{D}^{2}}+D{{M}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{h}^{2}}}.$

Vì $MD||AC\Rightarrow \dfrac{MA}{MB}=\dfrac{DC}{DB}\Rightarrow MA=\dfrac{DC}{DB}MB=\dfrac{p/2+q}{x}\sqrt{{{x}^{2}}+{{h}^{2}}}$

Chiều dài thang $AB=MA+MB=g\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}+{{h}^{2}}}\dfrac{x+p/2+q}{x}$

Ta có ${g}’\left( x \right)=\dfrac{2{{x}^{3}}-\left( p+2q \right){{h}^{2}}}{2{{x}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}+{{h}^{2}}}}\Rightarrow {g}’\left( x \right)=0\Leftrightarrow x={{x}_{0}}=\sqrt[3]{\dfrac{\left( p+2q \right){{h}^{2}}}{2}}$ suy ra hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ {{x}_{0}};+\infty \right)$ và nghịch biến trên $\left( 0;{{x}_{0}} \right].$

+ Nếu $p/2\ge {{x}_{0}}\Rightarrow AB\ge g\left( p/2 \right)=\left( p+q \right)\sqrt{1+{{\left( \dfrac{2h}{p} \right)}^{2}}}$

+ Nếu $p/2<{{x}_{0}}\Rightarrow AB\ge g\left( {{x}_{0}} \right)=\sqrt{x_{0}^{2}+{{h}^{2}}}\dfrac{{{x}_{0}}+p/2+q}{{{x}_{0}}}.$

Ví dụ 4: Một xưởng in có 8 máy in, mỗi máy in được 3600 bản in trong một giờ. Chi phí để vận hành một máy trong mỗi lần in là 50.000 đồng. Chi phí cho $n$ máy chạy trong một giờ là $10(6n+10)$ nghìn đồng. Hỏi nếu in 50.000 tờ quảng cáo thì phải sử dụng bao nhiêu máy in để được lãi nhiều nhất?

Giải. Gọi $n$ là số máy cần chạy để in 50.000 tờ quảng cáo và $t$ là thời gian in, theo giả thiết ta có

                                   \[3600nt=50000\Leftrightarrow t=\dfrac{125}{9n}\] và chi phí

                           \[F(n)=50n+\left[ 10(6n+10) \right]t=50n+(60n+100).\dfrac{125}{9n}.\]

Ta có \[\underset{1\le n\le 8,n\in \mathbb{Z}}{\mathop{\min }}\,F(n)=\min \left\{ F(1),F(2),..,F(8) \right\}=F(5)=\dfrac{12250}{9}.\]

Vậy cần sử dụng 5 máy in để có số lãi nhiều nhất. Chọn đáp án C.

Ví dụ 5: Một cái ao có hình ABCDE (như hình vẽ), ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn bán kính 10m, người ta muốn bắc một cây cầu từ bờ AB của ao đến vườn.

– Hai bờ AE và BC nằm trên hai đường thẳng vuông góc với

nhau, hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm O;

– Bờ AB là một phần của một parabol có đỉnh là điểm A và có

trục đối xứng là đường thẳng OA;

– độ dài đoạn thẳng OA và OB lần lượt là 40m và 20m;

– Tâm I của mảnh vườn cách đường thẳng AE và BC lần

lượt là 40m và 30m.

Chiều dài l ngắn nhất của cây cầu gần nhất với kết quả nào dưới đây?

Ví dụ 6: Hành lang trong một tòa nhà có dạng chữ L (hình vẽ) có chiều cao $2$m, một phía rộng $1$m, một phía rộng $1,2$m. Một người thợ cần mang một số ống thép cứng các loại có độ dài $2$m, $2,5$m, $3$m, $3,5$m, $4$m, từ bên này qua bên kia. Hỏi có thể mang được mấy loại qua lối đi đó?

Giải. Ống thép muốn qua được hành lang (bên này qua bên kia) phải qua được góc vuông giữa hành lang.

