Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 36, 37 Sách giáo khoa Giải tích 11

Bài 1 trang 36 sgk giải tích 11

Giải phương trình 

\ ( { \ sin ^ 2 } x – { \ mathop { \ rm sinx } \ nolimits } = 0 \ ) .

Đáp án :

\ ( { \ sin ^ 2 } x – { \ mathop { \ rm sinx } \ nolimits } = 0 \ Leftrightarrow sinx ( sinx – 1 ) = 0 \ )

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in x = 0}} \hfill \cr
{\rm{sin x = 1}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k\pi \hfill \cr
x = {\pi \over 2} + k2\pi \hfill \cr} \right.;k \in \mathbb{Z}\)

Bài 2 trang 36 sgk giải tích 11

Giải những phương trình sau :
a ) \ ( 2 co { s ^ 2 } x { \ rm { } } – { \ rm { } } 3 cosx { \ rm { } } + { \ rm { } } 1 { \ rm { } } = { \ rm { } } 0 \ ) ;
b ) \ ( 2 sin2x { \ rm { } } + \ sqrt 2 sin4x { \ rm { } } = { \ rm { } } 0 \ ) .

Giải

 a) Đặt \( t = cosx, t \in [-1 ; 1]\) ta được phương trình:

\ ( 2 { t ^ 2 } – { \ rm { } } 3 t { \ rm { } } + { \ rm { } } 1 { \ rm { } } = { \ rm { } } 0 \ Leftrightarrow { \ rm { } } t \ in \ left \ { { 1 ; { 1 \ over 2 } } \ right \ } \ )
Nghiệm của phương trình đã cho là những nghiệm của hai phương trình sau :
\ ( cosx = 1 \ Leftrightarrow { \ rm { } } x = { \ rm { } } k2 \ pi \ ) và \ ( cosx = { 1 \ over 2 } \ Leftrightarrow { \ rm { } } x { \ rm { } } = \ pm { \ pi \ over 3 } + { \ rm { } } k2 \ pi \ ) .
Vậy \ ( x = { \ rm { } } k2 \ pi \ ) và \ ( x { \ rm { } } = \ pm { \ pi \ over 3 } + { \ rm { } } k2 \ pi \ ) \ ( ( k \ in \ mathbb { Z } ) \ ) .
b ) Ta có \ ( sin4x = 2 sin2xcos2x \ ) ( công thức nhân đôi ), do đó phương trình đã cho tương tự với

\(\left[ \matrix{
\sin 2x = 0 \hfill \cr
\cos 2x = – {1 \over {\sqrt 2 }} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x = k\pi \hfill \cr
2x = \pm {{3\pi } \over 4} + k2\pi \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {{k\pi } \over 2} \hfill \cr
x = \pm {{3\pi } \over 8} + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z})\)

Bài 3 trang 37 sgk giải tích 11

Giải những phương trình sau :
a ) \ ( si { n ^ 2 } { x \ over 2 } – { \ rm { } } 2 cos { x \ over 2 } + { \ rm { } } 2 { \ rm { } } = { \ rm { } } 0 \ ) ;
b ) \ ( 8 co { s ^ 2 } x { \ rm { } } + { \ rm { } } 2 sinx { \ rm { } } – { \ rm { } } 7 { \ rm { } } = { \ rm { } } 0 \ ) ;
c ) \ ( 2 ta { n ^ 2 } x { \ rm { } } + { \ rm { } } 3 tanx { \ rm { } } + { \ rm { } } 1 { \ rm { } } = { \ rm { } } 0 \ ) ;
d ) \ ( tanx { \ rm { } } – { \ rm { } } 2 cotx { \ rm { } } + { \ rm { } } 1 { \ rm { } } = { \ rm { } } 0 \ ) .

