- Kiến Thức Cho Người lao Động Việt Nam

Nối tiếp các công thức cần nhớ ở lớp 9 và lớp 10, hôm nay Mod xin giới thiệu đễn các em phần tiếp theo của chủ đề Hình học không gian là Tổng hợp các vấn đề lý thuyết ở lớp 11. Mời các em cùng ôn lại ở lớp 11 ta đã được học những định nghĩa định lý nào.

A. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

I. Định nghĩa:

Đường thẳng và mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm nào chung.

$a//(P) \Leftrightarrow a \cap (P) = \emptyset$

II. Các định lý:

+ Định lý 1: Nếu đường thẳng d không nằm trên mp(P) và song song với đường thẳng a nằm trên mp(P) thì đường thẳng d song song với mp(P).

$\left\{ \begin{array}{l} d \not\subset (P)\\ d//a\\ a \subset (P) \end{array} \right. \Rightarrow d//(P)$

+ Định lý 2: Nếu đường thẳng a song song với mp(P) thì mọi mp(Q) chứa a mà cắt mp(P) thì cắt theo giao tuyến song song với a.

$\left\{ \begin{array}{l} a//(P)\\ a \subset (Q)\\ (P) \cap (Q) = d \end{array} \right. \Rightarrow d//a$

+ Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó.

$\left\{ \begin{array}{l} (P) \cap (Q) = d\\ (P)//a\\ (Q)//a \end{array} \right. \Rightarrow d//a$

B. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

I. Định nghĩa

Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm nào chung.

$(P)//(Q) \Leftrightarrow (P) \cap (Q) = \emptyset$

II. Các định lý

+ Định lý 1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau.

$\left\{ \begin{array}{l} a,b \subset (P)\\ a \cap b = I\\ a//(Q),b//(Q) \end{array} \right. \Rightarrow (P)//(Q)$

+ Định lý 2: Nếu một đường thẳng nằm một trong hai mặt phẳng song song thì song song với mặt phẳng kia.

$\left\{ \begin{array}{l} (P)//(Q)\\ a \subset (P) \end{array} \right. \Rightarrow a//(Q)$

+ Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song.

$\left\{ \begin{array}{l} (P)//(Q)\\ (R) \cap (P) = a\\ (R) \cap (Q) = b \end{array} \right. \Rightarrow a//b$

C. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

I. Định nghĩa

Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng đó.

$a \bot mp(P) \Leftrightarrow a \bot c,\forall c \subset (P)$

II. Các định lý:

+ Định lý 1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mp(P) thì đường thẳng d vuông góc với mp(P).

$\left\{ \begin{array}{l} d \bot a\,\,,\,d \bot b\\ a\,\,,b \subset mp(P)\\ a\,,b{\rm{ }}\,\,{\rm{cat nhau}} \end{array} \right. \Rightarrow d \bot mp(P)$

+ Định lý 2: (Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng a không vuông góc với mp(P) và đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P).

$\begin{array}{l} a\,khong\,vuong\,goc\,voi\,mp(P),b \subset mp(P)\\ b \bot a \Leftrightarrow b \bot a' \end{array}$

D. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

I. Định nghĩa

Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900

II. Các định lý

+ Định lý 1:Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.

$\left\{ \begin{array}{l} a \bot mp(P)\\ a \subset mp(Q) \end{array} \right. \Rightarrow mp(Q) \bot mp(P)$

+ Định lý 2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q).

$\left\{ \begin{array}{l} (P) \bot (Q)\\ (P) \cap (Q) = d\\ a \subset (P),a \bot d \end{array} \right. \Rightarrow a \bot (Q)$

+ Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là một điểm trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P)

$\left\{ \begin{array}{l} (P) \bot (Q)\\ A \in (P)\\ A \in a\\ a \bot (Q) \end{array} \right. \Rightarrow a \subset (P)$

+ Định lý 4: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.

$\left\{ \begin{array}{l} (P) \cap (Q) = a\\ (P) \bot (R)\\ (Q) \bot (R) \end{array} \right. \Rightarrow a \bot (R)$

E. KHOẢNG CÁCH

1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng , đến 1 mặt phẳng:

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P)).