Vì vậy chiều dài $l$ của ống thép phải thoả mãn $l\le AN,\forall \alpha \in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow l\le \underset{\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)}{\mathop{\min }}\,AN(*).$

Ta có $AN=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{N}^{2}}}=\sqrt{A{{B}^{2}}+4}$ trong đó $AB=AM+MB=\dfrac{AH}{\sin \alpha }+\dfrac{BK}{\cos \alpha }=\dfrac{1}{\sin \alpha }+\dfrac{1,2}{\cos \alpha }.$

Vì vậy $(*)\Leftrightarrow l\le \underset{\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)}{\mathop{\min }}\,\sqrt{{{\left( \dfrac{1}{\sin \alpha }+\dfrac{1,2}{\cos \alpha } \right)}^{2}}+4}\approx 3,69504.$ Vậy cách ống thép có chiều dài 2m; 2,5m; 3m; 3,5m sẽ qua được hành lang. Chọn đáp án A. Tìm min bước cuối các em dò bảng hoặc Shift solve đạo hàm hoặc chi tiết thì khảo sát hàm số như sau:

\[g(\alpha )=\dfrac{1}{\sin \alpha }+\dfrac{1,2}{\cos \alpha }\Rightarrow {g}'(\alpha )=-\dfrac{\cos \alpha }{{{\sin }^{2}}\alpha }+\dfrac{1,2\sin \alpha }{{{\cos }^{2}}\alpha }=0\Leftrightarrow 1,2{{\sin }^{3}}\alpha ={{\cos }^{3}}\alpha \Leftrightarrow \tan \alpha =\dfrac{1}{\sqrt[3]{1,2}}\Leftrightarrow \alpha =\arctan \dfrac{1}{\sqrt[3]{1,2}}.\]

Suy ra \[\underset{\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)}{\mathop{\min }}\,g(\alpha )=g\left( \arctan \dfrac{1}{\sqrt[3]{1,2}} \right)\Rightarrow l\le \sqrt{{{\left[ g\left( \arctan \dfrac{1}{\sqrt[3]{1,2}} \right) \right]}^{2}}+4}\approx 3,69504.\]

Ví dụ 7: Cho hai cây cột có chiều cao lần lượt là $6\text{ m},\text{ }15\text{ m}$ và đặt cách nhau $20\text{ m}$ (như hình minh họa). Một sợi dây dài được gắn vào đỉnh của mỗi cột và được đóng cọc xuống đất tại một điểm ở giữa hai cột.

Chiều dài sợi dây được sử dụng ít nhất là

A. $30\text{ m.}$

B. $\text{29 m.}$

C. $31\text{ m.}$

D. $\text{28 m.}$

Giải. Đặt $x,\left( 0\le x\le 20 \right)$ là khoảng cách từ cọc đến cây cột 6m

Chiều dài sợi dây là $L\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}+{{6}^{2}}}+\sqrt{{{\left( 20-x \right)}^{2}}+{{15}^{2}}}\ge \underset{\left[ 0;20 \right]}{\mathop{\min }}\,L\left( x \right)=L\left( \dfrac{40}{7} \right)=29.$ Chọn đáp án B.

Sử dụng đánh giá hình học

Ví dụ 1: Từ một địa điểm O cố định của một vùng đất cù lao (các mặt của vùng đất đều giáp với các con sông), người ta cần chọn một địa điểm T trên vùng cù lao sao cho $OT=60\text{km}$ để xây dựng các con đường cao tốc (cầu vượt cao tốc) nối từ hai địa điểm X và Y của hai tỉnh thành lân cận đến T. Cho biết $OX=120\text{km},OY=150\text{km},\widehat{XOY}={{120}^{0}}.$ Chi phí hoàn thành 1km đoạn đường từ T đến X là 100.000 USD; chi phí hoàn thành 1km đoạn đường T đến Y là 200.000 USD. Xác định chi phí nhỏ nhất để hoàn thành cung đường cao tốc từ X đến T và từ T đến Y.

Giải. Chi phí xây dựng cung đường cao tốc $X-T-Y$ là $F=0,1TX+0,2TY=0,1\left( TX+2TY \right)$ triệu đô.

Lấy điểm $Z$ sao cho $\overrightarrow{OZ}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{OX}\Rightarrow TX=2TZ,\left( \dfrac{OT}{OX}=\dfrac{OZ}{OT}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \Delta OTZ\backsim \Delta OXT\Rightarrow TZ=\dfrac{1}{2}TX \right)$

Khi đó $F=0,2\left( TZ+TY \right)\ge 0,2YZ=0,2\sqrt{O{{Y}^{2}}+O{{Z}^{2}}-2OY.OZ.\cos {{120}^{0}}}=6\sqrt{31}\approx 33,4$ triệu độ. Dấu bằng xảy ra khi $T\equiv {{T}_{0}}.$