Giải

a ) Đặt \ ( t = { \ rm { } } cos { x \ over 2 }, { \ rm { } } t \ in \ left [ { – 1 { \ rm { } } ; { \ rm { } } 1 } \ right ] \ ) thì phương trình trở thành
\ ( ( 1 { \ rm { } } – { \ rm { } } { t ^ 2 } ) { \ rm { } } – { \ rm { } } 2 t { \ rm { } } + { \ rm { } } 2 { \ rm { } } = { \ rm { } } 0 \ Leftrightarrow { t ^ { 2 } } + { \ rm { } } 2 t { \ rm { } } – 3 { \ rm { } } = { \ rm { } } 0 \ )

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = – 3 \hfill \text{(loại)}\cr} \right.\)

Phương trình đã cho tương tự với
\ ( cos { x \ over 2 } = { \ rm { } } 1 \ Leftrightarrow { x \ over 2 } = { \ rm { } } k2 \ pi \ Leftrightarrow { \ rm { } } x { \ rm { } } = { \ rm { } } 4 k \ pi, { \ rm { } } k \ in \ mathbb { Z } \ ) .
b ) Đặt \ ( t = sinx, t ∈ [ – 1 ; 1 ] \ ) thì phương trình trở thành
\ ( 8 ( 1 { \ rm { } } – { t ^ 2 } ) { \ rm { } } + { \ rm { } } 2 t { \ rm { } } – { \ rm { } } 7 { \ rm { } } = { \ rm { } } 0 { \ rm { } } \ Leftrightarrow { \ rm { } } 8 { t ^ { 2 } } – { \ rm { } } 2 t { \ rm { } } – { \ rm { } } 1 { \ rm { } } = { \ rm { } } 0 \ )

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = {1 \over 2} \hfill \cr
t = – {1 \over 4} \hfill \cr} \right.\)

Phương trình đã cho tương tự :

\(sinx = {1 \over 2} \Leftrightarrow \sin x = {\pi \over 6} \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr
x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z})\)

và
\ ( sinx = – { 1 \ over 4 } \ Leftrightarrow \ sin x = arc \ sin \ left ( { – { 1 \ over 4 } } \ right ) \ )

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = arc\sin \left( { – {1 \over 4}} \right) + k2\pi \hfill \cr
x = \pi – arc\sin \left( { – {1 \over 4}} \right) + k2\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z})\)

c ) Đặt \ ( t = tanx \ ) thì phương trình trở thành

\(2{t^{2}} + {\rm{ }}3t{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = – 1 \hfill \cr
t = – {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Phương trình đã cho tương tự :

\(\left[ \matrix{
\tan x = – 1 \hfill \cr
\tan x = – {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = – {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr
x = \arctan \left( { – {1 \over 2}} \right) + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z})\)

d ) Đặt \ ( t = tanx \ ) thì phương trình trở thành

\(t – {2 \over t} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {t^{2}} + {\rm{ }}t{\rm{ }} – {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = – 2 \hfill \cr} \right.\)

Phương trình đã cho tương tự :

\(\left[ \matrix{
{\mathop{\rm tanx}\nolimits} = 1 \hfill \cr
tanx = – 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr
x = \arctan ( – 2) + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in\mathbb{Z} )\)

Bài 4 trang 37 sgk giải tích 11

Giải những phương trình sau :
a ) \ ( 2 si { n ^ 2 } x { \ rm { } } + { \ rm { } } sinxcosx { \ rm { } } – { \ rm { } } 3 co { s ^ 2 } x { \ rm { } } = { \ rm { } } 0 \ ) ;
b ) \ ( 3 si { n ^ 2 } x { \ rm { } } – { \ rm { } } 4 sinxcosx { \ rm { } } + { \ rm { } } 5 co { s ^ 2 } x { \ rm { } } = { \ rm { } } 2 \ ) ;
c ) \ ( si { n ^ 2 } x { \ rm { } } + { \ rm { } } sin2x { \ rm { } } – { \ rm { } } 2 co { s ^ 2 } x { \ rm { } } = { 1 \ over 2 } \ ) ;
d ) \ ( 2 co { s ^ 2 } x { \ rm { } } – { \ rm { } } 3 \ sqrt 3 sin2x { \ rm { } } – { \ rm { } } 4 si { n ^ 2 } x { \ rm { } } = { \ rm { } } – 4 \ ) .

Giải

a) Dễ thấy \(cosx = 0\) không thỏa mãn phương trình đã cho nên chia phương trình cho \(cos^2x\) ta được phương trình tương đương \(2tan^2x + tanx – 3 = 0\).

Đặt \ ( t = tanx \ ) thì phương trình này trở thành

\(2{t^2} + t – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = – {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Phương trình đã cho tương tự :

\(\left[ \matrix{
\tan x = 1 \hfill \cr
\tan x = – {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr
x = \arctan \left( { – {3 \over 2}} \right) + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in\mathbb{Z} )\)

b ) \ ( 3 si { n ^ 2 } x { \ rm { } } – { \ rm { } } 4 sinxcosx { \ rm { } } + { \ rm { } } 5 co { s ^ 2 } x { \ rm { } } = { \ rm { } } 2 \ )
\ ( \ Leftrightarrow 3 si { n ^ 2 } x { \ rm { } } – { \ rm { } } 4 sinxcosx { \ rm { } } + { \ rm { } } 5 co { s ^ 2 } x { \ rm { } } = { \ rm { } } 2 si { n ^ 2 } x { \ rm { } } \ )
\ ( + { \ rm { } } 2 co { s ^ 2 } x \ )
\ ( \ Leftrightarrow sin ^ 2 x – 4 sinxcosx + 3 cos ^ 2 x = 0 \ )
Dễ thấy \ ( cosx = 0 \ ) không thỏa mãn nhu cầu phương trình đã vì vậy chia phương trình cho \ ( cos ^ 2 x \ ) ta được phương trình tương tự
\ ( \ Leftrightarrow tan ^ 2 x – 4 tanx + 3 = 0 \ )

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\tan x = 1 \hfill \cr
\tan x = 3 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr
x = \arctan 3 + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z})\)

c ) \ ( si { n ^ 2 } x { \ rm { } } + { \ rm { } } sin2x { \ rm { } } – { \ rm { } } 2 co { s ^ 2 } x { \ rm { } } = { 1 \ over 2 } \ )
\ ( \ Leftrightarrow si { n ^ 2 } x { \ rm { } } + 2 sinxcosx – { \ rm { } } 2 co { s ^ 2 } x { \ rm { } } = \ )
\ ( { 1 \ over 2 } ( sin ^ 2 x + cos ^ 2 x ) \ )
\ ( { 1 \ over 2 } si { n ^ 2 } x { \ rm { } } + { \ rm { } } 2 sinxcosx { \ rm { } } – { 5 \ over 2 } co { s ^ 2 } x = 0 \ )
\ ( \ Leftrightarrow si { n ^ 2 } x + 4 \ sin x \ cos x – 5 { \ cos ^ 2 } x = 0 \ )
Dễ thấy \ ( cosx = 0 \ ) không thỏa mãn nhu cầu phương trình đã cho nên vì thế chia phương trình cho \ ( cos ^ 2 x \ ) ta được phương trình tương tự

\(\tan x + 4\tan x – 5= 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\tan x = 1 \hfill \cr
\tan x = -5 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr
x = \arctan (-5)+ k\pi \hfill \cr} \right.(k \in\mathbb{Z} )\)

d ) \ ( 2 co { s ^ 2 } x { \ rm { } } – { \ rm { } } 3 \ sqrt 3 sin2x { \ rm { } } – { \ rm { } } 4 si { n ^ 2 } x { \ rm { } } = { \ rm { } } – 4 \ )
\ ( \ Leftrightarrow 2 { \ cos ^ 2 } x – 3 \ sqrt 3 \ sin 2 x + 4 – 4 { \ sin ^ 2 } x = 0 \ )
\ ( \ Leftrightarrow 2 { \ cos ^ 2 } x – 3 \ sqrt 3 \ sin 2 x + 4 – 4 ( 1 – { \ cos ^ 2 } x ) = 0 \ )
\ ( \ Leftrightarrow 6 { \ cos ^ 2 } x – 6 \ sqrt 3 \ sin x \ cos x = 0 \ )
\ ( \ Leftrightarrow 6 \ cos x ( \ cos x – \ sqrt 3 \ sin x ) = 0 \ )

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos x = 0(1) \hfill \cr
\cos x – \sqrt 3 \sin x = 0(2) \hfill \cr} \right.\)

Giải ( 1 ) ta được \ ( x = { \ pi \ over 2 } + k \ pi \ ) ( \ ( k \ in \ mathbb { Z } \ ) )
Giải ( 2 ) : Dễ thấy \ ( cosx = 0 \ ) không thỏa mãn nhu cầu phương trình nên chia phương trình cho \ ( cosx \ ) ta được phương trình tương tự :

\(tanx={1\over\sqrt3}\Leftrightarrow x={\pi\over6}+k\pi(k\in\mathbb{Z})\)

Giaibaitap.me

Source: https://laodongdongnai.vn
Category: Việc Làm